Глава V. §13. п.37 Упражнения — с. 186
934. Какие из выражений 2x²y, 4a² − b(a − 3b), a²/(a − 3), (x² − 1)/8, 9x − 1/2 являются целыми?
Целые выражения составлены из чисел и переменных с помощью сложения, вычитания и умножения; допускается также деление на число, отличное от нуля.
2x²y — произведение, целое выражение.
4a² − b(a − 3b) — только вычитание и умножение, целое выражение.
a²/(a − 3) — деление на выражение с переменной, не целое.
(x² − 1)/8 — деление на число 8, то есть умножение на 1/8, целое выражение.
9x − 1/2 — разность одночлена и числа, целое выражение.
Ответ: целыми являются 2x²y, 4a² − b(a − 3b), (x² − 1)/8, 9x − 1/2.
2x²y — произведение, целое выражение.
4a² − b(a − 3b) — только вычитание и умножение, целое выражение.
a²/(a − 3) — деление на выражение с переменной, не целое.
(x² − 1)/8 — деление на число 8, то есть умножение на 1/8, целое выражение.
9x − 1/2 — разность одночлена и числа, целое выражение.
Ответ: целыми являются 2x²y, 4a² − b(a − 3b), (x² − 1)/8, 9x − 1/2.
935. Представьте в виде многочлена: а) сумму многочлена x³ + 7x² + 8 и произведения многочленов x² − 6x + 4 и x − 1; б) разность произведения многочленов a² + 7a − 4 и a − 3 и многочлена a³ + 4a² − 29a + 11.
а) (x³ + 7x² + 8) + (x² − 6x + 4)(x − 1). Сначала произведение: (x² − 6x + 4)(x − 1) = x³ − x² − 6x² + 6x + 4x − 4 = x³ − 7x² + 10x − 4.
Теперь сумма: x³ + 7x² + 8 + x³ − 7x² + 10x − 4 = 2x³ + 10x + 4.
б) (a² + 7a − 4)(a − 3) − (a³ + 4a² − 29a + 11). Произведение: a³ − 3a² + 7a² − 21a − 4a + 12 = a³ + 4a² − 25a + 12.
Разность: a³ + 4a² − 25a + 12 − a³ − 4a² + 29a − 11 = 4a + 1.
Ответ: а) 2x³ + 10x + 4; б) 4a + 1.
Теперь сумма: x³ + 7x² + 8 + x³ − 7x² + 10x − 4 = 2x³ + 10x + 4.
б) (a² + 7a − 4)(a − 3) − (a³ + 4a² − 29a + 11). Произведение: a³ − 3a² + 7a² − 21a − 4a + 12 = a³ + 4a² − 25a + 12.
Разность: a³ + 4a² − 25a + 12 − a³ − 4a² + 29a − 11 = 4a + 1.
Ответ: а) 2x³ + 10x + 4; б) 4a + 1.
936. Преобразуйте в многочлен: а) 4(m − n)² + 4m(m − n); б) 5x(x − y) − 2(y − x)²; в) (y + 7)² − 2(y + 10)(y + 4); г) (x − 5)(6 + 4x) − 3(1 − x)².
а) 4(m² − 2mn + n²) + 4m² − 4mn = 4m² − 8mn + 4n² + 4m² − 4mn = 8m² − 12mn + 4n².
б) (y − x)² = (x − y)², поэтому 5x² − 5xy − 2(x² − 2xy + y²) = 5x² − 5xy − 2x² + 4xy − 2y² = 3x² − xy − 2y².
в) y² + 14y + 49 − 2(y² + 4y + 10y + 40) = y² + 14y + 49 − 2y² − 28y − 80 = −y² − 14y − 31.
г) (x − 5)(6 + 4x) = 6x + 4x² − 30 − 20x = 4x² − 14x − 30; 3(1 − x)² = 3 − 6x + 3x². Тогда 4x² − 14x − 30 − 3 + 6x − 3x² = x² − 8x − 33.
Ответ: а) 8m² − 12mn + 4n²; б) 3x² − xy − 2y²; в) −y² − 14y − 31; г) x² − 8x − 33.
б) (y − x)² = (x − y)², поэтому 5x² − 5xy − 2(x² − 2xy + y²) = 5x² − 5xy − 2x² + 4xy − 2y² = 3x² − xy − 2y².
в) y² + 14y + 49 − 2(y² + 4y + 10y + 40) = y² + 14y + 49 − 2y² − 28y − 80 = −y² − 14y − 31.
г) (x − 5)(6 + 4x) = 6x + 4x² − 30 − 20x = 4x² − 14x − 30; 3(1 − x)² = 3 − 6x + 3x². Тогда 4x² − 14x − 30 − 3 + 6x − 3x² = x² − 8x − 33.
Ответ: а) 8m² − 12mn + 4n²; б) 3x² − xy − 2y²; в) −y² − 14y − 31; г) x² − 8x − 33.
937. Упростите выражение: а) (3m − a)(a + 3m) − (2a + m)(3a − m); б) (x − 4y)(x + 3y) + (x − 3y)(3y + x).
а) (3m − a)(3m + a) = 9m² − a². (2a + m)(3a − m) = 6a² − 2am + 3am − m² = 6a² + am − m². Разность: 9m² − a² − 6a² − am + m² = 10m² − 7a² − am.
б) (x − 4y)(x + 3y) = x² + 3xy − 4xy − 12y² = x² − xy − 12y². (x − 3y)(x + 3y) = x² − 9y². Сумма: x² − xy − 12y² + x² − 9y² = 2x² − xy − 21y².
Ответ: а) 10m² − 7a² − am; б) 2x² − xy − 21y².
б) (x − 4y)(x + 3y) = x² + 3xy − 4xy − 12y² = x² − xy − 12y². (x − 3y)(x + 3y) = x² − 9y². Сумма: x² − xy − 12y² + x² − 9y² = 2x² − xy − 21y².
Ответ: а) 10m² − 7a² − am; б) 2x² − xy − 21y².
938. Зная, что a = 2x − 5, b = 8x + 1, c = 4x − 2, представьте в виде многочлена с переменной x выражение ab − c².
ab = (2x − 5)(8x + 1) = 16x² + 2x − 40x − 5 = 16x² − 38x − 5.
c² = (4x − 2)² = 16x² − 16x + 4.
ab − c² = 16x² − 38x − 5 − 16x² + 16x − 4 = −22x − 9.
Ответ: −22x − 9.
c² = (4x − 2)² = 16x² − 16x + 4.
ab − c² = 16x² − 38x − 5 − 16x² + 16x − 4 = −22x − 9.
Ответ: −22x − 9.
939. Докажите, что ни при каком целом n значение выражения (2n + 1)(n + 5) − 2(n + 3)(n − 3) − (5n + 13) не делится на 6.
Упростим выражение: (2n + 1)(n + 5) = 2n² + 10n + n + 5 = 2n² + 11n + 5; 2(n + 3)(n − 3) = 2(n² − 9) = 2n² − 18.
Получаем 2n² + 11n + 5 − 2n² + 18 − 5n − 13 = 6n + 10.
Первое слагаемое 6n при любом целом n делится на 6, а второе слагаемое 10 на 6 не делится. Поэтому и вся сумма 6n + 10 не делится на 6 ни при каком целом n, что и требовалось доказать.
Получаем 2n² + 11n + 5 − 2n² + 18 − 5n − 13 = 6n + 10.
Первое слагаемое 6n при любом целом n делится на 6, а второе слагаемое 10 на 6 не делится. Поэтому и вся сумма 6n + 10 не делится на 6 ни при каком целом n, что и требовалось доказать.