Глава V. §12. п.34 Умножение разности двух выражений на их сумму — с. 178
890. (Для работы в парах.) Докажите, что сумма произведения трёх последовательных целых чисел и среднего из них равна кубу среднего числа.
1. Проверьте утверждение на примере чисел 19, 20, 21.
2. Составьте выражение, обозначив через p одно из этих чисел, и выполните преобразование составленного выражения. Одному учащемуся рекомендуем обозначить через p наименьшее из чисел, а другому — среднее из чисел.
3. Проверьте друг у друга правильность преобразований и сравните их сложность.
1) 19·20·21 + 20 = 7980 + 20 = 8000 = 20³. Утверждение верно.
2) Первый способ: p — среднее число; числа p − 1, p, p + 1. (p − 1)p(p + 1) + p = p(p² − 1) + p = p³ − p + p = p³.
Второй способ: p — наименьшее число; числа p, p + 1, p + 2, среднее p + 1. p(p + 1)(p + 2) + (p + 1) = (p + 1)(p² + 2p + 1) = (p + 1)(p + 1)² = (p + 1)³. Это куб среднего числа.
3) Первый способ проще: достаточно одной формулы разности квадратов, а во втором приходится выделять общий множитель и применять квадрат суммы.
2) Первый способ: p — среднее число; числа p − 1, p, p + 1. (p − 1)p(p + 1) + p = p(p² − 1) + p = p³ − p + p = p³.
Второй способ: p — наименьшее число; числа p, p + 1, p + 2, среднее p + 1. p(p + 1)(p + 2) + (p + 1) = (p + 1)(p² + 2p + 1) = (p + 1)(p + 1)² = (p + 1)³. Это куб среднего числа.
3) Первый способ проще: достаточно одной формулы разности квадратов, а во втором приходится выделять общий множитель и применять квадрат суммы.
891. Упростите выражение: а) 5a(a − 8) − 3(a + 2)(a − 2); б) (1 − 4b)(4b + 1) + 6b(b − 2); в) (8p − q)(q + 8p) − (p + q)(p − q); г) (2x − 7y)(2x + 7y) + (2x − 7y)(7y − 2x).
а) 5a² − 40a − 3(a² − 4) = 5a² − 40a − 3a² + 12 = 2a² − 40a + 12.
б) (1 − 4b)(1 + 4b) + 6b² − 12b = 1 − 16b² + 6b² − 12b = −10b² − 12b + 1.
в) 64p² − q² − (p² − q²) = 63p².
г) 4x² − 49y² − (2x − 7y)² = 4x² − 49y² − 4x² + 28xy − 49y² = 28xy − 98y².
б) (1 − 4b)(1 + 4b) + 6b² − 12b = 1 − 16b² + 6b² − 12b = −10b² − 12b + 1.
в) 64p² − q² − (p² − q²) = 63p².
г) 4x² − 49y² − (2x − 7y)² = 4x² − 49y² − 4x² + 28xy − 49y² = 28xy − 98y².
892. Решите уравнение: а) 8m(1 + 2m) − (4m + 3)(4m − 3) = 2m; б) x − 3x(1 − 12x) = 11 − (5 − 6x)(6x + 5).
а) 8m + 16m² − (16m² − 9) = 2m; 8m + 9 = 2m; 6m = −9; m = −1,5.
б) x − 3x + 36x² = 11 − (25 − 36x²); 36x² − 2x = 36x² − 14; −2x = −14; x = 7.
Ответ: а) −1,5; б) 7.
б) x − 3x + 36x² = 11 − (25 − 36x²); 36x² − 2x = 36x² − 14; −2x = −14; x = 7.
Ответ: а) −1,5; б) 7.
893. Найдите корень уравнения: а) (6x − 1)(6x + 1) − 4x(9x + 2) = −1; б) (8 − 9a)a = −40 + (6 − 3a)(6 + 3a).
а) 36x² − 1 − 36x² − 8x = −1; −8x = 0; x = 0.
б) 8a − 9a² = −40 + 36 − 9a²; 8a = −4; a = −0,5.
Ответ: а) 0; б) −0,5.
б) 8a − 9a² = −40 + 36 − 9a²; 8a = −4; a = −0,5.
Ответ: а) 0; б) −0,5.
894. Представьте выражение в виде квадрата двучлена: а) 1 − 4xy + 4x²y²; б) (1/4)a²b² + ab + 1.
а) 1² − 2·1·2xy + (2xy)² = (1 − 2xy)².
б) ((1/2)ab)² + 2·(1/2)ab·1 + 1² = ((1/2)ab + 1)².
б) ((1/2)ab)² + 2·(1/2)ab·1 + 1² = ((1/2)ab + 1)².
895. Докажите тождество: а) (a + b)² − 4ab = (a − b)²; б) (a − b)² + 4ab = (a + b)²; в) (x + 3)³ + (x − 3)³ = 2x³ + 54x.
а) (a + b)² − 4ab = a² + 2ab + b² − 4ab = a² − 2ab + b² = (a − b)².
б) (a − b)² + 4ab = a² − 2ab + b² + 4ab = a² + 2ab + b² = (a + b)².
в) (x + 3)³ = x³ + 9x² + 27x + 27; (x − 3)³ = x³ − 9x² + 27x − 27. Сумма: 2x³ + 54x.
б) (a − b)² + 4ab = a² − 2ab + b² + 4ab = a² + 2ab + b² = (a + b)².
в) (x + 3)³ = x³ + 9x² + 27x + 27; (x − 3)³ = x³ − 9x² + 27x − 27. Сумма: 2x³ + 54x.
896. Разложите на множители: а) 2abc² − 3ab²c + 4a²bc; б) 12a²xy³ − 6axy⁵; в) −15am³n⁴ − 20am⁴n⁶; г) −28b⁴c⁵y + 16b⁵c⁶y⁸.
Выносим общий множитель за скобки.
а) abc(2c − 3b + 4a).
б) 6axy³(2a − y²).
в) −5am³n⁴(3 + 4mn²).
г) 4b⁴c⁵y(−7 + 4bcy⁷) = 4b⁴c⁵y(4bcy⁷ − 7).
а) abc(2c − 3b + 4a).
б) 6axy³(2a − y²).
в) −5am³n⁴(3 + 4mn²).
г) 4b⁴c⁵y(−7 + 4bcy⁷) = 4b⁴c⁵y(4bcy⁷ − 7).
897. Решите уравнение: а) 2x − (x − 2)/2 = x/3 − 6; б) 1 + (x + 1)/3 = x − (3x + 1)/8; в) (1 − y)/7 + y = y/2 + 3; г) 6 = (3x − 1)/2·2,4; д) 0,69 = (5 − 2y)/8·13,8; е) 0,5·(4 + 2x)/13 = x − 10.
а) Умножим на 6: 12x − 3(x − 2) = 2x − 36; 9x + 6 = 2x − 36; 7x = −42; x = −6.
б) Умножим на 24: 24 + 8(x + 1) = 24x − 3(3x + 1); 8x + 32 = 15x − 3; 35 = 7x; x = 5.
в) Умножим на 14: 2(1 − y) + 14y = 7y + 42; 12y + 2 = 7y + 42; 5y = 40; y = 8.
г) 6 = 1,2(3x − 1); 3x − 1 = 5; x = 2.
д) 0,69 = (5 − 2y)·1,725 (так как 13,8/8 = 1,725); 5 − 2y = 0,4; y = 2,3.
е) 0,5(4 + 2x)/13 = (4 + 2x)/26; 4 + 2x = 26x − 260; 264 = 24x; x = 11.
Ответ: а) −6; б) 5; в) 8; г) 2; д) 2,3; е) 11.
б) Умножим на 24: 24 + 8(x + 1) = 24x − 3(3x + 1); 8x + 32 = 15x − 3; 35 = 7x; x = 5.
в) Умножим на 14: 2(1 − y) + 14y = 7y + 42; 12y + 2 = 7y + 42; 5y = 40; y = 8.
г) 6 = 1,2(3x − 1); 3x − 1 = 5; x = 2.
д) 0,69 = (5 − 2y)·1,725 (так как 13,8/8 = 1,725); 5 − 2y = 0,4; y = 2,3.
е) 0,5(4 + 2x)/13 = (4 + 2x)/26; 4 + 2x = 26x − 260; 264 = 24x; x = 11.
Ответ: а) −6; б) 5; в) 8; г) 2; д) 2,3; е) 11.