Алгебра · 7 КЛАСС

Упражнения 950–963 — Глава V. §13. п.38 Упражнения

Страница 190 · Алгебра Макарычев 7 класс

Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк · Просвещение, 2023 · 15-е издание, переработанное

Оглавление

Глава V. §13. п.38 Упражнения — с. 190

950. Разложите на множители многочлен: а) 5x² − 5y²; б) am² − an²; в) 2ax² − 2ay²; г) 9p² − 9; д) 16x² − 4; е) 75 − 27c².
В каждом случае сначала выносим общий множитель за скобки, затем применяем формулу разности квадратов a² − b² = (a − b)(a + b).
а) 5x² − 5y² = 5(x² − y²) = 5(x − y)(x + y).
б) am² − an² = a(m² − n²) = a(m − n)(m + n).
в) 2ax² − 2ay² = 2a(x² − y²) = 2a(x − y)(x + y).
г) 9p² − 9 = 9(p² − 1) = 9(p − 1)(p + 1).
д) 16x² − 4 = 4(4x² − 1) = 4(2x − 1)(2x + 1).
е) 75 − 27c² = 3(25 − 9c²) = 3(5 − 3c)(5 + 3c).
951. Представьте в виде произведения: а) y³ − y^5; б) 2x − 2x³; в) 81x² − x^4; г) 4y³ − 100y^5.
а) y³ − y^5 = y³(1 − y²) = y³(1 − y)(1 + y).
б) 2x − 2x³ = 2x(1 − x²) = 2x(1 − x)(1 + x).
в) 81x² − x^4 = x²(81 − x²) = x²(9 − x)(9 + x).
г) 4y³ − 100y^5 = 4y³(1 − 25y²) = 4y³(1 − 5y)(1 + 5y).
952. Выполните разложение на множители: а) mx² − 49m; б) ab² − 4ac²; в) 4b³ − b; г) a³ − ac².
а) mx² − 49m = m(x² − 49) = m(x − 7)(x + 7).
б) ab² − 4ac² = a(b² − 4c²) = a(b − 2c)(b + 2c).
в) 4b³ − b = b(4b² − 1) = b(2b − 1)(2b + 1).
г) a³ − ac² = a(a² − c²) = a(a − c)(a + c).
953. Докажите тождество a^8 − b^8 = (a − b)(a + b)(a² + b²)(a^4 + b^4).
Преобразуем правую часть, последовательно применяя формулу разности квадратов.
(a − b)(a + b) = a² − b².
(a² − b²)(a² + b²) = a^4 − b^4.
(a^4 − b^4)(a^4 + b^4) = a^8 − b^8.
Правая часть равна левой, тождество доказано.
954. Разложите на множители: а) p^4 − 16; б) x^4 − 81; в) y^8 − 1; г) a^4 − b^8.
Применяем формулу разности квадратов несколько раз.
а) p^4 − 16 = (p² − 4)(p² + 4) = (p − 2)(p + 2)(p² + 4).
б) x^4 − 81 = (x² − 9)(x² + 9) = (x − 3)(x + 3)(x² + 9).
в) y^8 − 1 = (y^4 − 1)(y^4 + 1) = (y² − 1)(y² + 1)(y^4 + 1) = (y − 1)(y + 1)(y² + 1)(y^4 + 1).
г) a^4 − b^8 = (a²)² − (b^4)² = (a² − b^4)(a² + b^4) = (a − b²)(a + b²)(a² + b^4).
955. Разложите на множители: а) 3x² + 6xy + 3y²; б) −m² + 2m − 1; в) −4x − 4 − x²; г) 6p² + 24q² + 24pq; д) 45x + 30ax + 5a²x; е) 18cx² − 24cx + 8c.
Выносим общий множитель (если нужно, со знаком минус) и применяем формулы квадрата суммы и квадрата разности.
а) 3x² + 6xy + 3y² = 3(x² + 2xy + y²) = 3(x + y)².
б) −m² + 2m − 1 = −(m² − 2m + 1) = −(m − 1)².
в) −4x − 4 − x² = −(x² + 4x + 4) = −(x + 2)².
г) 6p² + 24q² + 24pq = 6(p² + 4pq + 4q²) = 6(p + 2q)².
д) 45x + 30ax + 5a²x = 5x(9 + 6a + a²) = 5x(3 + a)².
е) 18cx² − 24cx + 8c = 2c(9x² − 12x + 4) = 2c(3x − 2)².
956. Разложите на множители выражение x^6 − y^6, представив его в виде: а) разности квадратов; б) разности кубов.
а) x^6 − y^6 = (x³)² − (y³)² = (x³ − y³)(x³ + y³) = (x − y)(x² + xy + y²)(x + y)(x² − xy + y²).
б) x^6 − y^6 = (x²)³ − (y²)³ = (x² − y²)(x^4 + x²y² + y^4) = (x − y)(x + y)(x^4 + x²y² + y^4).
Оба разложения согласованы: x^4 + x²y² + y^4 = (x² + y²)² − x²y² = (x² + xy + y²)(x² − xy + y²).
957. Выполните разложение на множители: а) 2m² − 4m + 2; б) 36 + 24x + 4x²; в) 8a³ − 8b³; г) 9ax³ + 9ay³.
а) 2m² − 4m + 2 = 2(m² − 2m + 1) = 2(m − 1)².
б) 36 + 24x + 4x² = 4(9 + 6x + x²) = 4(3 + x)².
в) 8a³ − 8b³ = 8(a³ − b³) = 8(a − b)(a² + ab + b²).
г) 9ax³ + 9ay³ = 9a(x³ + y³) = 9a(x + y)(x² − xy + y²).
958. Разложите на множители: а) 4xy + 12y − 4x − 12; б) 60 + 6ab − 30b − 12a; в) −abc − 5ac − 4ab − 20a; г) a³ + a²b + a² + ab.
а) 4xy + 12y − 4x − 12 = 4(xy + 3y − x − 3) = 4(y(x + 3) − (x + 3)) = 4(x + 3)(y − 1).
б) 60 + 6ab − 30b − 12a = 6(10 + ab − 5b − 2a) = 6((10 − 2a) + (ab − 5b)) = 6(2(5 − a) − b(5 − a)) = 6(5 − a)(2 − b).
в) −abc − 5ac − 4ab − 20a = −a(bc + 5c + 4b + 20) = −a(c(b + 5) + 4(b + 5)) = −a(b + 5)(c + 4).
г) a³ + a²b + a² + ab = a(a² + ab + a + b) = a(a(a + b) + (a + b)) = a(a + b)(a + 1).
959. Представьте в виде произведения: а) 45b + 6a − 3ab − 90; б) −5xy − 40y − 15x − 120; в) ac^4 − c^4 + ac³ − c³; г) x³ − x²y + x² − xy.
а) 45b + 6a − 3ab − 90 = 3(15b + 2a − ab − 30) = 3((15b − 30) + (2a − ab)) = 3(15(b − 2) − a(b − 2)) = 3(b − 2)(15 − a).
б) −5xy − 40y − 15x − 120 = −5(xy + 8y + 3x + 24) = −5(y(x + 8) + 3(x + 8)) = −5(x + 8)(y + 3).
в) ac^4 − c^4 + ac³ − c³ = c^4(a − 1) + c³(a − 1) = c³(a − 1)(c + 1).
г) x³ − x²y + x² − xy = x(x² − xy + x − y) = x(x(x − y) + (x − y)) = x(x − y)(x + 1).
960. Выполните разложение на множители: а) x² − 2xc + c² − d²; б) c² + 2c + 1 − a²; в) p² − x² + 6x − 9; г) x² − a² − 10a − 25.
Выделяем квадрат двучлена, затем применяем формулу разности квадратов.
а) x² − 2xc + c² − d² = (x − c)² − d² = (x − c − d)(x − c + d).
б) c² + 2c + 1 − a² = (c + 1)² − a² = (c + 1 − a)(c + 1 + a).
в) p² − x² + 6x − 9 = p² − (x² − 6x + 9) = p² − (x − 3)² = (p − x + 3)(p + x − 3).
г) x² − a² − 10a − 25 = x² − (a² + 10a + 25) = x² − (a + 5)² = (x − a − 5)(x + a + 5).
961. Разложите на множители: а) x² + 2xy + y² − m²; б) p² − a² − 2ab − b²; в) b² − c² − 8b + 16; г) 9 − c² + a² − 6a.
а) x² + 2xy + y² − m² = (x + y)² − m² = (x + y − m)(x + y + m).
б) p² − a² − 2ab − b² = p² − (a + b)² = (p − a − b)(p + a + b).
в) b² − c² − 8b + 16 = (b − 4)² − c² = (b − 4 − c)(b − 4 + c).
г) 9 − c² + a² − 6a = (a² − 6a + 9) − c² = (a − 3)² − c² = (a − 3 − c)(a − 3 + c).
962. Разложите на множители: а) x² − y² − x − y; б) a² − b² − a + b; в) m + n + m² − n²; г) k² − k − p² − p.
Группируем члены: сначала разность квадратов, затем вынесение общего множителя.
а) x² − y² − x − y = (x − y)(x + y) − (x + y) = (x + y)(x − y − 1).
б) a² − b² − a + b = (a − b)(a + b) − (a − b) = (a − b)(a + b − 1).
в) m + n + m² − n² = (m + n) + (m − n)(m + n) = (m + n)(1 + m − n).
г) k² − k − p² − p = (k² − p²) − (k + p) = (k − p)(k + p) − (k + p) = (k + p)(k − p − 1).
963. Представьте в виде произведения: а) a − b + a² − b²; б) c² + d − d² + c.
а) a − b + a² − b² = (a − b) + (a − b)(a + b) = (a − b)(1 + a + b).
б) c² + d − d² + c = (c² − d²) + (c + d) = (c − d)(c + d) + (c + d) = (c + d)(c − d + 1).