Глава V. §11. п.33 Разложение на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности — с. 174
867. Представьте в виде многочлена: а) (x² + 4xy − y²)(2y − x); б) (3 − a)(a³ − 4a² − 5a); в) (a² − 4ab + b²)(2a − b); г) (x − p)(x² + px + p²).
а) 2x²y + 8xy² − 2y³ − x³ − 4x²y + xy² = −x³ − 2x²y + 9xy² − 2y³.
б) 3a³ − 12a² − 15a − a⁴ + 4a³ + 5a² = −a⁴ + 7a³ − 7a² − 15a.
в) 2a³ − a²b − 8a²b + 4ab² + 2ab² − b³ = 2a³ − 9a²b + 6ab² − b³.
г) x³ + px² + p²x − px² − p²x − p³ = x³ − p³.
б) 3a³ − 12a² − 15a − a⁴ + 4a³ + 5a² = −a⁴ + 7a³ − 7a² − 15a.
в) 2a³ − a²b − 8a²b + 4ab² + 2ab² − b³ = 2a³ − 9a²b + 6ab² − b³.
г) x³ + px² + p²x − px² − p²x − p³ = x³ − p³.
868. Представьте выражение в виде квадрата одночлена: а) 4x⁴; б) 0,25a⁴; в) 36m⁶; г) a²b⁴; д) 9a⁴b²; е) 0,16x⁶y⁴.
а) 4x⁴ = (2x²)².
б) 0,25a⁴ = (0,5a²)².
в) 36m⁶ = (6m³)².
г) a²b⁴ = (ab²)².
д) 9a⁴b² = (3a²b)².
е) 0,16x⁶y⁴ = (0,4x³y²)².
б) 0,25a⁴ = (0,5a²)².
в) 36m⁶ = (6m³)².
г) a²b⁴ = (ab²)².
д) 9a⁴b² = (3a²b)².
е) 0,16x⁶y⁴ = (0,4x³y²)².
869. Преобразуйте в многочлен выражение: а) (3 + a)³; б) (x − 2)³.
а) 27 + 3·9·a + 3·3·a² + a³ = a³ + 9a² + 27a + 27.
б) x³ − 3x²·2 + 3x·4 − 8 = x³ − 6x² + 12x − 8.
б) x³ − 3x²·2 + 3x·4 − 8 = x³ − 6x² + 12x − 8.
Контрольный вопрос 1. Напишите формулу квадрата суммы. Проведите доказательство.
Формула: (a + b)² = a² + 2ab + b².
Доказательство: (a + b)² = (a + b)(a + b) = a² + ab + ba + b² = a² + 2ab + b².
Доказательство: (a + b)² = (a + b)(a + b) = a² + ab + ba + b² = a² + 2ab + b².
Контрольный вопрос 2. Напишите формулу квадрата разности. Проведите доказательство.
Формула: (a − b)² = a² − 2ab + b².
Доказательство: (a − b)² = (a − b)(a − b) = a² − ab − ba + b² = a² − 2ab + b².
Доказательство: (a − b)² = (a − b)(a − b) = a² − ab − ba + b² = a² − 2ab + b².
Контрольный вопрос 3. Приведите пример трёхчлена, который можно представить в виде квадрата суммы.
Например, x² + 6x + 9 = x² + 2·x·3 + 3² = (x + 3)². Ещё пример: 4a² + 12ab + 9b² = (2a + 3b)².
Контрольный вопрос 4. Приведите пример трёхчлена, который можно представить в виде квадрата разности.
Например, x² − 10x + 25 = x² − 2·x·5 + 5² = (x − 5)². Ещё пример: 9a² − 12ab + 4b² = (3a − 2b)².
Контрольный вопрос 5. Напишите формулу куба суммы. Возведите в куб двучлен a + 2b.
Формула: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³.
(a + 2b)³ = a³ + 3a²·2b + 3a·(2b)² + (2b)³ = a³ + 6a²b + 12ab² + 8b³.
(a + 2b)³ = a³ + 3a²·2b + 3a·(2b)² + (2b)³ = a³ + 6a²b + 12ab² + 8b³.
Контрольный вопрос 6. Напишите формулу куба разности. Возведите в куб двучлен 3x − y.
Формула: (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³.
(3x − y)³ = (3x)³ − 3(3x)²y + 3·3x·y² − y³ = 27x³ − 27x²y + 9xy² − y³.
(3x − y)³ = (3x)³ − 3(3x)²y + 3·3x·y² − y³ = 27x³ − 27x²y + 9xy² − y³.