Глава V. Дополнительные упражнения к главе V. К параграфу 12 — с. 197
998. Разложите на множители: а) (x − 5)² − 16; б) (b + 7)² − 9; в) 25 − (3 − x)²; г) 81 − (a + 7)²; д) (7x − 4)² − (2x + 1)²; е) (n − 2)² − (3n + 1)²; ж) 9(a + 1)² − 1; з) 4 − 25(x − 3)².
Применяем формулу разности квадратов u² − v² = (u − v)(u + v).
а) (x − 5 − 4)(x − 5 + 4) = (x − 9)(x − 1).
б) (b + 7 − 3)(b + 7 + 3) = (b + 4)(b + 10).
в) (5 − (3 − x))(5 + (3 − x)) = (2 + x)(8 − x).
г) (9 − (a + 7))(9 + (a + 7)) = (2 − a)(16 + a).
д) (7x − 4 − (2x + 1))(7x − 4 + 2x + 1) = (5x − 5)(9x − 3) = 5(x − 1)·3(3x − 1) = 15(x − 1)(3x − 1).
е) (n − 2 − (3n + 1))(n − 2 + 3n + 1) = (−2n − 3)(4n − 1) = −(2n + 3)(4n − 1) = (2n + 3)(1 − 4n).
ж) (3(a + 1))² − 1 = (3a + 3 − 1)(3a + 3 + 1) = (3a + 2)(3a + 4).
з) 2² − (5(x − 3))² = (2 − 5x + 15)(2 + 5x − 15) = (17 − 5x)(5x − 13).
а) (x − 5 − 4)(x − 5 + 4) = (x − 9)(x − 1).
б) (b + 7 − 3)(b + 7 + 3) = (b + 4)(b + 10).
в) (5 − (3 − x))(5 + (3 − x)) = (2 + x)(8 − x).
г) (9 − (a + 7))(9 + (a + 7)) = (2 − a)(16 + a).
д) (7x − 4 − (2x + 1))(7x − 4 + 2x + 1) = (5x − 5)(9x − 3) = 5(x − 1)·3(3x − 1) = 15(x − 1)(3x − 1).
е) (n − 2 − (3n + 1))(n − 2 + 3n + 1) = (−2n − 3)(4n − 1) = −(2n + 3)(4n − 1) = (2n + 3)(1 − 4n).
ж) (3(a + 1))² − 1 = (3a + 3 − 1)(3a + 3 + 1) = (3a + 2)(3a + 4).
з) 2² − (5(x − 3))² = (2 − 5x + 15)(2 + 5x − 15) = (17 − 5x)(5x − 13).
999. Преобразуйте в произведение: а) 16 − 9(p + 3)²; б) 9 − 25(4 − x)²; в) 1 − 36(3y − 1)²; г) 4 − 9(a + b)².
а) 4² − (3(p + 3))² = (4 − 3p − 9)(4 + 3p + 9) = (−3p − 5)(3p + 13) = −(3p + 5)(3p + 13).
б) 3² − (5(4 − x))² = (3 − 20 + 5x)(3 + 20 − 5x) = (5x − 17)(23 − 5x).
в) 1 − (6(3y − 1))² = (1 − 18y + 6)(1 + 18y − 6) = (7 − 18y)(18y − 5).
г) 2² − (3(a + b))² = (2 − 3a − 3b)(2 + 3a + 3b).
б) 3² − (5(4 − x))² = (3 − 20 + 5x)(3 + 20 − 5x) = (5x − 17)(23 − 5x).
в) 1 − (6(3y − 1))² = (1 − 18y + 6)(1 + 18y − 6) = (7 − 18y)(18y − 5).
г) 2² − (3(a + b))² = (2 − 3a − 3b)(2 + 3a + 3b).
1000. Докажите, что при любом натуральном n значение выражения: а) (n + 1)² − (n − 1)² делится на 4; б) (2n + 3)² − (2n − 1)² делится на 8; в) (3n + 1)² − (3n − 1)² делится на 12; г) (5n + 1)² − (2n − 1)² делится на 7.
Применяем формулу разности квадратов.
а) ((n + 1) − (n − 1))((n + 1) + (n − 1)) = 2·2n = 4n, делится на 4.
б) ((2n + 3) − (2n − 1))((2n + 3) + (2n − 1)) = 4(4n + 2) = 8(2n + 1), делится на 8.
в) ((3n + 1) − (3n − 1))((3n + 1) + (3n − 1)) = 2·6n = 12n, делится на 12.
г) ((5n + 1) − (2n − 1))((5n + 1) + (2n − 1)) = (3n + 2)·7n, делится на 7.
Во всех случаях один из множителей кратен нужному числу, что и требовалось доказать.
а) ((n + 1) − (n − 1))((n + 1) + (n − 1)) = 2·2n = 4n, делится на 4.
б) ((2n + 3) − (2n − 1))((2n + 3) + (2n − 1)) = 4(4n + 2) = 8(2n + 1), делится на 8.
в) ((3n + 1) − (3n − 1))((3n + 1) + (3n − 1)) = 2·6n = 12n, делится на 12.
г) ((5n + 1) − (2n − 1))((5n + 1) + (2n − 1)) = (3n + 2)·7n, делится на 7.
Во всех случаях один из множителей кратен нужному числу, что и требовалось доказать.
1001. Найдите значение выражения: а) (3a − 2b)² − (2a − b)² при a = 1,35 и b = −0,65; б) (2y − c)² + (y + 2c)² при c = 1,2 и y = −1,4.
а) По формуле разности квадратов: (3a − 2b − 2a + b)(3a − 2b + 2a − b) = (a − b)(5a − 3b). При a = 1,35, b = −0,65: a − b = 2; 5a − 3b = 6,75 + 1,95 = 8,7. Значение: 2·8,7 = 17,4.
б) (2y − c)² + (y + 2c)² = 4y² − 4yc + c² + y² + 4yc + 4c² = 5y² + 5c² = 5(y² + c²). При y = −1,4, c = 1,2: y² = 1,96, c² = 1,44, сумма 3,4, значение 5·3,4 = 17.
Ответ: а) 17,4; б) 17.
б) (2y − c)² + (y + 2c)² = 4y² − 4yc + c² + y² + 4yc + 4c² = 5y² + 5c² = 5(y² + c²). При y = −1,4, c = 1,2: y² = 1,96, c² = 1,44, сумма 3,4, значение 5·3,4 = 17.
Ответ: а) 17,4; б) 17.
1002. Разложите на множители: а) 0,027x³ + 1; б) y^6 − 0,001x³; в) d³ + 0,008c³; г) 125 − 0,064p³.
Применяем формулы a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²) и a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²).
а) (0,3x)³ + 1³ = (0,3x + 1)(0,09x² − 0,3x + 1).
б) (y²)³ − (0,1x)³ = (y² − 0,1x)(y^4 + 0,1xy² + 0,01x²).
в) d³ + (0,2c)³ = (d + 0,2c)(d² − 0,2cd + 0,04c²).
г) 5³ − (0,4p)³ = (5 − 0,4p)(25 + 2p + 0,16p²).
а) (0,3x)³ + 1³ = (0,3x + 1)(0,09x² − 0,3x + 1).
б) (y²)³ − (0,1x)³ = (y² − 0,1x)(y^4 + 0,1xy² + 0,01x²).
в) d³ + (0,2c)³ = (d + 0,2c)(d² − 0,2cd + 0,04c²).
г) 5³ − (0,4p)³ = (5 − 0,4p)(25 + 2p + 0,16p²).
1003. Представьте в виде произведения: а) 27/64 − y^12; б) −x^15 + 1/27; в) 3 3/8 a^15 + b^12; г) 1 61/64 x^18 + y³.
а) 27/64 − y^12 = (3/4)³ − (y^4)³ = (3/4 − y^4)(9/16 + (3/4)y^4 + y^8).
б) −x^15 + 1/27 = (1/3)³ − (x^5)³ = (1/3 − x^5)(1/9 + (1/3)x^5 + x^10).
в) 3 3/8 = 27/8 = (3/2)³, поэтому (3/2 a^5)³ + (b^4)³ = ((3/2)a^5 + b^4)((9/4)a^10 − (3/2)a^5b^4 + b^8).
г) 1 61/64 = 125/64 = (5/4)³, поэтому ((5/4)x^6)³ + y³ = ((5/4)x^6 + y)((25/16)x^12 − (5/4)x^6y + y²).
б) −x^15 + 1/27 = (1/3)³ − (x^5)³ = (1/3 − x^5)(1/9 + (1/3)x^5 + x^10).
в) 3 3/8 = 27/8 = (3/2)³, поэтому (3/2 a^5)³ + (b^4)³ = ((3/2)a^5 + b^4)((9/4)a^10 − (3/2)a^5b^4 + b^8).
г) 1 61/64 = 125/64 = (5/4)³, поэтому ((5/4)x^6)³ + y³ = ((5/4)x^6 + y)((25/16)x^12 − (5/4)x^6y + y²).
1004. Докажите, что значение выражения: а) 41³ + 19³ делится на 60; б) 79³ − 29³ делится на 50; в) 66³ + 34³ делится на 400; г) 54³ − 24³ делится на 1080.
а) 41³ + 19³ = (41 + 19)(41² − 41·19 + 19²) = 60·(41² − 41·19 + 19²), делится на 60.
б) 79³ − 29³ = (79 − 29)(79² + 79·29 + 29²) = 50·(79² + 79·29 + 29²), делится на 50.
в) 66³ + 34³ = (66 + 34)(66² − 66·34 + 34²) = 100·(66² − 66·34 + 34²). Второй множитель делится на 4: 66² = 4356, 66·34 = 2244, 34² = 1156; 4356 − 2244 + 1156 = 3268 = 4·817. Значит, значение выражения делится на 100·4 = 400.
г) 54³ − 24³ = (54 − 24)(54² + 54·24 + 24²) = 30·(54² + 54·24 + 24²). Числа 54 = 6·9 и 24 = 6·4 кратны 6, поэтому второй множитель равен 36(81 + 36 + 16) = 36·133. Значение выражения равно 30·36·133 = 1080·133 и делится на 1080.
б) 79³ − 29³ = (79 − 29)(79² + 79·29 + 29²) = 50·(79² + 79·29 + 29²), делится на 50.
в) 66³ + 34³ = (66 + 34)(66² − 66·34 + 34²) = 100·(66² − 66·34 + 34²). Второй множитель делится на 4: 66² = 4356, 66·34 = 2244, 34² = 1156; 4356 − 2244 + 1156 = 3268 = 4·817. Значит, значение выражения делится на 100·4 = 400.
г) 54³ − 24³ = (54 − 24)(54² + 54·24 + 24²) = 30·(54² + 54·24 + 24²). Числа 54 = 6·9 и 24 = 6·4 кратны 6, поэтому второй множитель равен 36(81 + 36 + 16) = 36·133. Значение выражения равно 30·36·133 = 1080·133 и делится на 1080.
1005. Представьте в виде произведения: а) (x + 1)³ + x³; б) (y − 2)³ − 27; в) (a − b)³ + b³; г) 8x³ + (x − y)³; д) 27a³ − (a − b)³; е) 1000 + (b − 8)³.
Применяем формулы суммы и разности кубов.
а) ((x + 1) + x)((x + 1)² − (x + 1)x + x²) = (2x + 1)(x² + 2x + 1 − x² − x + x²) = (2x + 1)(x² + x + 1).
б) (y − 2)³ − 3³ = (y − 2 − 3)((y − 2)² + 3(y − 2) + 9) = (y − 5)(y² − 4y + 4 + 3y − 6 + 9) = (y − 5)(y² − y + 7).
в) ((a − b) + b)((a − b)² − (a − b)b + b²) = a(a² − 2ab + b² − ab + b² + b²) = a(a² − 3ab + 3b²).
г) (2x)³ + (x − y)³ = (2x + x − y)(4x² − 2x(x − y) + (x − y)²) = (3x − y)(4x² − 2x² + 2xy + x² − 2xy + y²) = (3x − y)(3x² + y²).
д) (3a)³ − (a − b)³ = (3a − a + b)(9a² + 3a(a − b) + (a − b)²) = (2a + b)(9a² + 3a² − 3ab + a² − 2ab + b²) = (2a + b)(13a² − 5ab + b²).
е) 10³ + (b − 8)³ = (10 + b − 8)(100 − 10(b − 8) + (b − 8)²) = (b + 2)(100 − 10b + 80 + b² − 16b + 64) = (b + 2)(b² − 26b + 244).
а) ((x + 1) + x)((x + 1)² − (x + 1)x + x²) = (2x + 1)(x² + 2x + 1 − x² − x + x²) = (2x + 1)(x² + x + 1).
б) (y − 2)³ − 3³ = (y − 2 − 3)((y − 2)² + 3(y − 2) + 9) = (y − 5)(y² − 4y + 4 + 3y − 6 + 9) = (y − 5)(y² − y + 7).
в) ((a − b) + b)((a − b)² − (a − b)b + b²) = a(a² − 2ab + b² − ab + b² + b²) = a(a² − 3ab + 3b²).
г) (2x)³ + (x − y)³ = (2x + x − y)(4x² − 2x(x − y) + (x − y)²) = (3x − y)(4x² − 2x² + 2xy + x² − 2xy + y²) = (3x − y)(3x² + y²).
д) (3a)³ − (a − b)³ = (3a − a + b)(9a² + 3a(a − b) + (a − b)²) = (2a + b)(9a² + 3a² − 3ab + a² − 2ab + b²) = (2a + b)(13a² − 5ab + b²).
е) 10³ + (b − 8)³ = (10 + b − 8)(100 − 10(b − 8) + (b − 8)²) = (b + 2)(100 − 10b + 80 + b² − 16b + 64) = (b + 2)(b² − 26b + 244).
1006. Представьте в виде многочлена: а) (a² − 7)(a + 2) − (2a − 1)(a − 14); б) (2 − b)(1 + 2b) + (1 + b)(b³ − 3b).
а) (a² − 7)(a + 2) = a³ + 2a² − 7a − 14; (2a − 1)(a − 14) = 2a² − 28a − a + 14 = 2a² − 29a + 14. Разность: a³ + 2a² − 7a − 14 − 2a² + 29a − 14 = a³ + 22a − 28.
б) (2 − b)(1 + 2b) = 2 + 4b − b − 2b² = 2 + 3b − 2b²; (1 + b)(b³ − 3b) = b³ − 3b + b^4 − 3b² = b^4 + b³ − 3b² − 3b. Сумма: b^4 + b³ − 5b² + 2.
Ответ: а) a³ + 22a − 28; б) b^4 + b³ − 5b² + 2.
б) (2 − b)(1 + 2b) = 2 + 4b − b − 2b² = 2 + 3b − 2b²; (1 + b)(b³ − 3b) = b³ − 3b + b^4 − 3b² = b^4 + b³ − 3b² − 3b. Сумма: b^4 + b³ − 5b² + 2.
Ответ: а) a³ + 22a − 28; б) b^4 + b³ − 5b² + 2.
1007. Представьте в виде многочлена: а) (x + 4)(x² − 4x + 16); б) (3a + 5)(9a² − 15a + 25).
Второй множитель — неполный квадрат разности, применяем формулу суммы кубов (u + v)(u² − uv + v²) = u³ + v³.
а) (x + 4)(x² − 4x + 16) = x³ + 4³ = x³ + 64.
б) (3a + 5)((3a)² − 3a·5 + 5²) = (3a)³ + 5³ = 27a³ + 125.
а) (x + 4)(x² − 4x + 16) = x³ + 4³ = x³ + 64.
б) (3a + 5)((3a)² − 3a·5 + 5²) = (3a)³ + 5³ = 27a³ + 125.
1008. Решите уравнение: а) (x + 1)(x + 2) − (x − 3)(x + 4) = 6; б) (3x − 1)(2x + 7) − (x + 1)(6x − 5) = 7; в) 24 − (3y + 1)(4y − 5) = (11 − 6y)(2y − 7); г) (6y + 2)(5 − y) = 47 − (2y − 3)(3y − 1).
а) x² + 3x + 2 − (x² + x − 12) = 6; 2x + 14 = 6; x = −4.
б) (6x² + 19x − 7) − (6x² + x − 5) = 7; 18x − 2 = 7; x = 0,5.
в) Левая часть: 24 − (12y² − 11y − 5) = 29 + 11y − 12y². Правая: 22y − 77 − 12y² + 42y = 64y − 77 − 12y². Приравниваем: 29 + 11y = 64y − 77; 106 = 53y; y = 2.
г) Левая часть: 30y − 6y² + 10 − 2y = 28y + 10 − 6y². Правая: 47 − (6y² − 11y + 3) = 44 + 11y − 6y². Приравниваем: 28y + 10 = 44 + 11y; 17y = 34; y = 2.
Ответ: а) −4; б) 0,5; в) 2; г) 2.
б) (6x² + 19x − 7) − (6x² + x − 5) = 7; 18x − 2 = 7; x = 0,5.
в) Левая часть: 24 − (12y² − 11y − 5) = 29 + 11y − 12y². Правая: 22y − 77 − 12y² + 42y = 64y − 77 − 12y². Приравниваем: 29 + 11y = 64y − 77; 106 = 53y; y = 2.
г) Левая часть: 30y − 6y² + 10 − 2y = 28y + 10 − 6y². Правая: 47 − (6y² − 11y + 3) = 44 + 11y − 6y². Приравниваем: 28y + 10 = 44 + 11y; 17y = 34; y = 2.
Ответ: а) −4; б) 0,5; в) 2; г) 2.