Глава V. §13. п.37 Упражнения — с. 187
940. (Для работы в парах.) Впишите вместо многоточия в выражение (n + 8)(n − 4) − (n + 3)(n − 2) + … пропущенное число так, чтобы получилось выражение, значение которого при любом целом n делится на 3.
1. Преобразуйте в многочлен каждое из произведений двучленов и выполните вычитание.
2. Обсудите друг с другом, какому условию должно удовлетворять пропущенное число.
3. Впишите вместо многоточия каждый какое-либо число, удовлетворяющее условию задачи.
4. Проверьте друг у друга, правильно ли выполнено задание.
1) (n + 8)(n − 4) = n² − 4n + 8n − 32 = n² + 4n − 32; (n + 3)(n − 2) = n² − 2n + 3n − 6 = n² + n − 6. Разность: n² + 4n − 32 − n² − n + 6 = 3n − 26.
2) Слагаемое 3n делится на 3 при любом целом n. Значит, сумма 3n − 26 + k делится на 3 при любом n тогда и только тогда, когда число −26 + k делится на 3, то есть k при делении на 3 даёт остаток 2 (так как 26 = 3·8 + 2).
3) Подойдут, например, числа 2, 5, 26, −1. При k = 26 получим 3n − 26 + 26 = 3n, при k = 2 получим 3n − 24 = 3(n − 8).
4) Проверка: подставим k = 5: 3n − 21 = 3(n − 7), делится на 3 при любом целом n. Число 4, например, не подходит: 3n − 22 на 3 не делится.
Ответ: пропущенное число должно давать при делении на 3 остаток 2, например 26.
2) Слагаемое 3n делится на 3 при любом целом n. Значит, сумма 3n − 26 + k делится на 3 при любом n тогда и только тогда, когда число −26 + k делится на 3, то есть k при делении на 3 даёт остаток 2 (так как 26 = 3·8 + 2).
3) Подойдут, например, числа 2, 5, 26, −1. При k = 26 получим 3n − 26 + 26 = 3n, при k = 2 получим 3n − 24 = 3(n − 8).
4) Проверка: подставим k = 5: 3n − 21 = 3(n − 7), делится на 3 при любом целом n. Число 4, например, не подходит: 3n − 22 на 3 не делится.
Ответ: пропущенное число должно давать при делении на 3 остаток 2, например 26.
941. Решите уравнение: а) x(x + 2)(x − 2) − x(x² − 8) = 16; б) 2y(4y − 1) − 2(3 − 2y)² = 48.
а) x(x² − 4) − x(x² − 8) = 16; x³ − 4x − x³ + 8x = 16; 4x = 16; x = 4.
б) 8y² − 2y − 2(9 − 12y + 4y²) = 48; 8y² − 2y − 18 + 24y − 8y² = 48; 22y = 66; y = 3.
Ответ: а) 4; б) 3.
б) 8y² − 2y − 2(9 − 12y + 4y²) = 48; 8y² − 2y − 18 + 24y − 8y² = 48; 22y = 66; y = 3.
Ответ: а) 4; б) 3.
942. Решите уравнение: а) x²(x + 2) − x(x + 1)² = 5x + 9; б) (y − 3)² + 3(y + 2)(y − 2) = 9 + 4y².
а) x³ + 2x² − x(x² + 2x + 1) = 5x + 9; x³ + 2x² − x³ − 2x² − x = 5x + 9; −x = 5x + 9; −6x = 9; x = −1,5.
б) y² − 6y + 9 + 3(y² − 4) = 9 + 4y²; y² − 6y + 9 + 3y² − 12 = 9 + 4y²; 4y² − 6y − 3 = 4y² + 9; −6y = 12; y = −2.
Ответ: а) −1,5; б) −2.
б) y² − 6y + 9 + 3(y² − 4) = 9 + 4y²; y² − 6y + 9 + 3y² − 12 = 9 + 4y²; 4y² − 6y − 3 = 4y² + 9; −6y = 12; y = −2.
Ответ: а) −1,5; б) −2.
943. Докажите, что значение выражения не зависит от значения переменной: а) (a − 1)(a² + 1)(a + 1) − (a² − 1)² − 2(a² − 3); б) (a² − 3)² − (a − 2)(a² + 4)(a + 2) − 6(5 − a²).
а) (a − 1)(a + 1)(a² + 1) = (a² − 1)(a² + 1) = a^4 − 1. (a² − 1)² = a^4 − 2a² + 1. Тогда выражение равно a^4 − 1 − a^4 + 2a² − 1 − 2a² + 6 = 4. Получили число 4, оно не зависит от a.
б) (a² − 3)² = a^4 − 6a² + 9. (a − 2)(a + 2)(a² + 4) = (a² − 4)(a² + 4) = a^4 − 16. Выражение равно a^4 − 6a² + 9 − a^4 + 16 − 30 + 6a² = −5. Получили число −5, оно не зависит от a.
б) (a² − 3)² = a^4 − 6a² + 9. (a − 2)(a + 2)(a² + 4) = (a² − 4)(a² + 4) = a^4 − 16. Выражение равно a^4 − 6a² + 9 − a^4 + 16 − 30 + 6a² = −5. Получили число −5, оно не зависит от a.
944. Упростите выражение: а) (y − 3)(y² + 9)(y + 3) − (2y² − y)² − 19; б) (1 − a)(1 − a²) + (1 + a)(1 + a²) − 2a(1 + a)(a − 1).
а) (y − 3)(y + 3)(y² + 9) = (y² − 9)(y² + 9) = y^4 − 81. (2y² − y)² = 4y^4 − 4y³ + y². Получаем y^4 − 81 − 4y^4 + 4y³ − y² − 19 = −3y^4 + 4y³ − y² − 100.
б) (1 − a)(1 − a²) = 1 − a² − a + a³. (1 + a)(1 + a²) = 1 + a² + a + a³. Сумма равна 2 + 2a³. Далее 2a(1 + a)(a − 1) = 2a(a² − 1) = 2a³ − 2a. Итог: 2 + 2a³ − 2a³ + 2a = 2a + 2.
Ответ: а) −3y^4 + 4y³ − y² − 100; б) 2a + 2.
б) (1 − a)(1 − a²) = 1 − a² − a + a³. (1 + a)(1 + a²) = 1 + a² + a + a³. Сумма равна 2 + 2a³. Далее 2a(1 + a)(a − 1) = 2a(a² − 1) = 2a³ − 2a. Итог: 2 + 2a³ − 2a³ + 2a = 2a + 2.
Ответ: а) −3y^4 + 4y³ − y² − 100; б) 2a + 2.
945. Докажите тождество: а) (a − 3c)(4c + 2a) + 3c(a + 3c) = (2a − c)(3c + 5a) − 8a²; б) (1 − 2b)(1 − 5b + b²) + (2b − 1)(1 − 6b + b²) = b(1 − 2b).
а) Левая часть: (a − 3c)(4c + 2a) = 4ac + 2a² − 12c² − 6ac = 2a² − 2ac − 12c²; 3c(a + 3c) = 3ac + 9c². Сумма: 2a² + ac − 3c².
Правая часть: (2a − c)(3c + 5a) = 6ac + 10a² − 3c² − 5ac = 10a² + ac − 3c²; вычитаем 8a²: 2a² + ac − 3c².
Левая и правая части равны, тождество доказано.
б) Вынесем (1 − 2b) как общий множитель, учитывая 2b − 1 = −(1 − 2b): (1 − 2b)((1 − 5b + b²) − (1 − 6b + b²)) = (1 − 2b)(1 − 5b + b² − 1 + 6b − b²) = (1 − 2b)·b = b(1 − 2b). Левая часть равна правой, тождество доказано.
Правая часть: (2a − c)(3c + 5a) = 6ac + 10a² − 3c² − 5ac = 10a² + ac − 3c²; вычитаем 8a²: 2a² + ac − 3c².
Левая и правая части равны, тождество доказано.
б) Вынесем (1 − 2b) как общий множитель, учитывая 2b − 1 = −(1 − 2b): (1 − 2b)((1 − 5b + b²) − (1 − 6b + b²)) = (1 − 2b)(1 − 5b + b² − 1 + 6b − b²) = (1 − 2b)·b = b(1 − 2b). Левая часть равна правой, тождество доказано.
946. Представьте данный трёхчлен, если это возможно, в виде квадрата двучлена или в виде выражения, противоположного квадрату двучлена: а) 25y² − 15ay + 9a²; б) 15ab − 9a² − 6 1/4 b²; в) 4b² + 0,25c² − 2bc; г) 0,36a² + 0,04y² − 0,24ay.
Трёхчлен является квадратом двучлена, если два его члена — квадраты выражений u и v, а третий равен ±2uv.
а) 25y² = (5y)², 9a² = (3a)². Удвоенное произведение 2·5y·3a = 30ay, а в трёхчлене 15ay. Не совпадает, поэтому представить в виде квадрата двучлена нельзя. Выражение, противоположное квадрату, тоже невозможно: у квадратов 25y² и 9a² знаки плюс.
б) 15ab − 9a² − 6 1/4 b² = −(9a² − 15ab + 25/4 b²) = −(3a − 2,5b)², так как (3a)² = 9a², (2,5b)² = 6,25b² = 6 1/4 b², а 2·3a·2,5b = 15ab.
в) 4b² + 0,25c² − 2bc = (2b)² − 2·2b·0,5c + (0,5c)² = (2b − 0,5c)².
г) 0,36a² + 0,04y² − 0,24ay = (0,6a)² − 2·0,6a·0,2y + (0,2y)² = (0,6a − 0,2y)².
Ответ: а) нельзя; б) −(3a − 2,5b)²; в) (2b − 0,5c)²; г) (0,6a − 0,2y)².
а) 25y² = (5y)², 9a² = (3a)². Удвоенное произведение 2·5y·3a = 30ay, а в трёхчлене 15ay. Не совпадает, поэтому представить в виде квадрата двучлена нельзя. Выражение, противоположное квадрату, тоже невозможно: у квадратов 25y² и 9a² знаки плюс.
б) 15ab − 9a² − 6 1/4 b² = −(9a² − 15ab + 25/4 b²) = −(3a − 2,5b)², так как (3a)² = 9a², (2,5b)² = 6,25b² = 6 1/4 b², а 2·3a·2,5b = 15ab.
в) 4b² + 0,25c² − 2bc = (2b)² − 2·2b·0,5c + (0,5c)² = (2b − 0,5c)².
г) 0,36a² + 0,04y² − 0,24ay = (0,6a)² − 2·0,6a·0,2y + (0,2y)² = (0,6a − 0,2y)².
Ответ: а) нельзя; б) −(3a − 2,5b)²; в) (2b − 0,5c)²; г) (0,6a − 0,2y)².
947. Разложите на множители: а) −20x^4y² − 35x³y³; б) 3a³b²c + 9ab²c³; в) −1,2a³b + 1,2b^4; г) 7,2x^4y^4 − 1,8x^4y².
а) Общий множитель −5x³y²: −20x^4y² − 35x³y³ = −5x³y²(4x + 7y).
б) Общий множитель 3ab²c: 3a³b²c + 9ab²c³ = 3ab²c(a² + 3c²).
в) Вынесем 1,2b: −1,2a³b + 1,2b^4 = 1,2b(b³ − a³) = 1,2b(b − a)(b² + ab + a²).
г) Вынесем 1,8x^4y²: 7,2x^4y^4 − 1,8x^4y² = 1,8x^4y²(4y² − 1) = 1,8x^4y²(2y − 1)(2y + 1).
б) Общий множитель 3ab²c: 3a³b²c + 9ab²c³ = 3ab²c(a² + 3c²).
в) Вынесем 1,2b: −1,2a³b + 1,2b^4 = 1,2b(b³ − a³) = 1,2b(b − a)(b² + ab + a²).
г) Вынесем 1,8x^4y²: 7,2x^4y^4 − 1,8x^4y² = 1,8x^4y²(4y² − 1) = 1,8x^4y²(2y − 1)(2y + 1).