Алгебра Макарычев 7 класс, страница 195 — задания и ответы

Question

Accepted Answer

Глава V. §13. п.39 Упражнения — с. 195 977. Представьте в виде многочлена выражение: а) (a² + 3b³)³; б) (1 − 2xy)^4. а) По формуле куба суммы (u + v)³ = u³ + 3u²v + 3uv² + v³ при u = a², v = 3b³: a^6 + 3a^4·3b³ + 3a²·9b^6 + 27b^9 = a^6 + 9a^4b³ + 27a²b^6 + 27b^9. б) По формуле четвёртой степени при u = 1, v = −2xy: 1 − 4·2xy + 6·4x²y² − 4·8x³y³ + 16x^4y^4 = 1 − 8xy + 24x²y² − 32x³y³ + 16x^4y^4. 978. Представьте в виде многочлена выражение: а) (x + y)^6 + (x − y)^6; б) (x + y)^6 − (x − y)^6. (x + y)^6 = x^6 + 6x^5y + 15x^4y² + 20x³y³ + 15x²y^4 + 6xy^5 + y^6. В (x − y)^6 знаки членов с нечётной степенью y меняются: (x − y)^6 = x^6 − 6x^5y + 15x^4y² − 20x³y³ + 15x²y^4 − 6xy^5 + y^6. а) При сложении члены с нечётными степенями y взаимно уничтожаются, остальные удваиваются: 2x^6 + 30x^4y² + 30x²y^4 + 2y^6. б) При вычитании уничтожаются члены с чётными степенями y, остальные удваиваются: 12x^5y + 40x³y³ + 12xy^5. 979. Выражение (1 + y)³ + (1 + y)^4 + (1 + y)^5 заменили тождественно равным многочленом. Найдите коэффициент члена многочлена, содержащего: а) y²; б) y³. Коэффициенты берём из треугольника Паскаля (при a = 1, b = y): (1 + y)³ = 1 + 3y + 3y² + y³; (1 + y)^4 = 1 + 4y + 6y² + 4y³ + y^4; (1 + y)^5 = 1 + 5y + 10y² + 10y³ + 5y^4 + y^5. а) Коэффициент при y²: 3 + 6 + 10 = 19. б) Коэффициент при y³: 1 + 4 + 10 = 15. Ответ: а) 19; б) 15. 980. Какой остаток получится при делении числа 147^6 на 145? Запишем 147 = 145 + 2. По формуле шестой степени двучлена (145 + 2)^6 = 145^6 + 6·145^5·2 + … + 6·145·2^5 + 2^6. Все члены, кроме последнего, содержат множитель 145, то есть делятся на 145. Значит, 147^6 = 145·k + 2^6 = 145k + 64, где k — целое. Так как 64 Ответ: 64. 981. Докажите, что значение выражения: а) 83^4 + 65 кратно 81; б) 141^10 + 88 кратно 139. а) 83 = 81 + 2. По формуле четвёртой степени двучлена все члены разложения (81 + 2)^4, кроме последнего, содержат множитель 81, поэтому 83^4 = 81k + 2^4 = 81k + 16. Тогда 83^4 + 65 = 81k + 81 = 81(k + 1) — кратно 81. б) 141 = 139 + 2. Аналогично 141^10 = 139m + 2^10 = 139m + 1024. Тогда 141^10 + 88 = 139m + 1112 = 139m + 139·8 = 139(m + 8) — кратно 139. 982. Докажите тождество (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc. Представим сумму в виде (a + b) + c и применим формулу квадрата суммы: (a + b + c)² = ((a + b) + c)² = (a + b)² + 2(a + b)c + c² = a² + 2ab + b² + 2ac + 2bc + c². После перестановки слагаемых получаем a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc. Тождество доказано. 983. Докажите, что значение выражения не завис