Глава V. §13. п.39 Упражнения — с. 194
973. Напишите строки треугольника Паскаля для n = 6; n = 7.
Каждое число строки, кроме крайних единиц, равно сумме двух чисел предыдущей строки, стоящих над ним. Строка для n = 5: 1 5 10 10 5 1.
n = 6: 1, 5 + 1 = 6, 5 + 10 = 15, 10 + 10 = 20, 10 + 5 = 15, 1 + 5 = 6, 1. Получаем 1 6 15 20 15 6 1.
n = 7: 1, 1 + 6 = 7, 6 + 15 = 21, 15 + 20 = 35, 20 + 15 = 35, 15 + 6 = 21, 6 + 1 = 7, 1. Получаем 1 7 21 35 35 21 7 1.
n = 6: 1, 5 + 1 = 6, 5 + 10 = 15, 10 + 10 = 20, 10 + 5 = 15, 1 + 5 = 6, 1. Получаем 1 6 15 20 15 6 1.
n = 7: 1, 1 + 6 = 7, 6 + 15 = 21, 15 + 20 = 35, 20 + 15 = 35, 15 + 6 = 21, 6 + 1 = 7, 1. Получаем 1 7 21 35 35 21 7 1.
974. Используя треугольник Паскаля, напишите формулу для шестой степени двучлена a + b. Проверьте результат, умножив на a + b многочлен, равный (a + b)^5.
Коэффициенты для n = 6: 1 6 15 20 15 6 1. Показатель a убывает от 6 до 0, показатель b возрастает от 0 до 6:
(a + b)^6 = a^6 + 6a^5b + 15a^4b² + 20a³b³ + 15a²b^4 + 6ab^5 + b^6.
Проверка. (a + b)^5 = a^5 + 5a^4b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab^4 + b^5. Умножим на a и на b:
на a: a^6 + 5a^5b + 10a^4b² + 10a³b³ + 5a²b^4 + ab^5;
на b: a^5b + 5a^4b² + 10a³b³ + 10a²b^4 + 5ab^5 + b^6.
Складываем подобные члены: a^6 + 6a^5b + 15a^4b² + 20a³b³ + 15a²b^4 + 6ab^5 + b^6. Результат совпал.
(a + b)^6 = a^6 + 6a^5b + 15a^4b² + 20a³b³ + 15a²b^4 + 6ab^5 + b^6.
Проверка. (a + b)^5 = a^5 + 5a^4b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab^4 + b^5. Умножим на a и на b:
на a: a^6 + 5a^5b + 10a^4b² + 10a³b³ + 5a²b^4 + ab^5;
на b: a^5b + 5a^4b² + 10a³b³ + 10a²b^4 + 5ab^5 + b^6.
Складываем подобные члены: a^6 + 6a^5b + 15a^4b² + 20a³b³ + 15a²b^4 + 6ab^5 + b^6. Результат совпал.
975. Напишите формулу: а) седьмой степени двучлена; б) восьмой степени двучлена.
а) Строка треугольника Паскаля для n = 7: 1 7 21 35 35 21 7 1. Тогда (a + b)^7 = a^7 + 7a^6b + 21a^5b² + 35a^4b³ + 35a³b^4 + 21a²b^5 + 7ab^6 + b^7.
б) Строка для n = 8: 1, 1 + 7 = 8, 7 + 21 = 28, 21 + 35 = 56, 35 + 35 = 70, 35 + 21 = 56, 21 + 7 = 28, 7 + 1 = 8, 1. Тогда (a + b)^8 = a^8 + 8a^7b + 28a^6b² + 56a^5b³ + 70a^4b^4 + 56a³b^5 + 28a²b^6 + 8ab^7 + b^8.
б) Строка для n = 8: 1, 1 + 7 = 8, 7 + 21 = 28, 21 + 35 = 56, 35 + 35 = 70, 35 + 21 = 56, 21 + 7 = 28, 7 + 1 = 8, 1. Тогда (a + b)^8 = a^8 + 8a^7b + 28a^6b² + 56a^5b³ + 70a^4b^4 + 56a³b^5 + 28a²b^6 + 8ab^7 + b^8.
976. Используя формулу четвёртой степени двучлена, преобразуйте выражение: а) (a² + 2b)^4; б) (a³ − b)^4.
Формула: (u + v)^4 = u^4 + 4u³v + 6u²v² + 4uv³ + v^4.
а) u = a², v = 2b: (a²)^4 + 4(a²)³·2b + 6(a²)²(2b)² + 4a²(2b)³ + (2b)^4 = a^8 + 8a^6b + 24a^4b² + 32a²b³ + 16b^4.
б) Запишем a³ − b = a³ + (−b), u = a³, v = −b: (a³)^4 − 4(a³)³b + 6(a³)²b² − 4a³b³ + b^4 = a^12 − 4a^9b + 6a^6b² − 4a³b³ + b^4.
а) u = a², v = 2b: (a²)^4 + 4(a²)³·2b + 6(a²)²(2b)² + 4a²(2b)³ + (2b)^4 = a^8 + 8a^6b + 24a^4b² + 32a²b³ + 16b^4.
б) Запишем a³ − b = a³ + (−b), u = a³, v = −b: (a³)^4 − 4(a³)³b + 6(a³)²b² − 4a³b³ + b^4 = a^12 − 4a^9b + 6a^6b² − 4a³b³ + b^4.