Глава V. §11. п.32 Возведение в квадрат и в куб суммы и разности двух выражений — с. 171
842. При каком значении x: а) квадрат двучлена x + 1 на 120 больше квадрата двучлена x − 3; б) квадрат двучлена 2x + 10 в 4 раза больше квадрата двучлена x − 5?
а) Уравнение: (x + 1)² = (x − 3)² + 120. x² + 2x + 1 = x² − 6x + 9 + 120; 8x = 128; x = 16.
б) Уравнение: (2x + 10)² = 4(x − 5)². 4x² + 40x + 100 = 4(x² − 10x + 25) = 4x² − 40x + 100; 80x = 0; x = 0.
Ответ: а) 16; б) 0.
б) Уравнение: (2x + 10)² = 4(x − 5)². 4x² + 40x + 100 = 4(x² − 10x + 25) = 4x² − 40x + 100; 80x = 0; x = 0.
Ответ: а) 16; б) 0.
843. Пользуясь формулой куба суммы, преобразуйте в многочлен выражение: а) (a + 2)³; б) (2x + y)³; в) (a + 3b)³.
Формула: (u + v)³ = u³ + 3u²v + 3uv² + v³.
а) a³ + 3a²·2 + 3a·4 + 8 = a³ + 6a² + 12a + 8.
б) 8x³ + 3·4x²·y + 3·2x·y² + y³ = 8x³ + 12x²y + 6xy² + y³.
в) a³ + 3a²·3b + 3a·9b² + 27b³ = a³ + 9a²b + 27ab² + 27b³.
а) a³ + 3a²·2 + 3a·4 + 8 = a³ + 6a² + 12a + 8.
б) 8x³ + 3·4x²·y + 3·2x·y² + y³ = 8x³ + 12x²y + 6xy² + y³.
в) a³ + 3a²·3b + 3a·9b² + 27b³ = a³ + 9a²b + 27ab² + 27b³.
844. Пользуясь формулой куба разности, преобразуйте в многочлен выражение: а) (b − 4)³; б) (1 − 2c)³; в) (2a − 3)³.
Формула: (u − v)³ = u³ − 3u²v + 3uv² − v³.
а) b³ − 3b²·4 + 3b·16 − 64 = b³ − 12b² + 48b − 64.
б) 1 − 3·2c + 3·4c² − 8c³ = 1 − 6c + 12c² − 8c³.
в) 8a³ − 3·4a²·3 + 3·2a·9 − 27 = 8a³ − 36a² + 54a − 27.
а) b³ − 3b²·4 + 3b·16 − 64 = b³ − 12b² + 48b − 64.
б) 1 − 3·2c + 3·4c² − 8c³ = 1 − 6c + 12c² − 8c³.
в) 8a³ − 3·4a²·3 + 3·2a·9 − 27 = 8a³ − 36a² + 54a − 27.
845. Упростите выражение: а) (x + 3)³ − (x − 3)³; б) (a − 2b)³ + 6ab(a − 2b).
а) (x³ + 9x² + 27x + 27) − (x³ − 9x² + 27x − 27) = 18x² + 54.
б) (a³ − 6a²b + 12ab² − 8b³) + (6a²b − 12ab²) = a³ − 8b³.
б) (a³ − 6a²b + 12ab² − 8b³) + (6a²b − 12ab²) = a³ − 8b³.
846. Запишите в виде выражения: а) разность квадратов 2m и 7n; б) квадрат разности x и 8y; в) утроенное произведение 6a и b²; г) произведение суммы a и b и их разности.
а) (2m)² − (7n)² = 4m² − 49n².
б) (x − 8y)².
в) 3·6a·b² = 18ab².
г) (a + b)(a − b).
б) (x − 8y)².
в) 3·6a·b² = 18ab².
г) (a + b)(a − b).
847. Разложите на множители многочлен a³ + 2a + a² + 2.
Сгруппируем слагаемые: a³ + a² + 2a + 2 = a²(a + 1) + 2(a + 1) = (a + 1)(a² + 2).
Ответ: (a + 1)(a² + 2).
Ответ: (a + 1)(a² + 2).
848. Из пунктов A и B, расстояние между которыми 1020 км, отправились одновременно навстречу друг другу два поезда, причём скорость одного была на 10 км/ч больше скорости другого. Через 5 ч поезда, ещё не встретившись, находились на расстоянии 170 км друг от друга. Найдите скорости поездов.
Пусть скорость одного поезда x км/ч, тогда скорость другого x + 10 км/ч. За 5 ч они вместе прошли 5(x + x + 10) км, и между ними осталось 170 км, значит, прошли 1020 − 170 = 850 км.
Уравнение: 5(2x + 10) = 850; 2x + 10 = 170; x = 80.
Скорости: 80 км/ч и 90 км/ч.
Ответ: 80 км/ч и 90 км/ч.
Уравнение: 5(2x + 10) = 850; 2x + 10 = 170; x = 80.
Скорости: 80 км/ч и 90 км/ч.
Ответ: 80 км/ч и 90 км/ч.