Глава V. §12. п.34 Умножение разности двух выражений на их сумму — с. 176
873. Представьте в виде многочлена произведение: а) (x² − 5)(x² + 5); б) (4 + y²)(y² − 4); в) (9a − b²)(b² + 9a); г) (0,7x + y²)(0,7x − y²); д) (10p² − 0,3q²)(10p² + 0,3q²); е) (a³ − b²)(a³ + b²); ж) (c⁴ + d²)(d² − c⁴); з) (5x² + 2y³)(5x² − 2y³); и) (1,4c − 0,7y³)(0,7y³ + 1,4c); к) (1,3a⁵ − 0,1b⁴)(1,3a⁵ + 0,1b⁴).
Применяем формулу (a − b)(a + b) = a² − b².
а) x⁴ − 25.
б) (y² + 4)(y² − 4) = y⁴ − 16.
в) (9a − b²)(9a + b²) = 81a² − b⁴.
г) 0,49x² − y⁴.
д) 100p⁴ − 0,09q⁴.
е) a⁶ − b⁴.
ж) (d² + c⁴)(d² − c⁴) = d⁴ − c⁸.
з) 25x⁴ − 4y⁶.
и) (1,4c − 0,7y³)(1,4c + 0,7y³) = 1,96c² − 0,49y⁶.
к) 1,69a¹⁰ − 0,01b⁸.
а) x⁴ − 25.
б) (y² + 4)(y² − 4) = y⁴ − 16.
в) (9a − b²)(9a + b²) = 81a² − b⁴.
г) 0,49x² − y⁴.
д) 100p⁴ − 0,09q⁴.
е) a⁶ − b⁴.
ж) (d² + c⁴)(d² − c⁴) = d⁴ − c⁸.
з) 25x⁴ − 4y⁶.
и) (1,4c − 0,7y³)(1,4c + 0,7y³) = 1,96c² − 0,49y⁶.
к) 1,69a¹⁰ − 0,01b⁸.
874. Впишите вместо знака одночлен так, чтобы получилось тождество: а) (2a + )(2a − ) = 4a² − b²; б) ( − 3x)( + 3x) = 16y² − 9x²; в) ( − b⁴)(b⁴ + ) = 121a¹⁰ − b⁸; г) m⁴ − 225c¹⁰ = (m² − )(* + m²).
Справа должна получиться разность квадратов a² − b².
а) Второй квадрат равен b², поэтому * = b.
б) Первый квадрат равен 16y², поэтому * = 4y.
в) 121a¹⁰ = (11a⁵)², поэтому * = 11a⁵.
г) 225c¹⁰ = (15c⁵)², поэтому * = 15c⁵. Проверка: (m² − 15c⁵)(15c⁵ + m²) = m⁴ − 225c¹⁰.
а) Второй квадрат равен b², поэтому * = b.
б) Первый квадрат равен 16y², поэтому * = 4y.
в) 121a¹⁰ = (11a⁵)², поэтому * = 11a⁵.
г) 225c¹⁰ = (15c⁵)², поэтому * = 15c⁵. Проверка: (m² − 15c⁵)(15c⁵ + m²) = m⁴ − 225c¹⁰.
875. Представьте в виде многочлена: а) (3x² − 1)(3x² + 1); б) (5a − b³)(b³ + 5a); в) ((3/7)m³ + (1/4)n³)((3/7)m³ − (1/4)n³); г) ((1/15) − (1/8)p⁶)((1/8)p⁶ + (1/15)); д) (0,4y³ + 5a²)(5a² − 0,4y³); е) (1,2c² − 7a²)(1,2c² + 7a²); ж) ((5/8)x + y⁵)(y⁵ − (5/8)x); з) ((1/7)p⁵ − 0,01)(0,01 + (1/7)p⁵).
а) 9x⁴ − 1.
б) (5a − b³)(5a + b³) = 25a² − b⁶.
в) ((3/7)m³)² − ((1/4)n³)² = (9/49)m⁶ − (1/16)n⁶.
г) (1/15 − (1/8)p⁶)(1/15 + (1/8)p⁶) = 1/225 − (1/64)p¹².
д) (5a² + 0,4y³)(5a² − 0,4y³) = 25a⁴ − 0,16y⁶.
е) 1,44c⁴ − 49a⁴.
ж) (y⁵ + (5/8)x)(y⁵ − (5/8)x) = y¹⁰ − (25/64)x².
з) ((1/7)p⁵ − 0,01)((1/7)p⁵ + 0,01) = (1/49)p¹⁰ − 0,0001.
б) (5a − b³)(5a + b³) = 25a² − b⁶.
в) ((3/7)m³)² − ((1/4)n³)² = (9/49)m⁶ − (1/16)n⁶.
г) (1/15 − (1/8)p⁶)(1/15 + (1/8)p⁶) = 1/225 − (1/64)p¹².
д) (5a² + 0,4y³)(5a² − 0,4y³) = 25a⁴ − 0,16y⁶.
е) 1,44c⁴ − 49a⁴.
ж) (y⁵ + (5/8)x)(y⁵ − (5/8)x) = y¹⁰ − (25/64)x².
з) ((1/7)p⁵ − 0,01)((1/7)p⁵ + 0,01) = (1/49)p¹⁰ − 0,0001.
876. Найдите значение выражения: а) (100 − 1)(100 + 1); б) (80 + 3)(80 − 3); в) 64·56; г) 201·199; д) 74·66; е) 1002·998; ж) 1,05·0,95; з) 60,1·59,9.
Используем формулу (a − b)(a + b) = a² − b².
а) 100² − 1 = 9999.
б) 80² − 3² = 6400 − 9 = 6391.
в) 64·56 = (60 + 4)(60 − 4) = 3600 − 16 = 3584.
г) 201·199 = (200 + 1)(200 − 1) = 40 000 − 1 = 39 999.
д) 74·66 = (70 + 4)(70 − 4) = 4900 − 16 = 4884.
е) 1002·998 = (1000 + 2)(1000 − 2) = 1 000 000 − 4 = 999 996.
ж) 1,05·0,95 = (1 + 0,05)(1 − 0,05) = 1 − 0,0025 = 0,9975.
з) 60,1·59,9 = (60 + 0,1)(60 − 0,1) = 3600 − 0,01 = 3599,99.
а) 100² − 1 = 9999.
б) 80² − 3² = 6400 − 9 = 6391.
в) 64·56 = (60 + 4)(60 − 4) = 3600 − 16 = 3584.
г) 201·199 = (200 + 1)(200 − 1) = 40 000 − 1 = 39 999.
д) 74·66 = (70 + 4)(70 − 4) = 4900 − 16 = 4884.
е) 1002·998 = (1000 + 2)(1000 − 2) = 1 000 000 − 4 = 999 996.
ж) 1,05·0,95 = (1 + 0,05)(1 − 0,05) = 1 − 0,0025 = 0,9975.
з) 60,1·59,9 = (60 + 0,1)(60 − 0,1) = 3600 − 0,01 = 3599,99.
877. Найдите значение произведения: а) 52·48; б) 37·43; в) 6,01·5,99; г) 2,03·1,97; д) 17,3·16,7; е) 29,8·30,2; ж) 9,7·10,3; з) 50,2·49,8; и) 4,6·5,4.
а) (50 + 2)(50 − 2) = 2500 − 4 = 2496.
б) (40 − 3)(40 + 3) = 1600 − 9 = 1591.
в) (6 + 0,01)(6 − 0,01) = 36 − 0,0001 = 35,9999.
г) (2 + 0,03)(2 − 0,03) = 4 − 0,0009 = 3,9991.
д) (17 + 0,3)(17 − 0,3) = 289 − 0,09 = 288,91.
е) (30 − 0,2)(30 + 0,2) = 900 − 0,04 = 899,96.
ж) (10 − 0,3)(10 + 0,3) = 100 − 0,09 = 99,91.
з) (50 + 0,2)(50 − 0,2) = 2500 − 0,04 = 2499,96.
и) (5 − 0,4)(5 + 0,4) = 25 − 0,16 = 24,84.
б) (40 − 3)(40 + 3) = 1600 − 9 = 1591.
в) (6 + 0,01)(6 − 0,01) = 36 − 0,0001 = 35,9999.
г) (2 + 0,03)(2 − 0,03) = 4 − 0,0009 = 3,9991.
д) (17 + 0,3)(17 − 0,3) = 289 − 0,09 = 288,91.
е) (30 − 0,2)(30 + 0,2) = 900 − 0,04 = 899,96.
ж) (10 − 0,3)(10 + 0,3) = 100 − 0,09 = 99,91.
з) (50 + 0,2)(50 − 0,2) = 2500 − 0,04 = 2499,96.
и) (5 − 0,4)(5 + 0,4) = 25 − 0,16 = 24,84.
878. Представьте выражение в виде многочлена, используя соответствующую формулу сокращённого умножения: а) (−y + x)(x + y); б) (−a + b)(b − a); в) (−b − c)(b − c); г) (x + y)(−x − y); д) (x − y)(y − x); е) (−a − b)(−a − b).
а) (x − y)(x + y) = x² − y².
б) (b − a)(b − a) = (b − a)² = b² − 2ab + a².
в) (−b − c)(b − c) = −(b + c)(b − c) = −(b² − c²) = c² − b².
г) (x + y)(−(x + y)) = −(x + y)² = −x² − 2xy − y².
д) (x − y)(y − x) = −(x − y)² = −x² + 2xy − y².
е) (−a − b)² = (a + b)² = a² + 2ab + b².
б) (b − a)(b − a) = (b − a)² = b² − 2ab + a².
в) (−b − c)(b − c) = −(b + c)(b − c) = −(b² − c²) = c² − b².
г) (x + y)(−(x + y)) = −(x + y)² = −x² − 2xy − y².
д) (x − y)(y − x) = −(x − y)² = −x² + 2xy − y².
е) (−a − b)² = (a + b)² = a² + 2ab + b².
879. Представьте в виде многочлена: а) (−3xy + a)(3xy + a); б) (−1 − 2a²b)(1 − 2a²b); в) (12a³ − 7x)(−12a³ − 7x); г) (−10p⁴ + 9)(9 − 10p⁴); д) (0,2x + 10y)(10y − 0,2x); е) (1,1y − 0,3)(0,3 + 1,1y).
а) (a − 3xy)(a + 3xy) = a² − 9x²y².
б) (−1 − 2a²b)(1 − 2a²b) = (−2a²b − 1)(−2a²b + 1) = 4a⁴b² − 1.
в) (−7x + 12a³)(−7x − 12a³) = 49x² − 144a⁶.
г) (9 − 10p⁴)² = 81 − 180p⁴ + 100p⁸.
д) (10y + 0,2x)(10y − 0,2x) = 100y² − 0,04x².
е) (1,1y − 0,3)(1,1y + 0,3) = 1,21y² − 0,09.
б) (−1 − 2a²b)(1 − 2a²b) = (−2a²b − 1)(−2a²b + 1) = 4a⁴b² − 1.
в) (−7x + 12a³)(−7x − 12a³) = 49x² − 144a⁶.
г) (9 − 10p⁴)² = 81 − 180p⁴ + 100p⁸.
д) (10y + 0,2x)(10y − 0,2x) = 100y² − 0,04x².
е) (1,1y − 0,3)(1,1y + 0,3) = 1,21y² − 0,09.
880. Выполните умножение: а) (−m² + 8)(m² + 8); б) (5y − y²)(y² + 5y); в) (6n² + 1)(−6n² + 1); г) (−7ab − 0,2)(0,2 − 7ab).
а) (8 − m²)(8 + m²) = 64 − m⁴.
б) (5y − y²)(5y + y²) = 25y² − y⁴.
в) (1 + 6n²)(1 − 6n²) = 1 − 36n⁴.
г) (−7ab − 0,2)(−7ab + 0,2) = (−7ab)² − 0,2² = 49a²b² − 0,04.
б) (5y − y²)(5y + y²) = 25y² − y⁴.
в) (1 + 6n²)(1 − 6n²) = 1 − 36n⁴.
г) (−7ab − 0,2)(−7ab + 0,2) = (−7ab)² − 0,2² = 49a²b² − 0,04.