Глава V. Дополнительные упражнения к главе V. К параграфу 13 — с. 199
1021. При каком значении a многочлен стандартного вида, тождественно равный произведению (x² + x − 1)(x − a), не содержит: а) x²; б) x?
Перемножим: (x² + x − 1)(x − a) = x³ − ax² + x² − ax − x + a = x³ + (1 − a)x² − (a + 1)x + a.
а) Член с x² отсутствует, если 1 − a = 0, то есть a = 1.
б) Член с x отсутствует, если a + 1 = 0, то есть a = −1.
Ответ: а) a = 1; б) a = −1.
а) Член с x² отсутствует, если 1 − a = 0, то есть a = 1.
б) Член с x отсутствует, если a + 1 = 0, то есть a = −1.
Ответ: а) a = 1; б) a = −1.
1022. При каком значении b многочлен стандартного вида, тождественно равный произведению (x² − 10x + 6)(2x + b): а) не содержит x²; б) имеет равные коэффициенты при x³ и при x?
Перемножим: (x² − 10x + 6)(2x + b) = 2x³ + bx² − 20x² − 10bx + 12x + 6b = 2x³ + (b − 20)x² + (12 − 10b)x + 6b.
а) Коэффициент при x² равен нулю: b − 20 = 0, b = 20.
б) Коэффициент при x³ равен 2, при x равен 12 − 10b. Из 12 − 10b = 2 получаем b = 1.
Ответ: а) b = 20; б) b = 1.
а) Коэффициент при x² равен нулю: b − 20 = 0, b = 20.
б) Коэффициент при x³ равен 2, при x равен 12 − 10b. Из 12 − 10b = 2 получаем b = 1.
Ответ: а) b = 20; б) b = 1.
1023. Представьте в виде произведения: а) 7a³ + 7b³; б) 2a^4 − 2b^4; в) 5a^4 + 5b^4; г) 2,5a^6 − 2,5b^6; д) 1,2a^6 + 1,2b^6; е) 3a^8 − 3b^8.
Сначала выносим общий числовой множитель, затем применяем формулы.
а) 7(a³ + b³) = 7(a + b)(a² − ab + b²).
б) 2(a^4 − b^4) = 2(a² − b²)(a² + b²) = 2(a − b)(a + b)(a² + b²).
в) 5(a^4 + b^4); сумма a^4 + b^4 на множители с целыми коэффициентами не раскладывается, поэтому остаётся 5(a^4 + b^4).
г) 2,5(a^6 − b^6) = 2,5(a³ − b³)(a³ + b³) = 2,5(a − b)(a² + ab + b²)(a + b)(a² − ab + b²).
д) 1,2(a^6 + b^6) = 1,2((a²)³ + (b²)³) = 1,2(a² + b²)(a^4 − a²b² + b^4).
е) 3(a^8 − b^8) = 3(a^4 − b^4)(a^4 + b^4) = 3(a² − b²)(a² + b²)(a^4 + b^4) = 3(a − b)(a + b)(a² + b²)(a^4 + b^4).
Оговорка: в пункте в) выражение 5(a^4 + b^4) — разложение в произведение числа и многочлена; дальнейшее разложение не требуется.
а) 7(a³ + b³) = 7(a + b)(a² − ab + b²).
б) 2(a^4 − b^4) = 2(a² − b²)(a² + b²) = 2(a − b)(a + b)(a² + b²).
в) 5(a^4 + b^4); сумма a^4 + b^4 на множители с целыми коэффициентами не раскладывается, поэтому остаётся 5(a^4 + b^4).
г) 2,5(a^6 − b^6) = 2,5(a³ − b³)(a³ + b³) = 2,5(a − b)(a² + ab + b²)(a + b)(a² − ab + b²).
д) 1,2(a^6 + b^6) = 1,2((a²)³ + (b²)³) = 1,2(a² + b²)(a^4 − a²b² + b^4).
е) 3(a^8 − b^8) = 3(a^4 − b^4)(a^4 + b^4) = 3(a² − b²)(a² + b²)(a^4 + b^4) = 3(a − b)(a + b)(a² + b²)(a^4 + b^4).
Оговорка: в пункте в) выражение 5(a^4 + b^4) — разложение в произведение числа и многочлена; дальнейшее разложение не требуется.
1024. Докажите, что число, равное разности 111 111 − 222, является квадратом натурального числа.
111111 − 222 = 110889. Преобразуем: 111111 = 111000 + 111 = 111·1001, а 222 = 2·111. Тогда 111111 − 222 = 111·1001 − 111·2 = 111·999 = 111·9·111 = 9·111² = (3·111)² = 333².
Проверка: 333² = 110889. Значит, данное число — квадрат натурального числа 333.
Проверка: 333² = 110889. Значит, данное число — квадрат натурального числа 333.
1025. Преобразуйте в произведение выражение: а) 9c^15 − c^13; б) x^22 − (1/49)x^20; в) a^5 − 0,064a²; г) y^7 − 1 7/9 y^5.
Выносим за скобки множитель с наименьшей степенью, затем применяем формулы.
а) 9c^15 − c^13 = c^13(9c² − 1) = c^13(3c − 1)(3c + 1).
б) x^22 − (1/49)x^20 = x^20(x² − 1/49) = x^20(x − 1/7)(x + 1/7).
в) a^5 − 0,064a² = a²(a³ − 0,064) = a²(a³ − 0,4³) = a²(a − 0,4)(a² + 0,4a + 0,16).
г) 1 7/9 = 16/9, поэтому y^7 − (16/9)y^5 = y^5(y² − 16/9) = y^5(y − 4/3)(y + 4/3).
а) 9c^15 − c^13 = c^13(9c² − 1) = c^13(3c − 1)(3c + 1).
б) x^22 − (1/49)x^20 = x^20(x² − 1/49) = x^20(x − 1/7)(x + 1/7).
в) a^5 − 0,064a² = a²(a³ − 0,064) = a²(a³ − 0,4³) = a²(a − 0,4)(a² + 0,4a + 0,16).
г) 1 7/9 = 16/9, поэтому y^7 − (16/9)y^5 = y^5(y² − 16/9) = y^5(y − 4/3)(y + 4/3).
1026. Представьте в виде произведения: а) 2x^8 − 12x^4 + 18; б) −2a^6 − 8a³b − 8b²; в) a^4b + 6a²b³ + 9b^5; г) 4x + 4xy^6 + xy^12.
Выносим общий множитель, затем используем формулу квадрата суммы или разности.
а) 2(x^8 − 6x^4 + 9) = 2(x^4 − 3)².
б) −2(a^6 + 4a³b + 4b²) = −2(a³ + 2b)².
в) b(a^4 + 6a²b² + 9b^4) = b(a² + 3b²)².
г) x(4 + 4y^6 + y^12) = x(2 + y^6)².
а) 2(x^8 − 6x^4 + 9) = 2(x^4 − 3)².
б) −2(a^6 + 4a³b + 4b²) = −2(a³ + 2b)².
в) b(a^4 + 6a²b² + 9b^4) = b(a² + 3b²)².
г) x(4 + 4y^6 + y^12) = x(2 + y^6)².
1027. Разложите на множители: а) 70a − 84b + 20ab − 24b²; б) 21bc² − 6c − 3c³ + 42b; в) 12y − 9x² + 36 − 3x²y; г) 30a³ − 18a²b − 72b + 120a.
Применяем способ группировки.
а) (70a + 20ab) − (84b + 24b²) = 10a(7 + 2b) − 12b(7 + 2b) = (7 + 2b)(10a − 12b) = 2(7 + 2b)(5a − 6b).
б) (21bc² + 42b) − (6c + 3c³) = 21b(c² + 2) − 3c(2 + c²) = (c² + 2)(21b − 3c) = 3(7b − c)(c² + 2).
в) (12y + 36) − (9x² + 3x²y) = 12(y + 3) − 3x²(3 + y) = (y + 3)(12 − 3x²) = 3(y + 3)(4 − x²) = 3(y + 3)(2 − x)(2 + x).
г) (30a³ + 120a) − (18a²b + 72b) = 30a(a² + 4) − 18b(a² + 4) = (a² + 4)(30a − 18b) = 6(5a − 3b)(a² + 4).
а) (70a + 20ab) − (84b + 24b²) = 10a(7 + 2b) − 12b(7 + 2b) = (7 + 2b)(10a − 12b) = 2(7 + 2b)(5a − 6b).
б) (21bc² + 42b) − (6c + 3c³) = 21b(c² + 2) − 3c(2 + c²) = (c² + 2)(21b − 3c) = 3(7b − c)(c² + 2).
в) (12y + 36) − (9x² + 3x²y) = 12(y + 3) − 3x²(3 + y) = (y + 3)(12 − 3x²) = 3(y + 3)(4 − x²) = 3(y + 3)(2 − x)(2 + x).
г) (30a³ + 120a) − (18a²b + 72b) = 30a(a² + 4) − 18b(a² + 4) = (a² + 4)(30a − 18b) = 6(5a − 3b)(a² + 4).
1028. Преобразуйте в произведение: а) 3a³ − 3ab² + a²b − b³; б) 2x − a²y − 2a²x + y; в) 3p − 2c³ − 3c³p + 2; г) a^4 − 24 + 8a − 3a³.
а) 3a(a² − b²) + b(a² − b²) = (a² − b²)(3a + b) = (a − b)(a + b)(3a + b).
б) (2x − 2a²x) + (y − a²y) = 2x(1 − a²) + y(1 − a²) = (1 − a²)(2x + y) = (1 − a)(1 + a)(2x + y).
в) (3p − 3c³p) + (2 − 2c³) = 3p(1 − c³) + 2(1 − c³) = (1 − c³)(3p + 2) = (1 − c)(1 + c + c²)(3p + 2).
г) (a^4 − 3a³) + (8a − 24) = a³(a − 3) + 8(a − 3) = (a − 3)(a³ + 8) = (a − 3)(a + 2)(a² − 2a + 4).
б) (2x − 2a²x) + (y − a²y) = 2x(1 − a²) + y(1 − a²) = (1 − a²)(2x + y) = (1 − a)(1 + a)(2x + y).
в) (3p − 3c³p) + (2 − 2c³) = 3p(1 − c³) + 2(1 − c³) = (1 − c³)(3p + 2) = (1 − c)(1 + c + c²)(3p + 2).
г) (a^4 − 3a³) + (8a − 24) = a³(a − 3) + 8(a − 3) = (a − 3)(a³ + 8) = (a − 3)(a + 2)(a² − 2a + 4).
1029. Решите уравнение: а) x³ + 3x² − 4x − 12 = 0; б) 2m³ − m² − 18m + 9 = 0; в) y³ − 6y² = 6 − y; г) 2a³ + 3a² = 2a + 3.
Раскладываем левую часть на множители способом группировки; произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.
а) x²(x + 3) − 4(x + 3) = (x + 3)(x² − 4) = (x + 3)(x − 2)(x + 2) = 0; x = −3, x = 2, x = −2.
б) m²(2m − 1) − 9(2m − 1) = (2m − 1)(m² − 9) = (2m − 1)(m − 3)(m + 3) = 0; m = 0,5, m = 3, m = −3.
в) Перенесём всё влево: y³ − 6y² + y − 6 = 0; y²(y − 6) + (y − 6) = (y − 6)(y² + 1) = 0. Множитель y² + 1 положителен, поэтому y = 6.
г) 2a³ + 3a² − 2a − 3 = 0; a²(2a + 3) − (2a + 3) = (2a + 3)(a² − 1) = (2a + 3)(a − 1)(a + 1) = 0; a = −1,5, a = 1, a = −1.
Ответ: а) −3; 2; −2; б) 0,5; 3; −3; в) 6; г) −1,5; 1; −1.
а) x²(x + 3) − 4(x + 3) = (x + 3)(x² − 4) = (x + 3)(x − 2)(x + 2) = 0; x = −3, x = 2, x = −2.
б) m²(2m − 1) − 9(2m − 1) = (2m − 1)(m² − 9) = (2m − 1)(m − 3)(m + 3) = 0; m = 0,5, m = 3, m = −3.
в) Перенесём всё влево: y³ − 6y² + y − 6 = 0; y²(y − 6) + (y − 6) = (y − 6)(y² + 1) = 0. Множитель y² + 1 положителен, поэтому y = 6.
г) 2a³ + 3a² − 2a − 3 = 0; a²(2a + 3) − (2a + 3) = (2a + 3)(a² − 1) = (2a + 3)(a − 1)(a + 1) = 0; a = −1,5, a = 1, a = −1.
Ответ: а) −3; 2; −2; б) 0,5; 3; −3; в) 6; г) −1,5; 1; −1.
1030. Решите уравнение: а) x³ − 2x² − x + 2 = 0; б) y³ − y² = 16y − 16; в) 2y³ − y² − 32y + 16 = 0; г) 4x³ − 3x² = 4x − 3.
а) x²(x − 2) − (x − 2) = (x − 2)(x² − 1) = (x − 2)(x − 1)(x + 1) = 0; x = 2, x = 1, x = −1.
б) y³ − y² − 16y + 16 = 0; y²(y − 1) − 16(y − 1) = (y − 1)(y² − 16) = (y − 1)(y − 4)(y + 4) = 0; y = 1, y = 4, y = −4.
в) y²(2y − 1) − 16(2y − 1) = (2y − 1)(y² − 16) = (2y − 1)(y − 4)(y + 4) = 0; y = 0,5, y = 4, y = −4.
г) 4x³ − 3x² − 4x + 3 = 0; x²(4x − 3) − (4x − 3) = (4x − 3)(x² − 1) = (4x − 3)(x − 1)(x + 1) = 0; x = 0,75, x = 1, x = −1.
Ответ: а) 2; 1; −1; б) 1; 4; −4; в) 0,5; 4; −4; г) 0,75; 1; −1.
б) y³ − y² − 16y + 16 = 0; y²(y − 1) − 16(y − 1) = (y − 1)(y² − 16) = (y − 1)(y − 4)(y + 4) = 0; y = 1, y = 4, y = −4.
в) y²(2y − 1) − 16(2y − 1) = (2y − 1)(y² − 16) = (2y − 1)(y − 4)(y + 4) = 0; y = 0,5, y = 4, y = −4.
г) 4x³ − 3x² − 4x + 3 = 0; x²(4x − 3) − (4x − 3) = (4x − 3)(x² − 1) = (4x − 3)(x − 1)(x + 1) = 0; x = 0,75, x = 1, x = −1.
Ответ: а) 2; 1; −1; б) 1; 4; −4; в) 0,5; 4; −4; г) 0,75; 1; −1.
1031. Разложите на множители: а) x² − y² − 1,5(x − y); б) x² − a² + 0,5(x + a); в) 4a² − b² − 2a + b; г) p² − 16c² − p − 4c; д) a² + 6a + 6b − b²; е) x² − 7x + 7y − y².
Раскладываем разность квадратов и выносим общий множитель.
а) (x − y)(x + y) − 1,5(x − y) = (x − y)(x + y − 1,5).
б) (x + a)(x − a) + 0,5(x + a) = (x + a)(x − a + 0,5).
в) (2a − b)(2a + b) − (2a − b) = (2a − b)(2a + b − 1).
г) (p − 4c)(p + 4c) − (p + 4c) = (p + 4c)(p − 4c − 1).
д) (a² − b²) + 6(a + b) = (a + b)(a − b) + 6(a + b) = (a + b)(a − b + 6).
е) (x² − y²) − 7(x − y) = (x − y)(x + y) − 7(x − y) = (x − y)(x + y − 7).
а) (x − y)(x + y) − 1,5(x − y) = (x − y)(x + y − 1,5).
б) (x + a)(x − a) + 0,5(x + a) = (x + a)(x − a + 0,5).
в) (2a − b)(2a + b) − (2a − b) = (2a − b)(2a + b − 1).
г) (p − 4c)(p + 4c) − (p + 4c) = (p + 4c)(p − 4c − 1).
д) (a² − b²) + 6(a + b) = (a + b)(a − b) + 6(a + b) = (a + b)(a − b + 6).
е) (x² − y²) − 7(x − y) = (x − y)(x + y) − 7(x − y) = (x − y)(x + y − 7).
1032. Представьте в виде произведения: а) x²(x + 2y) − x − 2y; б) x²(2y − 5) − 8y + 20; в) a³ − 5a² − 4a + 20; г) x³ − 4x² − 9x + 36.
а) x²(x + 2y) − (x + 2y) = (x + 2y)(x² − 1) = (x + 2y)(x − 1)(x + 1).
б) −8y + 20 = −4(2y − 5), поэтому x²(2y − 5) − 4(2y − 5) = (2y − 5)(x² − 4) = (2y − 5)(x − 2)(x + 2).
в) a²(a − 5) − 4(a − 5) = (a − 5)(a² − 4) = (a − 5)(a − 2)(a + 2).
г) x²(x − 4) − 9(x − 4) = (x − 4)(x² − 9) = (x − 4)(x − 3)(x + 3).
б) −8y + 20 = −4(2y − 5), поэтому x²(2y − 5) − 4(2y − 5) = (2y − 5)(x² − 4) = (2y − 5)(x − 2)(x + 2).
в) a²(a − 5) − 4(a − 5) = (a − 5)(a² − 4) = (a − 5)(a − 2)(a + 2).
г) x²(x − 4) − 9(x − 4) = (x − 4)(x² − 9) = (x − 4)(x − 3)(x + 3).
1033. Разложите на множители: а) a² − b² + 2(a + b)²; б) b² − c² − 10(b − c)²; в) 2(x − y)² + 3x² − 3y²; г) 5a² − 5 − 4(a + 1)².
Выделяем общий множитель после разложения разностей квадратов.
а) (a + b)(a − b) + 2(a + b)² = (a + b)(a − b + 2a + 2b) = (a + b)(3a + b).
б) (b − c)(b + c) − 10(b − c)² = (b − c)(b + c − 10b + 10c) = (b − c)(11c − 9b).
в) 2(x − y)² + 3(x − y)(x + y) = (x − y)(2x − 2y + 3x + 3y) = (x − y)(5x + y).
г) 5(a² − 1) − 4(a + 1)² = 5(a − 1)(a + 1) − 4(a + 1)² = (a + 1)(5a − 5 − 4a − 4) = (a + 1)(a − 9).
а) (a + b)(a − b) + 2(a + b)² = (a + b)(a − b + 2a + 2b) = (a + b)(3a + b).
б) (b − c)(b + c) − 10(b − c)² = (b − c)(b + c − 10b + 10c) = (b − c)(11c − 9b).
в) 2(x − y)² + 3(x − y)(x + y) = (x − y)(2x − 2y + 3x + 3y) = (x − y)(5x + y).
г) 5(a² − 1) − 4(a + 1)² = 5(a − 1)(a + 1) − 4(a + 1)² = (a + 1)(5a − 5 − 4a − 4) = (a + 1)(a − 9).