Глава V. Дополнительные упражнения к главе V. К параграфу 12 — с. 196
988. Представьте в виде многочлена: а) 5y(y² − 3)(y² + 3); б) −8x(4x − x³)(4x + x³); в) (a^4 − 3)(a^4 + 3)(a^8 + 9); г) (1 − b³)(1 + b³)(1 + b^6).
Сначала перемножаем скобки по формуле разности квадратов.
а) 5y(y^4 − 9) = 5y^5 − 45y.
б) −8x(16x² − x^6) = −128x³ + 8x^7.
в) (a^8 − 9)(a^8 + 9) = a^16 − 81.
г) (1 − b^6)(1 + b^6) = 1 − b^12.
а) 5y(y^4 − 9) = 5y^5 − 45y.
б) −8x(16x² − x^6) = −128x³ + 8x^7.
в) (a^8 − 9)(a^8 + 9) = a^16 − 81.
г) (1 − b^6)(1 + b^6) = 1 − b^12.
989. Упростите выражение: а) (a + 2)(a − 2) − a(a − 5); б) (a − 3)(3 + a) + a(7 − a); в) (b − 4)(b + 4) − (b − 3)(b + 5); г) (b + 8)(b − 6) − (b − 7)(b + 7); д) (c − 1)(c + 1) + (c − 9)(c + 9); е) (5 + c)(c − 5) − (c − 10)(c + 10).
а) a² − 4 − a² + 5a = 5a − 4.
б) (a² − 9) + 7a − a² = 7a − 9.
в) (b² − 16) − (b² + 5b − 3b − 15) = b² − 16 − b² − 2b + 15 = −2b − 1.
г) (b² − 6b + 8b − 48) − (b² − 49) = b² + 2b − 48 − b² + 49 = 2b + 1.
д) (c² − 1) + (c² − 81) = 2c² − 82.
е) (c² − 25) − (c² − 100) = 75.
Ответ: а) 5a − 4; б) 7a − 9; в) −2b − 1; г) 2b + 1; д) 2c² − 82; е) 75.
б) (a² − 9) + 7a − a² = 7a − 9.
в) (b² − 16) − (b² + 5b − 3b − 15) = b² − 16 − b² − 2b + 15 = −2b − 1.
г) (b² − 6b + 8b − 48) − (b² − 49) = b² + 2b − 48 − b² + 49 = 2b + 1.
д) (c² − 1) + (c² − 81) = 2c² − 82.
е) (c² − 25) − (c² − 100) = 75.
Ответ: а) 5a − 4; б) 7a − 9; в) −2b − 1; г) 2b + 1; д) 2c² − 82; е) 75.
990. Докажите, что значение выражения не зависит от значения переменной: а) (x − 8)(x + 8) − (x − 12)(x + 12); б) (y − 5/9)(y + 5/9) + (2/3 − y)(2/3 + y).
а) (x² − 64) − (x² − 144) = x² − 64 − x² + 144 = 80. Получено число 80.
б) (y² − 25/81) + (4/9 − y²) = y² − 25/81 + 4/9 − y² = −25/81 + 36/81 = 11/81. Получено число 11/81.
В обоих случаях переменная сократилась, значит, значение выражения от неё не зависит.
б) (y² − 25/81) + (4/9 − y²) = y² − 25/81 + 4/9 − y² = −25/81 + 36/81 = 11/81. Получено число 11/81.
В обоих случаях переменная сократилась, значит, значение выражения от неё не зависит.
991. Преобразуйте в многочлен: а) (x − 5)² + 2x(x − 3); б) (y + 8)² − 4y(y − 2); в) (a − 4)(a + 4) + (2a − 1)²; г) (b − 3)(b + 3) − (b + 2)²; д) (2a − 5)² − (5a − 2)²; е) (3b − 1)² + (1 − 3b)²; ж) (2x + 1)² − (x + 7)(x − 3); з) (3y − 2)² − (y − 9)(9 − y).
а) x² − 10x + 25 + 2x² − 6x = 3x² − 16x + 25.
б) y² + 16y + 64 − 4y² + 8y = −3y² + 24y + 64.
в) a² − 16 + 4a² − 4a + 1 = 5a² − 4a − 15.
г) b² − 9 − (b² + 4b + 4) = −4b − 13.
д) 4a² − 20a + 25 − (25a² − 20a + 4) = −21a² + 21.
е) (1 − 3b)² = (3b − 1)², поэтому сумма равна 2(3b − 1)² = 2(9b² − 6b + 1) = 18b² − 12b + 2.
ж) 4x² + 4x + 1 − (x² − 3x + 7x − 21) = 4x² + 4x + 1 − x² − 4x + 21 = 3x² + 22.
з) (y − 9)(9 − y) = −(y − 9)² = −(y² − 18y + 81). Тогда 9y² − 12y + 4 + y² − 18y + 81 = 10y² − 30y + 85.
б) y² + 16y + 64 − 4y² + 8y = −3y² + 24y + 64.
в) a² − 16 + 4a² − 4a + 1 = 5a² − 4a − 15.
г) b² − 9 − (b² + 4b + 4) = −4b − 13.
д) 4a² − 20a + 25 − (25a² − 20a + 4) = −21a² + 21.
е) (1 − 3b)² = (3b − 1)², поэтому сумма равна 2(3b − 1)² = 2(9b² − 6b + 1) = 18b² − 12b + 2.
ж) 4x² + 4x + 1 − (x² − 3x + 7x − 21) = 4x² + 4x + 1 − x² − 4x + 21 = 3x² + 22.
з) (y − 9)(9 − y) = −(y − 9)² = −(y² − 18y + 81). Тогда 9y² − 12y + 4 + y² − 18y + 81 = 10y² − 30y + 85.
992. При каком значении x удвоенное произведение двучленов x + 2 и x − 2 меньше суммы их квадратов на 16?
Составим уравнение: (x + 2)² + (x − 2)² − 2(x + 2)(x − 2) = 16.
Левая часть — квадрат разности двучленов: ((x + 2) − (x − 2))² = 4² = 16. Либо раскроем скобки: x² + 4x + 4 + x² − 4x + 4 − 2x² + 8 = 16.
Получаем верное равенство 16 = 16, не зависящее от x. Значит, условие выполняется при любом значении x.
Ответ: при любом x.
Левая часть — квадрат разности двучленов: ((x + 2) − (x − 2))² = 4² = 16. Либо раскроем скобки: x² + 4x + 4 + x² − 4x + 4 − 2x² + 8 = 16.
Получаем верное равенство 16 = 16, не зависящее от x. Значит, условие выполняется при любом значении x.
Ответ: при любом x.
993. Представьте в виде многочлена: а) (x + y + 1)(x + y − 1); б) (m + n − 3)(m + n + 3); в) (a − b − 5)(a − b + 5); г) (c − d + 8)(c − d − 8); д) (p + 2q − 3)(p − 2q − 3); е) (a − 3x + 6)(a + 3x + 6).
В каждом случае видим произведение суммы и разности двух выражений; применяем формулу (u − v)(u + v) = u² − v².
а) (x + y)² − 1 = x² + 2xy + y² − 1.
б) (m + n)² − 9 = m² + 2mn + n² − 9.
в) (a − b)² − 25 = a² − 2ab + b² − 25.
г) (c − d)² − 64 = c² − 2cd + d² − 64.
д) (p − 3 + 2q)(p − 3 − 2q) = (p − 3)² − 4q² = p² − 6p + 9 − 4q².
е) (a + 6 − 3x)(a + 6 + 3x) = (a + 6)² − 9x² = a² + 12a + 36 − 9x².
а) (x + y)² − 1 = x² + 2xy + y² − 1.
б) (m + n)² − 9 = m² + 2mn + n² − 9.
в) (a − b)² − 25 = a² − 2ab + b² − 25.
г) (c − d)² − 64 = c² − 2cd + d² − 64.
д) (p − 3 + 2q)(p − 3 − 2q) = (p − 3)² − 4q² = p² − 6p + 9 − 4q².
е) (a + 6 − 3x)(a + 6 + 3x) = (a + 6)² − 9x² = a² + 12a + 36 − 9x².
994. Решите уравнение: а) (x − 7)² + 3 = (x − 2)(x + 2); б) (x + 6)² − (x − 5)(x + 5) = 79; в) (2x − 3)² − (7 − 2x)² = 2; г) (5x − 1)² − (1 − 3x)² = 16x(x − 3).
а) x² − 14x + 49 + 3 = x² − 4; −14x = −56; x = 4.
б) x² + 12x + 36 − x² + 25 = 79; 12x + 61 = 79; 12x = 18; x = 1,5.
в) 4x² − 12x + 9 − (49 − 28x + 4x²) = 2; 16x − 40 = 2; 16x = 42; x = 2,625.
г) 25x² − 10x + 1 − (1 − 6x + 9x²) = 16x² − 48x; 16x² − 4x = 16x² − 48x; 44x = 0; x = 0.
Ответ: а) 4; б) 1,5; в) 2,625; г) 0.
б) x² + 12x + 36 − x² + 25 = 79; 12x + 61 = 79; 12x = 18; x = 1,5.
в) 4x² − 12x + 9 − (49 − 28x + 4x²) = 2; 16x − 40 = 2; 16x = 42; x = 2,625.
г) 25x² − 10x + 1 − (1 − 6x + 9x²) = 16x² − 48x; 16x² − 4x = 16x² − 48x; 44x = 0; x = 0.
Ответ: а) 4; б) 1,5; в) 2,625; г) 0.
995. Разложите на множители: а) 1 − a²b²; б) 4x²y^4 − 9; в) 0,09x^6 − 0,49y²; г) 1,21a² − 0,36b^6; д) 1 7/9 x² − (9/16)y²; е) 0,01a²b^4 − 1.
Во всех случаях применяем формулу разности квадратов.
а) 1 − a²b² = (1 − ab)(1 + ab).
б) 4x²y^4 − 9 = (2xy²)² − 3² = (2xy² − 3)(2xy² + 3).
в) 0,09x^6 − 0,49y² = (0,3x³)² − (0,7y)² = (0,3x³ − 0,7y)(0,3x³ + 0,7y).
г) 1,21a² − 0,36b^6 = (1,1a)² − (0,6b³)² = (1,1a − 0,6b³)(1,1a + 0,6b³).
д) 1 7/9 = 16/9, поэтому (16/9)x² − (9/16)y² = ((4/3)x)² − ((3/4)y)² = ((4/3)x − (3/4)y)((4/3)x + (3/4)y).
е) 0,01a²b^4 − 1 = (0,1ab²)² − 1 = (0,1ab² − 1)(0,1ab² + 1).
а) 1 − a²b² = (1 − ab)(1 + ab).
б) 4x²y^4 − 9 = (2xy²)² − 3² = (2xy² − 3)(2xy² + 3).
в) 0,09x^6 − 0,49y² = (0,3x³)² − (0,7y)² = (0,3x³ − 0,7y)(0,3x³ + 0,7y).
г) 1,21a² − 0,36b^6 = (1,1a)² − (0,6b³)² = (1,1a − 0,6b³)(1,1a + 0,6b³).
д) 1 7/9 = 16/9, поэтому (16/9)x² − (9/16)y² = ((4/3)x)² − ((3/4)y)² = ((4/3)x − (3/4)y)((4/3)x + (3/4)y).
е) 0,01a²b^4 − 1 = (0,1ab²)² − 1 = (0,1ab² − 1)(0,1ab² + 1).
996. Найдите значение выражения: а) (38² − 17²)/(72² − 16²); б) (39,5² − 3,5²)/(57,5² − 14,5²); в) (17,5² − 9,5²)/(131,5² − 3,5²).
Применяем формулу разности квадратов к числителю и знаменателю.
а) (38 − 17)(38 + 17)/((72 − 16)(72 + 16)) = 21·55/(56·88) = (21/56)·(55/88) = (3/8)·(5/8) = 15/64.
б) (39,5 − 3,5)(39,5 + 3,5)/((57,5 − 14,5)(57,5 + 14,5)) = 36·43/(43·72) = 36/72 = 1/2.
в) (17,5 − 9,5)(17,5 + 9,5)/((131,5 − 3,5)(131,5 + 3,5)) = 8·27/(128·135) = (8/128)·(27/135) = (1/16)·(1/5) = 1/80.
Ответ: а) 15/64; б) 1/2; в) 1/80.
а) (38 − 17)(38 + 17)/((72 − 16)(72 + 16)) = 21·55/(56·88) = (21/56)·(55/88) = (3/8)·(5/8) = 15/64.
б) (39,5 − 3,5)(39,5 + 3,5)/((57,5 − 14,5)(57,5 + 14,5)) = 36·43/(43·72) = 36/72 = 1/2.
в) (17,5 − 9,5)(17,5 + 9,5)/((131,5 − 3,5)(131,5 + 3,5)) = 8·27/(128·135) = (8/128)·(27/135) = (1/16)·(1/5) = 1/80.
Ответ: а) 15/64; б) 1/2; в) 1/80.
997. Представьте в виде произведения: а) x^10 − 1; б) y^12 − 16; в) a²x^8 − 81; г) 36 − b^4y^6; д) 25p^4q^4 − 1; е) −9 + 121m^8n^8; ж) 0,01x^16 − 0,16; з) 1,69y^14 − 1,21; и) (4/9)m^6 − 25/36.
Представляем каждое слагаемое как квадрат и применяем формулу разности квадратов.
а) x^10 − 1 = (x^5)² − 1 = (x^5 − 1)(x^5 + 1).
б) y^12 − 16 = (y^6)² − 4² = (y^6 − 4)(y^6 + 4); можно продолжить: y^6 − 4 = (y³ − 2)(y³ + 2), тогда y^12 − 16 = (y³ − 2)(y³ + 2)(y^6 + 4).
в) a²x^8 − 81 = (ax^4)² − 9² = (ax^4 − 9)(ax^4 + 9).
г) 36 − b^4y^6 = 6² − (b²y³)² = (6 − b²y³)(6 + b²y³).
д) 25p^4q^4 − 1 = (5p²q²)² − 1 = (5p²q² − 1)(5p²q² + 1).
е) −9 + 121m^8n^8 = (11m^4n^4)² − 3² = (11m^4n^4 − 3)(11m^4n^4 + 3).
ж) 0,01x^16 − 0,16 = (0,1x^8)² − 0,4² = (0,1x^8 − 0,4)(0,1x^8 + 0,4).
з) 1,69y^14 − 1,21 = (1,3y^7)² − 1,1² = (1,3y^7 − 1,1)(1,3y^7 + 1,1).
и) (4/9)m^6 − 25/36 = ((2/3)m³)² − (5/6)² = ((2/3)m³ − 5/6)((2/3)m³ + 5/6).
а) x^10 − 1 = (x^5)² − 1 = (x^5 − 1)(x^5 + 1).
б) y^12 − 16 = (y^6)² − 4² = (y^6 − 4)(y^6 + 4); можно продолжить: y^6 − 4 = (y³ − 2)(y³ + 2), тогда y^12 − 16 = (y³ − 2)(y³ + 2)(y^6 + 4).
в) a²x^8 − 81 = (ax^4)² − 9² = (ax^4 − 9)(ax^4 + 9).
г) 36 − b^4y^6 = 6² − (b²y³)² = (6 − b²y³)(6 + b²y³).
д) 25p^4q^4 − 1 = (5p²q²)² − 1 = (5p²q² − 1)(5p²q² + 1).
е) −9 + 121m^8n^8 = (11m^4n^4)² − 3² = (11m^4n^4 − 3)(11m^4n^4 + 3).
ж) 0,01x^16 − 0,16 = (0,1x^8)² − 0,4² = (0,1x^8 − 0,4)(0,1x^8 + 0,4).
з) 1,69y^14 − 1,21 = (1,3y^7)² − 1,1² = (1,3y^7 − 1,1)(1,3y^7 + 1,1).
и) (4/9)m^6 − 25/36 = ((2/3)m³)² − (5/6)² = ((2/3)m³ − 5/6)((2/3)m³ + 5/6).