Глава V. §11. п.33 Разложение на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности — с. 173
856. Найдите значение выражения: а) y² − 2y + 1 при y = 101; −11; 0,6; б) 4x² − 20x + 25 при x = 12,5; 0; −2; в) 25a² + 49 + 70a при a = 0,4; −2; −1,6.
а) y² − 2y + 1 = (y − 1)². При y = 101: 100² = 10 000. При y = −11: (−12)² = 144. При y = 0,6: (−0,4)² = 0,16.
б) 4x² − 20x + 25 = (2x − 5)². При x = 12,5: (25 − 5)² = 400. При x = 0: (−5)² = 25. При x = −2: (−9)² = 81.
в) 25a² + 70a + 49 = (5a + 7)². При a = 0,4: (2 + 7)² = 81. При a = −2: (−10 + 7)² = 9. При a = −1,6: (−8 + 7)² = 1.
б) 4x² − 20x + 25 = (2x − 5)². При x = 12,5: (25 − 5)² = 400. При x = 0: (−5)² = 25. При x = −2: (−9)² = 81.
в) 25a² + 70a + 49 = (5a + 7)². При a = 0,4: (2 + 7)² = 81. При a = −2: (−10 + 7)² = 9. При a = −1,6: (−8 + 7)² = 1.
857. Верно ли, что при любых значениях x: а) x² + 10 > 0; б) x² + 20x + 100 > 0?
а) Да, верно: x² ≥ 0 при любом x, поэтому x² + 10 ≥ 10 > 0.
б) x² + 20x + 100 = (x + 10)² ≥ 0, но при x = −10 значение равно 0. Значит, неравенство > 0 верно не при любых x. Ответ: а) верно; б) неверно.
б) x² + 20x + 100 = (x + 10)² ≥ 0, но при x = −10 значение равно 0. Значит, неравенство > 0 верно не при любых x. Ответ: а) верно; б) неверно.
858. Сравните с нулём значение выражения: а) x² − 30x + 225; б) −x² + 2xy − y².
а) x² − 30x + 225 = (x − 15)² ≥ 0. Значение выражения неотрицательно (равно нулю при x = 15).
б) −x² + 2xy − y² = −(x² − 2xy + y²) = −(x − y)² ≤ 0. Значение выражения неположительно (равно нулю при x = y).
б) −x² + 2xy − y² = −(x² − 2xy + y²) = −(x − y)² ≤ 0. Значение выражения неположительно (равно нулю при x = y).
859. Поставьте вместо многоточия какой-либо из знаков ≥ или ≤ так, чтобы получившееся неравенство было верно при любом значении x: а) x² − 16x + 64 … 0; б) 16 + 8x + x² … 0; в) −x² − 4x − 4 … 0; г) −x² + 18x − 81 … 0.
а) x² − 16x + 64 = (x − 8)² ≥ 0. Знак ≥.
б) 16 + 8x + x² = (x + 4)² ≥ 0. Знак ≥.
в) −x² − 4x − 4 = −(x + 2)² ≤ 0. Знак ≤.
г) −x² + 18x − 81 = −(x − 9)² ≤ 0. Знак ≤.
б) 16 + 8x + x² = (x + 4)² ≥ 0. Знак ≥.
в) −x² − 4x − 4 = −(x + 2)² ≤ 0. Знак ≤.
г) −x² + 18x − 81 = −(x − 9)² ≤ 0. Знак ≤.
860. Представьте выражение в виде квадрата двучлена, если это возможно: а) (1/4)x² + 3x + 9; б) 25a² − 30ab + 9b²; в) p² − 2p + 4; г) (1/9)x² + (2/15)xy + (1/25)y²; д) 100b² + 9c² − 60bc; е) 49x² + 12xy + 64y².
а) ((1/2)x)² + 2·(1/2)x·3 + 3² = ((1/2)x + 3)².
б) (5a)² − 2·5a·3b + (3b)² = (5a − 3b)².
в) p² и 4 = 2² — квадраты, но удвоенное произведение равно 2·p·2 = 4p, а в выражении 2p. Представить в виде квадрата двучлена нельзя.
г) ((1/3)x)² + 2·(1/3)x·(1/5)y + ((1/5)y)² = ((1/3)x + (1/5)y)².
д) (10b)² − 2·10b·3c + (3c)² = (10b − 3c)².
е) 49x² = (7x)², 64y² = (8y)², удвоенное произведение 2·7x·8y = 112xy, а в выражении 12xy. Представить в виде квадрата двучлена нельзя.
б) (5a)² − 2·5a·3b + (3b)² = (5a − 3b)².
в) p² и 4 = 2² — квадраты, но удвоенное произведение равно 2·p·2 = 4p, а в выражении 2p. Представить в виде квадрата двучлена нельзя.
г) ((1/3)x)² + 2·(1/3)x·(1/5)y + ((1/5)y)² = ((1/3)x + (1/5)y)².
д) (10b)² − 2·10b·3c + (3c)² = (10b − 3c)².
е) 49x² = (7x)², 64y² = (8y)², удвоенное произведение 2·7x·8y = 112xy, а в выражении 12xy. Представить в виде квадрата двучлена нельзя.
861. Преобразуйте выражение в квадрат двучлена: а) x⁴ − 8x²y² + 16y⁴; б) (1/16)x⁴ + 2x²a + 16a²; в) (1/4)a² + 2ab² + 4b⁴; г) a²x² − 2abx + b².
а) (x²)² − 2·x²·4y² + (4y²)² = (x² − 4y²)².
б) ((1/4)x²)² + 2·(1/4)x²·4a + (4a)² = ((1/4)x² + 4a)².
в) ((1/2)a)² + 2·(1/2)a·2b² + (2b²)² = ((1/2)a + 2b²)².
г) (ax)² − 2·ax·b + b² = (ax − b)².
б) ((1/4)x²)² + 2·(1/4)x²·4a + (4a)² = ((1/4)x² + 4a)².
в) ((1/2)a)² + 2·(1/2)a·2b² + (2b²)² = ((1/2)a + 2b²)².
г) (ax)² − 2·ax·b + b² = (ax − b)².
862. Разложите на множители трёхчлен: а) 4a⁶ − 4a³b² + b⁴; б) b⁸ − a²b⁴ + (1/4)a⁴.
а) (2a³)² − 2·2a³·b² + (b²)² = (2a³ − b²)² = (2a³ − b²)(2a³ − b²).
б) (b⁴)² − 2·b⁴·(1/2)a² + ((1/2)a²)² = (b⁴ − (1/2)a²)² = (b⁴ − (1/2)a²)(b⁴ − (1/2)a²).
б) (b⁴)² − 2·b⁴·(1/2)a² + ((1/2)a²)² = (b⁴ − (1/2)a²)² = (b⁴ − (1/2)a²)(b⁴ − (1/2)a²).
863. Докажите, что при любом значении x многочлен x² + 6x + 10 принимает положительные значения.
x² + 6x + 10 = (x² + 6x + 9) + 1 = (x + 3)² + 1. Так как (x + 3)² ≥ 0 при любом x, то (x + 3)² + 1 ≥ 1 > 0. Значит, многочлен принимает только положительные значения.
864. Докажите, что выражение принимает лишь положительные значения: а) x² + 2x + 2; б) 4y² − 4y + 6; в) a² + b² − 2ab + 1; г) 9x² + 4 − 6xy + 4y².
а) x² + 2x + 2 = (x + 1)² + 1 ≥ 1 > 0.
б) 4y² − 4y + 6 = (2y − 1)² + 5 ≥ 5 > 0.
в) a² + b² − 2ab + 1 = (a − b)² + 1 ≥ 1 > 0.
г) 9x² − 6xy + 4y² + 4 = (9x² − 6xy + y²) + 3y² + 4 = (3x − y)² + 3y² + 4 ≥ 4 > 0.
б) 4y² − 4y + 6 = (2y − 1)² + 5 ≥ 5 > 0.
в) a² + b² − 2ab + 1 = (a − b)² + 1 ≥ 1 > 0.
г) 9x² − 6xy + 4y² + 4 = (9x² − 6xy + y²) + 3y² + 4 = (3x − y)² + 3y² + 4 ≥ 4 > 0.
865. Прочитайте выражение: а) (a − 10b)²; б) a² − (10b)²; в) (a + 10b)(a − 10b).
а) Квадрат разности a и 10b.
б) Разность квадратов a и 10b (или: разность квадрата a и квадрата выражения 10b).
в) Произведение суммы a и 10b и разности a и 10b.
б) Разность квадратов a и 10b (или: разность квадрата a и квадрата выражения 10b).
в) Произведение суммы a и 10b и разности a и 10b.
866. Запишите в виде выражения: а) квадрат суммы 3a и (1/3)b; б) сумму квадратов 0,5m и 5,3n; в) произведение 0,6x² и 9y².
а) (3a + (1/3)b)².
б) (0,5m)² + (5,3n)².
в) 0,6x²·9y² = 5,4x²y².
б) (0,5m)² + (5,3n)².
в) 0,6x²·9y² = 5,4x²y².