Глава V. §12. п.35 Разложение разности квадратов на множители — с. 181
909. Разложите на множители: а) 64 − y⁴; б) x² − c⁶; в) a⁴ − b⁸; г) 25m⁶ − n²; д) 1 − 49p¹⁰; е) 4y⁶ − 9a⁴; ж) 64 − a⁴b⁴; з) 16b²c¹² − 0,25; и) 81x⁶y² − 0,36a².
а) (8 − y²)(8 + y²).
б) (x − c³)(x + c³).
в) (a² − b⁴)(a² + b⁴) = (a − b²)(a + b²)(a² + b⁴).
г) (5m³ − n)(5m³ + n).
д) (1 − 7p⁵)(1 + 7p⁵).
е) (2y³ − 3a²)(2y³ + 3a²).
ж) (8 − a²b²)(8 + a²b²).
з) (4bc⁶ − 0,5)(4bc⁶ + 0,5).
и) (9x³y − 0,6a)(9x³y + 0,6a).
б) (x − c³)(x + c³).
в) (a² − b⁴)(a² + b⁴) = (a − b²)(a + b²)(a² + b⁴).
г) (5m³ − n)(5m³ + n).
д) (1 − 7p⁵)(1 + 7p⁵).
е) (2y³ − 3a²)(2y³ + 3a²).
ж) (8 − a²b²)(8 + a²b²).
з) (4bc⁶ − 0,5)(4bc⁶ + 0,5).
и) (9x³y − 0,6a)(9x³y + 0,6a).
910. Представьте выражение в виде произведения: а) (x + 3)² − 1; б) 64 − (b + 1)²; в) (4a − 3)² − 16; г) 25 − (a + 7)²; д) (5y − 6)² − 81; е) 1 − (2x − 1)².
Разность квадратов: u² − v² = (u − v)(u + v).
а) (x + 3 − 1)(x + 3 + 1) = (x + 2)(x + 4).
б) (8 − b − 1)(8 + b + 1) = (7 − b)(9 + b).
в) (4a − 3 − 4)(4a − 3 + 4) = (4a − 7)(4a + 1).
г) (5 − a − 7)(5 + a + 7) = (−a − 2)(a + 12) = −(a + 2)(a + 12).
д) (5y − 6 − 9)(5y − 6 + 9) = (5y − 15)(5y + 3) = 5(y − 3)(5y + 3).
е) (1 − 2x + 1)(1 + 2x − 1) = (2 − 2x)·2x = 4x(1 − x).
а) (x + 3 − 1)(x + 3 + 1) = (x + 2)(x + 4).
б) (8 − b − 1)(8 + b + 1) = (7 − b)(9 + b).
в) (4a − 3 − 4)(4a − 3 + 4) = (4a − 7)(4a + 1).
г) (5 − a − 7)(5 + a + 7) = (−a − 2)(a + 12) = −(a + 2)(a + 12).
д) (5y − 6 − 9)(5y − 6 + 9) = (5y − 15)(5y + 3) = 5(y − 3)(5y + 3).
е) (1 − 2x + 1)(1 + 2x − 1) = (2 − 2x)·2x = 4x(1 − x).
911. Разложите на множители: а) 9y² − (1 + 2y)²; б) (3c − 5)² − 16c²; в) 49x² − (y + 8x)²; г) (5a − 3b)² − 25a²; д) (−2a² + 3b)² − 4a⁴; е) b⁶ − (x − 4b³)².
а) (3y − 1 − 2y)(3y + 1 + 2y) = (y − 1)(5y + 1).
б) (3c − 5 − 4c)(3c − 5 + 4c) = (−c − 5)(7c − 5) = −(c + 5)(7c − 5).
в) (7x − y − 8x)(7x + y + 8x) = (−x − y)(15x + y) = −(x + y)(15x + y).
г) (5a − 3b − 5a)(5a − 3b + 5a) = −3b(10a − 3b).
д) (−2a² + 3b − 2a²)(−2a² + 3b + 2a²) = (3b − 4a²)·3b = 3b(3b − 4a²).
е) (b³ − x + 4b³)(b³ + x − 4b³) = (5b³ − x)(x − 3b³).
б) (3c − 5 − 4c)(3c − 5 + 4c) = (−c − 5)(7c − 5) = −(c + 5)(7c − 5).
в) (7x − y − 8x)(7x + y + 8x) = (−x − y)(15x + y) = −(x + y)(15x + y).
г) (5a − 3b − 5a)(5a − 3b + 5a) = −3b(10a − 3b).
д) (−2a² + 3b − 2a²)(−2a² + 3b + 2a²) = (3b − 4a²)·3b = 3b(3b − 4a²).
е) (b³ − x + 4b³)(b³ + x − 4b³) = (5b³ − x)(x − 3b³).
912. Представьте в виде произведения: а) (2b − 5)² − 36; б) 9 − (7 + 3a)²; в) (4 − 11m)² − 1; г) p² − (2p + 1)²; д) (5c − 3d)² − 9d²; е) a⁴ − (9b + a²)².
а) (2b − 5 − 6)(2b − 5 + 6) = (2b − 11)(2b + 1).
б) (3 − 7 − 3a)(3 + 7 + 3a) = (−4 − 3a)(10 + 3a) = −(3a + 4)(3a + 10).
в) (4 − 11m − 1)(4 − 11m + 1) = (3 − 11m)(5 − 11m).
г) (p − 2p − 1)(p + 2p + 1) = (−p − 1)(3p + 1) = −(p + 1)(3p + 1).
д) (5c − 3d − 3d)(5c − 3d + 3d) = (5c − 6d)·5c = 5c(5c − 6d).
е) (a² − 9b − a²)(a² + 9b + a²) = −9b(2a² + 9b).
б) (3 − 7 − 3a)(3 + 7 + 3a) = (−4 − 3a)(10 + 3a) = −(3a + 4)(3a + 10).
в) (4 − 11m − 1)(4 − 11m + 1) = (3 − 11m)(5 − 11m).
г) (p − 2p − 1)(p + 2p + 1) = (−p − 1)(3p + 1) = −(p + 1)(3p + 1).
д) (5c − 3d − 3d)(5c − 3d + 3d) = (5c − 6d)·5c = 5c(5c − 6d).
е) (a² − 9b − a²)(a² + 9b + a²) = −9b(2a² + 9b).
913. Представьте в виде произведения: а) (2x + y)² − (x − 2y)²; б) (a + b)² − (b + c)²; в) (m + n)² − (m − n)²; г) (4c − x)² − (2c + 3x)².
а) (2x + y − x + 2y)(2x + y + x − 2y) = (x + 3y)(3x − y).
б) (a + b − b − c)(a + b + b + c) = (a − c)(a + 2b + c).
в) (m + n − m + n)(m + n + m − n) = 2n·2m = 4mn.
г) (4c − x − 2c − 3x)(4c − x + 2c + 3x) = (2c − 4x)(6c + 2x) = 4(c − 2x)(3c + x).
б) (a + b − b − c)(a + b + b + c) = (a − c)(a + 2b + c).
в) (m + n − m + n)(m + n + m − n) = 2n·2m = 4mn.
г) (4c − x − 2c − 3x)(4c − x + 2c + 3x) = (2c − 4x)(6c + 2x) = 4(c − 2x)(3c + x).
914. а) Докажите, что при любом натуральном n значение выражения (4n + 5)² − 9 делится на 4. б) Докажите, что при любом натуральном n значение выражения (n + 7)² − n² делится на 7.
а) (4n + 5)² − 9 = (4n + 5 − 3)(4n + 5 + 3) = (4n + 2)(4n + 8) = 2(2n + 1)·4(n + 2) = 8(2n + 1)(n + 2). В произведении есть множитель 8, значит, число делится на 4.
б) (n + 7)² − n² = (n + 7 − n)(n + 7 + n) = 7(2n + 7). Есть множитель 7, значит, число делится на 7.
б) (n + 7)² − n² = (n + 7 − n)(n + 7 + n) = 7(2n + 7). Есть множитель 7, значит, число делится на 7.
915. На сторонах прямоугольника построены квадраты (рис. 88). Площадь одного квадрата на 95 см² больше площади другого. Найдите периметр прямоугольника, если известно, что длина прямоугольника на 5 см больше его ширины. [рисунок 88: прямоугольник, на его длинной стороне сверху построен большой квадрат, на короткой стороне справа — малый квадрат]
Пусть ширина прямоугольника b см, тогда длина b + 5 см. Площади квадратов (b + 5)² и b².
Уравнение: (b + 5)² − b² = 95; (b + 5 − b)(b + 5 + b) = 95; 5(2b + 5) = 95; 2b + 5 = 19; b = 7.
Ширина 7 см, длина 12 см. Периметр: 2(7 + 12) = 38 см.
Ответ: 38 см.
Уравнение: (b + 5)² − b² = 95; (b + 5 − b)(b + 5 + b) = 95; 5(2b + 5) = 95; 2b + 5 = 19; b = 7.
Ширина 7 см, длина 12 см. Периметр: 2(7 + 12) = 38 см.
Ответ: 38 см.
916. (Задача-исследование.) Верно ли утверждение: если p — простое число, большее трёх, то значение выражения p² − 1 кратно 12?
1. Проверьте правильность утверждения на конкретных примерах.
2. Разложите многочлен p² − 1 на множители. Обсудите, почему полученное произведение кратно 4.
3. Обсудите, почему полученное произведение делится на 3.
4. Сделайте вывод.
1) p = 5: 25 − 1 = 24 = 12·2. p = 7: 48 = 12·4. p = 11: 120 = 12·10. p = 13: 168 = 12·14. Во всех примерах утверждение выполняется.
2) p² − 1 = (p − 1)(p + 1). Простое число p > 3 нечётно, поэтому p − 1 и p + 1 — два соседних чётных числа. Одно из двух соседних чётных чисел делится на 4 (чётные числа через одно кратны 4), а другое делится на 2. Значит, произведение делится на 8, а тем более на 4.
3) Из трёх последовательных чисел p − 1, p, p + 1 одно делится на 3. Число p простое и больше 3, поэтому на 3 не делится. Значит, на 3 делится p − 1 или p + 1, и всё произведение делится на 3.
4) Выражение p² − 1 делится на 4 и на 3, а эти числа взаимно простые, значит, оно делится на 12. Утверждение верно.
2) p² − 1 = (p − 1)(p + 1). Простое число p > 3 нечётно, поэтому p − 1 и p + 1 — два соседних чётных числа. Одно из двух соседних чётных чисел делится на 4 (чётные числа через одно кратны 4), а другое делится на 2. Значит, произведение делится на 8, а тем более на 4.
3) Из трёх последовательных чисел p − 1, p, p + 1 одно делится на 3. Число p простое и больше 3, поэтому на 3 не делится. Значит, на 3 делится p − 1 или p + 1, и всё произведение делится на 3.
4) Выражение p² − 1 делится на 4 и на 3, а эти числа взаимно простые, значит, оно делится на 12. Утверждение верно.
917. Представьте в виде куба одночлена выражение: а) 27a³; б) −8m³; в) 8b⁶; г) −64p⁶; д) −27a³x⁶; е) 64a⁶x⁹.
а) 27a³ = (3a)³.
б) −8m³ = (−2m)³.
в) 8b⁶ = (2b²)³.
г) −64p⁶ = (−4p²)³.
д) −27a³x⁶ = (−3ax²)³.
е) 64a⁶x⁹ = (4a²x³)³.
б) −8m³ = (−2m)³.
в) 8b⁶ = (2b²)³.
г) −64p⁶ = (−4p²)³.
д) −27a³x⁶ = (−3ax²)³.
е) 64a⁶x⁹ = (4a²x³)³.