Глава V. §13. п.38 Упражнения — с. 191
964. (Для работы в парах.) Используя калькулятор, найдите значение многочлена 3,5x³ − 2,1x² + 1,9x − 16,7 при x = 3,7.
1. Пусть один из вас вычислит с помощью калькулятора сначала значения каждого члена многочлена, затем значение многочлена, а другой выполнит преобразование многочлена по образцу, предложенному в примере 4 на с. 189, затем сделает вычисления с помощью калькулятора.
2. Отметьте затрату времени на выполнение задания в каждом случае.
3. Сравните полученные результаты и время, затраченное на решение задачи.
Первый способ (по членам): x² = 13,69; x³ = 50,653. Тогда 3,5·50,653 = 177,2855; 2,1·13,69 = 28,749; 1,9·3,7 = 7,03. Значение: 177,2855 − 28,749 + 7,03 − 16,7 = 138,8665.
Второй способ (по образцу примера 4): 3,5x³ − 2,1x² + 1,9x − 16,7 = ((3,5x − 2,1)x + 1,9)x − 16,7. При x = 3,7: 3,5·3,7 = 12,95; 12,95 − 2,1 = 10,85; 10,85·3,7 = 40,145; 40,145 + 1,9 = 42,045; 42,045·3,7 = 155,5665; 155,5665 − 16,7 = 138,8665.
Результаты совпадают: 138,8665. Второй способ требует только трёх умножений и не требует записывать или запоминать промежуточные степени x, поэтому он обычно занимает меньше времени и реже приводит к ошибкам. Время каждый измеряет сам.
Ответ: 138,8665.
Второй способ (по образцу примера 4): 3,5x³ − 2,1x² + 1,9x − 16,7 = ((3,5x − 2,1)x + 1,9)x − 16,7. При x = 3,7: 3,5·3,7 = 12,95; 12,95 − 2,1 = 10,85; 10,85·3,7 = 40,145; 40,145 + 1,9 = 42,045; 42,045·3,7 = 155,5665; 155,5665 − 16,7 = 138,8665.
Результаты совпадают: 138,8665. Второй способ требует только трёх умножений и не требует записывать или запоминать промежуточные степени x, поэтому он обычно занимает меньше времени и реже приводит к ошибкам. Время каждый измеряет сам.
Ответ: 138,8665.
965. Решите уравнение: а) x³ − x = 0; б) 9x − x³ = 0; в) x³ + x² = 0; г) 5x^4 − 20x² = 0.
Раскладываем левую часть на множители; произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю.
а) x(x² − 1) = x(x − 1)(x + 1) = 0; x = 0, x = 1 или x = −1.
б) x(9 − x²) = x(3 − x)(3 + x) = 0; x = 0, x = 3 или x = −3.
в) x²(x + 1) = 0; x = 0 или x = −1.
г) 5x²(x² − 4) = 5x²(x − 2)(x + 2) = 0; x = 0, x = 2 или x = −2.
Ответ: а) 0; 1; −1; б) 0; 3; −3; в) 0; −1; г) 0; 2; −2.
а) x(x² − 1) = x(x − 1)(x + 1) = 0; x = 0, x = 1 или x = −1.
б) x(9 − x²) = x(3 − x)(3 + x) = 0; x = 0, x = 3 или x = −3.
в) x²(x + 1) = 0; x = 0 или x = −1.
г) 5x²(x² − 4) = 5x²(x − 2)(x + 2) = 0; x = 0, x = 2 или x = −2.
Ответ: а) 0; 1; −1; б) 0; 3; −3; в) 0; −1; г) 0; 2; −2.
966. Решите уравнение: а) x³ + x = 0; б) x³ − 2x² = 0.
а) x(x² + 1) = 0. Второй множитель x² + 1 ≥ 1 и нулю не равен, поэтому x = 0.
б) x²(x − 2) = 0; x = 0 или x = 2.
Ответ: а) 0; б) 0; 2.
б) x²(x − 2) = 0; x = 0 или x = 2.
Ответ: а) 0; б) 0; 2.
967. Докажите, что значения многочлена x³ − x при целых значениях x кратны числу 6.
Разложим: x³ − x = x(x² − 1) = (x − 1)x(x + 1). Это произведение трёх последовательных целых чисел.
Среди трёх последовательных целых чисел всегда есть хотя бы одно чётное, поэтому произведение делится на 2, и есть ровно одно, делящееся на 3, поэтому произведение делится на 3.
Числа 2 и 3 взаимно просты, значит, произведение делится на 6, что и требовалось доказать.
Среди трёх последовательных целых чисел всегда есть хотя бы одно чётное, поэтому произведение делится на 2, и есть ровно одно, делящееся на 3, поэтому произведение делится на 3.
Числа 2 и 3 взаимно просты, значит, произведение делится на 6, что и требовалось доказать.
968. Докажите, что разность квадратов двух последовательных нечётных чисел делится на 8.
Пусть два последовательных нечётных числа равны 2k − 1 и 2k + 1, где k — целое число. Тогда
(2k + 1)² − (2k − 1)² = ((2k + 1) − (2k − 1))((2k + 1) + (2k − 1)) = 2·4k = 8k.
Число 8k делится на 8 при любом целом k, что и требовалось доказать.
(2k + 1)² − (2k − 1)² = ((2k + 1) − (2k − 1))((2k + 1) + (2k − 1)) = 2·4k = 8k.
Число 8k делится на 8 при любом целом k, что и требовалось доказать.
969. Если сторону квадрата увеличить на 4 см, то его площадь увеличится на 96 см². Найдите сторону исходного квадрата.
Пусть сторона исходного квадрата x см, площадь x² см². После увеличения сторона x + 4 см, площадь (x + 4)² см².
По условию (x + 4)² − x² = 96; x² + 8x + 16 − x² = 96; 8x = 80; x = 10.
Проверка: 14² − 10² = 196 − 100 = 96.
Ответ: 10 см.
По условию (x + 4)² − x² = 96; x² + 8x + 16 − x² = 96; 8x = 80; x = 10.
Проверка: 14² − 10² = 196 − 100 = 96.
Ответ: 10 см.
970. Упростите выражение и найдите его значение при указанном значении переменной: а) (6x − 1)(6x + 1) − (12x − 5)(3x + 1) при x = 0,2; б) (5 + 2x)² − 2,5x(8x + 7) при x = −0,5.
а) (6x − 1)(6x + 1) = 36x² − 1; (12x − 5)(3x + 1) = 36x² + 12x − 15x − 5 = 36x² − 3x − 5. Разность: 36x² − 1 − 36x² + 3x + 5 = 3x + 4. При x = 0,2: 3·0,2 + 4 = 4,6.
б) (5 + 2x)² = 25 + 20x + 4x²; 2,5x(8x + 7) = 20x² + 17,5x. Разность: 25 + 20x + 4x² − 20x² − 17,5x = 25 + 2,5x − 16x². При x = −0,5: 25 − 1,25 − 16·0,25 = 25 − 1,25 − 4 = 19,75.
Ответ: а) 4,6; б) 19,75.
б) (5 + 2x)² = 25 + 20x + 4x²; 2,5x(8x + 7) = 20x² + 17,5x. Разность: 25 + 20x + 4x² − 20x² − 17,5x = 25 + 2,5x − 16x². При x = −0,5: 25 − 1,25 − 16·0,25 = 25 − 1,25 − 4 = 19,75.
Ответ: а) 4,6; б) 19,75.
971. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения с осями координат графика функции: а) y = 0,24x + 6; б) y = −5x − 1,8; в) y = −0,6x + 4,2; г) y = −x − 3,8.
Точка пересечения с осью y имеет абсциссу 0, её ордината равна свободному члену. Точка пересечения с осью x имеет ординату 0; абсциссу находим из уравнения kx + b = 0.
а) x = 0: y = 6, точка (0; 6). y = 0: 0,24x = −6, x = −25, точка (−25; 0).
б) x = 0: y = −1,8, точка (0; −1,8). y = 0: −5x = 1,8, x = −0,36, точка (−0,36; 0).
в) x = 0: y = 4,2, точка (0; 4,2). y = 0: 0,6x = 4,2, x = 7, точка (7; 0).
г) x = 0: y = −3,8, точка (0; −3,8). y = 0: −x = 3,8, x = −3,8, точка (−3,8; 0).
а) x = 0: y = 6, точка (0; 6). y = 0: 0,24x = −6, x = −25, точка (−25; 0).
б) x = 0: y = −1,8, точка (0; −1,8). y = 0: −5x = 1,8, x = −0,36, точка (−0,36; 0).
в) x = 0: y = 4,2, точка (0; 4,2). y = 0: 0,6x = 4,2, x = 7, точка (7; 0).
г) x = 0: y = −3,8, точка (0; −3,8). y = 0: −x = 3,8, x = −3,8, точка (−3,8; 0).
972. Покажите, как примерно расположен в координатной плоскости график функции: а) y = −0,9x + 4; б) y = 2,3x; в) y = x/10; г) y = −9; д) y = −9,5; е) y = 4 1/3.
а) y = −0,9x + 4: линейная функция, k = −0,9 < 0, функция убывает; прямая пересекает ось y в точке (0; 4) и идёт сверху вниз, проходя через I, II и IV координатные четверти; ось x она пересекает правее начала координат при x = 4/0,9 ≈ 4,4.
б) y = 2,3x: прямая пропорциональность, график проходит через начало координат, k = 2,3 > 0, прямая возрастает, лежит в I и III четвертях и идёт круто (угловой коэффициент больше 1).
в) y = x/10 = 0,1x: тоже проходит через начало координат и лежит в I и III четвертях, но очень полого (k = 0,1).
г) y = −9: график — прямая, параллельная оси x и расположенная ниже неё на 9 единиц; она пересекает ось y в точке (0; −9) и проходит через III и IV четверти.
д) y = −9,5: прямая, параллельная оси x, ниже неё на 9,5 единицы, чуть ниже прямой из пункта г); пересекает ось y в точке (0; −9,5).
е) y = 4 1/3: прямая, параллельная оси x, выше неё на 4 1/3 единицы; пересекает ось y в точке (0; 4 1/3) и проходит через I и II четверти.
Рисунок схематичный: показаны направление и положение прямых, масштаб по осям условный.
б) y = 2,3x: прямая пропорциональность, график проходит через начало координат, k = 2,3 > 0, прямая возрастает, лежит в I и III четвертях и идёт круто (угловой коэффициент больше 1).
в) y = x/10 = 0,1x: тоже проходит через начало координат и лежит в I и III четвертях, но очень полого (k = 0,1).
г) y = −9: график — прямая, параллельная оси x и расположенная ниже неё на 9 единиц; она пересекает ось y в точке (0; −9) и проходит через III и IV четверти.
д) y = −9,5: прямая, параллельная оси x, ниже неё на 9,5 единицы, чуть ниже прямой из пункта г); пересекает ось y в точке (0; −9,5).
е) y = 4 1/3: прямая, параллельная оси x, выше неё на 4 1/3 единицы; пересекает ось y в точке (0; 4 1/3) и проходит через I и II четверти.
Рисунок схематичный: показаны направление и положение прямых, масштаб по осям условный.