Глава V. §12. п.36 Разложение на множители суммы и разности кубов — с. 184
925. Запишите в виде произведения выражение: а) x³ − y⁶; б) a⁶ + b³; в) m⁹ − n³; г) p³ + k⁹; д) a⁶ + b⁹; е) x⁹ − y⁹.
а) x³ − (y²)³ = (x − y²)(x² + xy² + y⁴).
б) (a²)³ + b³ = (a² + b)(a⁴ − a²b + b²).
в) (m³)³ − n³ = (m³ − n)(m⁶ + m³n + n²).
г) p³ + (k³)³ = (p + k³)(p² − pk³ + k⁶).
д) (a²)³ + (b³)³ = (a² + b³)(a⁴ − a²b³ + b⁶).
е) (x³)³ − (y³)³ = (x³ − y³)(x⁶ + x³y³ + y⁶).
б) (a²)³ + b³ = (a² + b)(a⁴ − a²b + b²).
в) (m³)³ − n³ = (m³ − n)(m⁶ + m³n + n²).
г) p³ + (k³)³ = (p + k³)(p² − pk³ + k⁶).
д) (a²)³ + (b³)³ = (a² + b³)(a⁴ − a²b³ + b⁶).
е) (x³)³ − (y³)³ = (x³ − y³)(x⁶ + x³y³ + y⁶).
926. Разложите на множители: а) c³ + b⁶; б) a⁹ − b⁶; в) x⁶ − 8; г) 27 + y⁹.
а) c³ + (b²)³ = (c + b²)(c² − cb² + b⁴).
б) (a³)³ − (b²)³ = (a³ − b²)(a⁶ + a³b² + b⁴).
в) (x²)³ − 2³ = (x² − 2)(x⁴ + 2x² + 4).
г) 3³ + (y³)³ = (3 + y³)(9 − 3y³ + y⁶).
б) (a³)³ − (b²)³ = (a³ − b²)(a⁶ + a³b² + b⁴).
в) (x²)³ − 2³ = (x² − 2)(x⁴ + 2x² + 4).
г) 3³ + (y³)³ = (3 + y³)(9 − 3y³ + y⁶).
927. Запишите в виде произведения: а) −x³ + y³; б) −8 − p³; в) −a⁶ + 1/8; г) −1/27 − b⁶; д) c⁶ + 1; е) x⁶ + y⁶.
а) y³ − x³ = (y − x)(y² + xy + x²).
б) −(8 + p³) = −(2 + p)(4 − 2p + p²).
в) (1/2)³ − (a²)³ = (1/2 − a²)(1/4 + (1/2)a² + a⁴).
г) −((1/3)³ + (b²)³) = −(1/3 + b²)(1/9 − (1/3)b² + b⁴).
д) (c²)³ + 1 = (c² + 1)(c⁴ − c² + 1).
е) (x²)³ + (y²)³ = (x² + y²)(x⁴ − x²y² + y⁴).
б) −(8 + p³) = −(2 + p)(4 − 2p + p²).
в) (1/2)³ − (a²)³ = (1/2 − a²)(1/4 + (1/2)a² + a⁴).
г) −((1/3)³ + (b²)³) = −(1/3 + b²)(1/9 − (1/3)b² + b⁴).
д) (c²)³ + 1 = (c² + 1)(c⁴ − c² + 1).
е) (x²)³ + (y²)³ = (x² + y²)(x⁴ − x²y² + y⁴).
928. Представьте в виде произведения: а) a³b³ − 1; б) 1 + x³y³; в) 8 − a³c³; г) m³n³ + 27; д) x⁶y³ − c³; е) a³ − m³n⁹.
а) (ab)³ − 1 = (ab − 1)(a²b² + ab + 1).
б) 1 + (xy)³ = (1 + xy)(1 − xy + x²y²).
в) 2³ − (ac)³ = (2 − ac)(4 + 2ac + a²c²).
г) (mn)³ + 3³ = (mn + 3)(m²n² − 3mn + 9).
д) (x²y)³ − c³ = (x²y − c)(x⁴y² + x²yc + c²).
е) a³ − (mn³)³ = (a − mn³)(a² + amn³ + m²n⁶).
б) 1 + (xy)³ = (1 + xy)(1 − xy + x²y²).
в) 2³ − (ac)³ = (2 − ac)(4 + 2ac + a²c²).
г) (mn)³ + 3³ = (mn + 3)(m²n² − 3mn + 9).
д) (x²y)³ − c³ = (x²y − c)(x⁴y² + x²yc + c²).
е) a³ − (mn³)³ = (a − mn³)(a² + amn³ + m²n⁶).
929. Докажите, что значение выражения: а) 327³ + 173³ делится на 500; б) 731³ − 631³ делится на 100; в) 211³ + 129³ делится на 17; г) 356³ − 245³ делится на 3.
а) 327³ + 173³ = (327 + 173)(327² − 327·173 + 173²) = 500·(…), делится на 500.
б) 731³ − 631³ = (731 − 631)(731² + 731·631 + 631²) = 100·(…), делится на 100.
в) 211³ + 129³ = (211 + 129)(211² − 211·129 + 129²) = 340·(…); 340 = 17·20, значит, делится на 17.
г) 356³ − 245³ = (356 − 245)(356² + 356·245 + 245²) = 111·(…); 111 = 3·37, значит, делится на 3.
б) 731³ − 631³ = (731 − 631)(731² + 731·631 + 631²) = 100·(…), делится на 100.
в) 211³ + 129³ = (211 + 129)(211² − 211·129 + 129²) = 340·(…); 340 = 17·20, значит, делится на 17.
г) 356³ − 245³ = (356 − 245)(356² + 356·245 + 245²) = 111·(…); 111 = 3·37, значит, делится на 3.
930. Делится ли значение выражения: а) 38³ + 37³ на 75; б) 99³ − 74³ на 25?
а) 38³ + 37³ = (38 + 37)(38² − 38·37 + 37²) = 75·(…). Множитель 75 есть, значит, делится.
б) 99³ − 74³ = (99 − 74)(99² + 99·74 + 74²) = 25·(…). Множитель 25 есть, значит, делится.
Ответ: а) да; б) да.
б) 99³ − 74³ = (99 − 74)(99² + 99·74 + 74²) = 25·(…). Множитель 25 есть, значит, делится.
Ответ: а) да; б) да.
931. Представьте в виде многочлена: а) (11c² + a³)(−a³ + 11c²); б) (0,8x + y⁴)(−0,8x − y⁴); в) (0,3c − 0,2d)(0,2d − 0,3c); г) (6x³ − 4x)(−6x³ − 4x).
а) (11c² + a³)(11c² − a³) = 121c⁴ − a⁶.
б) −(0,8x + y⁴)² = −(0,64x² + 1,6xy⁴ + y⁸) = −0,64x² − 1,6xy⁴ − y⁸.
в) −(0,3c − 0,2d)² = −(0,09c² − 0,12cd + 0,04d²) = −0,09c² + 0,12cd − 0,04d².
г) (−4x + 6x³)(−4x − 6x³) = (−4x)² − (6x³)² = 16x² − 36x⁶.
б) −(0,8x + y⁴)² = −(0,64x² + 1,6xy⁴ + y⁸) = −0,64x² − 1,6xy⁴ − y⁸.
в) −(0,3c − 0,2d)² = −(0,09c² − 0,12cd + 0,04d²) = −0,09c² + 0,12cd − 0,04d².
г) (−4x + 6x³)(−4x − 6x³) = (−4x)² − (6x³)² = 16x² − 36x⁶.
932. Докажите, что равенство не является тождеством: а) x⁴ + 4 = (x + 2)²; б) (x − 2)(2 + x) = 4 − x².
Чтобы показать, что равенство не тождество, достаточно найти значение переменной, при котором части не равны.
а) При x = 1: левая часть 1 + 4 = 5, правая (1 + 2)² = 9. Значения различны.
б) (x − 2)(x + 2) = x² − 4, а правая часть 4 − x². При x = 0: левая часть −4, правая 4. Значения различны.
а) При x = 1: левая часть 1 + 4 = 5, правая (1 + 2)² = 9. Значения различны.
б) (x − 2)(x + 2) = x² − 4, а правая часть 4 − x². При x = 0: левая часть −4, правая 4. Значения различны.
933. Решите уравнение: а) (2x − 3)² − 2x(4 + 2x) = 11; б) (4x − 3)(3 + 4x) − 2x(8x − 1) = 0.
а) 4x² − 12x + 9 − 8x − 4x² = 11; −20x + 9 = 11; −20x = 2; x = −0,1.
б) (4x − 3)(4x + 3) = 16x² − 9. Уравнение: 16x² − 9 − 16x² + 2x = 0; 2x = 9; x = 4,5.
Ответ: а) −0,1; б) 4,5.
б) (4x − 3)(4x + 3) = 16x² − 9. Уравнение: 16x² − 9 − 16x² + 2x = 0; 2x = 9; x = 4,5.
Ответ: а) −0,1; б) 4,5.
Контрольный вопрос 1. Чему равно произведение разности двух выражений и их суммы?
Напишите соответствующую формулу и докажите её.
Произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений: (a − b)(a + b) = a² − b².
Доказательство: (a − b)(a + b) = a² + ab − ba − b² = a² − b².
Доказательство: (a − b)(a + b) = a² + ab − ba − b² = a² − b².
Контрольный вопрос 2. Чему равна разность квадратов двух выражений?
Напишите соответствующую формулу.
Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений и их суммы: a² − b² = (a − b)(a + b).
Контрольный вопрос 3. Напишите формулу суммы кубов. Проведите доказательство.
Формула: a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²).
Доказательство: (a + b)(a² − ab + b²) = a³ − a²b + ab² + a²b − ab² + b³ = a³ + b³.
Доказательство: (a + b)(a² − ab + b²) = a³ − a²b + ab² + a²b − ab² + b³ = a³ + b³.
Контрольный вопрос 4. Напишите формулу разности кубов. Проведите доказательство.
Формула: a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²).
Доказательство: (a − b)(a² + ab + b²) = a³ + a²b + ab² − a²b − ab² − b³ = a³ − b³.
Доказательство: (a − b)(a² + ab + b²) = a³ + a²b + ab² − a²b − ab² − b³ = a³ − b³.
Контрольный вопрос 5. Разложите на множители многочлен 16t² − 1; p³ + 8; m³ − 27.
16t² − 1 = (4t)² − 1² = (4t − 1)(4t + 1).
p³ + 8 = p³ + 2³ = (p + 2)(p² − 2p + 4).
m³ − 27 = m³ − 3³ = (m − 3)(m² + 3m + 9).
p³ + 8 = p³ + 2³ = (p + 2)(p² − 2p + 4).
m³ − 27 = m³ − 3³ = (m − 3)(m² + 3m + 9).