Глава V. §11. п.32 Возведение в квадрат и в куб суммы и разности двух выражений — с. 169
821. Преобразуйте выражение в многочлен: а) (−x + 5)²; б) (−z − 2)²; в) (−n + 4)²; г) (−m − 10)².
Квадраты противоположных выражений равны.
а) (−x + 5)² = (x − 5)² = x² − 10x + 25.
б) (−z − 2)² = (z + 2)² = z² + 4z + 4.
в) (−n + 4)² = (n − 4)² = n² − 8n + 16.
г) (−m − 10)² = (m + 10)² = m² + 20m + 100.
а) (−x + 5)² = (x − 5)² = x² − 10x + 25.
б) (−z − 2)² = (z + 2)² = z² + 4z + 4.
в) (−n + 4)² = (n − 4)² = n² − 8n + 16.
г) (−m − 10)² = (m + 10)² = m² + 20m + 100.
822. Из выражений (y − x)², (y + x)², (−y + x)², (−x + y)², (−x − y)² выберите те, которые тождественно равны выражению: а) (x + y)²; б) (x − y)².
Выражения, отличающиеся только знаком, имеют равные квадраты.
а) (y + x)² = (x + y)² и (−x − y)² = (x + y)². Ответ: (y + x)² и (−x − y)².
б) (y − x)² = (x − y)², так как y − x = −(x − y); (−y + x)² = (x − y)², так как −y + x = x − y; (−x + y)² = (x − y)², так как −x + y = −(x − y). Ответ: (y − x)², (−y + x)², (−x + y)².
а) (y + x)² = (x + y)² и (−x − y)² = (x + y)². Ответ: (y + x)² и (−x − y)².
б) (y − x)² = (x − y)², так как y − x = −(x − y); (−y + x)² = (x − y)², так как −y + x = x − y; (−x + y)² = (x − y)², так как −x + y = −(x − y). Ответ: (y − x)², (−y + x)², (−x + y)².
823. Докажите тождество: а) (a − b)² = (b − a)²; б) (−a − b)² = (a + b)².
а) Раскроем обе части. (a − b)² = a² − 2ab + b². (b − a)² = b² − 2ba + a² = a² − 2ab + b². Многочлены совпадают, тождество доказано.
б) (−a − b)² = (−a)² + 2·(−a)·(−b) + (−b)² = a² + 2ab + b² = (a + b)². Тождество доказано.
б) (−a − b)² = (−a)² + 2·(−a)·(−b) + (−b)² = a² + 2ab + b² = (a + b)². Тождество доказано.
824. Представьте в виде многочлена квадрат двучлена: а) (−9a + 4b)²; б) (−11x − 7y)²; в) (−0,8x − 0,5b)²; г) (−1(1/3)p + 6q)²; д) (0,08a − 50b)²; е) (−0,5x − 60y)².
а) 81a² − 2·9a·4b + 16b² = 81a² − 72ab + 16b².
б) (11x + 7y)² = 121x² + 154xy + 49y².
в) (0,8x + 0,5b)² = 0,64x² + 0,8xb + 0,25b².
г) 1(1/3) = 4/3. (−(4/3)p + 6q)² = (16/9)p² − 2·(4/3)p·6q + 36q² = 1(7/9)p² − 16pq + 36q².
д) 0,0064a² − 2·0,08a·50b + 2500b² = 0,0064a² − 8ab + 2500b².
е) (0,5x + 60y)² = 0,25x² + 60xy + 3600y².
б) (11x + 7y)² = 121x² + 154xy + 49y².
в) (0,8x + 0,5b)² = 0,64x² + 0,8xb + 0,25b².
г) 1(1/3) = 4/3. (−(4/3)p + 6q)² = (16/9)p² − 2·(4/3)p·6q + 36q² = 1(7/9)p² − 16pq + 36q².
д) 0,0064a² − 2·0,08a·50b + 2500b² = 0,0064a² − 8ab + 2500b².
е) (0,5x + 60y)² = 0,25x² + 60xy + 3600y².
825. Преобразуйте выражение в многочлен: а) (−3a + 10b)²; б) (−6m − n)²; в) (8x − 0,3y)²; г) (5a + (1/15)b)²; д) (−0,2p − 10q)²; е) (0,8x − 0,1y)².
а) 9a² − 60ab + 100b².
б) (6m + n)² = 36m² + 12mn + n².
в) 64x² − 2·8x·0,3y + 0,09y² = 64x² − 4,8xy + 0,09y².
г) 25a² + 2·5a·(1/15)b + (1/225)b² = 25a² + (2/3)ab + (1/225)b².
д) (0,2p + 10q)² = 0,04p² + 4pq + 100q².
е) 0,64x² − 2·0,8x·0,1y + 0,01y² = 0,64x² − 0,16xy + 0,01y².
б) (6m + n)² = 36m² + 12mn + n².
в) 64x² − 2·8x·0,3y + 0,09y² = 64x² − 4,8xy + 0,09y².
г) 25a² + 2·5a·(1/15)b + (1/225)b² = 25a² + (2/3)ab + (1/225)b².
д) (0,2p + 10q)² = 0,04p² + 4pq + 100q².
е) 0,64x² − 2·0,8x·0,1y + 0,01y² = 0,64x² − 0,16xy + 0,01y².
826. Используя формулу квадрата суммы или формулу квадрата разности, вычислите: а) (100 + 1)²; б) (100 − 1)²; в) 61²; г) 199²; д) 999²; е) 702²; ж) 9,9²; з) 10,2².
а) 100² + 2·100·1 + 1 = 10 000 + 200 + 1 = 10 201.
б) 10 000 − 200 + 1 = 9801.
в) 61² = (60 + 1)² = 3600 + 120 + 1 = 3721.
г) 199² = (200 − 1)² = 40 000 − 400 + 1 = 39 601.
д) 999² = (1000 − 1)² = 1 000 000 − 2000 + 1 = 998 001.
е) 702² = (700 + 2)² = 490 000 + 2800 + 4 = 492 804.
ж) 9,9² = (10 − 0,1)² = 100 − 2 + 0,01 = 98,01.
з) 10,2² = (10 + 0,2)² = 100 + 4 + 0,04 = 104,04.
б) 10 000 − 200 + 1 = 9801.
в) 61² = (60 + 1)² = 3600 + 120 + 1 = 3721.
г) 199² = (200 − 1)² = 40 000 − 400 + 1 = 39 601.
д) 999² = (1000 − 1)² = 1 000 000 − 2000 + 1 = 998 001.
е) 702² = (700 + 2)² = 490 000 + 2800 + 4 = 492 804.
ж) 9,9² = (10 − 0,1)² = 100 − 2 + 0,01 = 98,01.
з) 10,2² = (10 + 0,2)² = 100 + 4 + 0,04 = 104,04.
827. Выполните возведение в квадрат: а) (x² − 5)²; б) (7 − y³)²; в) (2a + b⁴)²; г) (−3p + q³)².
а) (x²)² − 2·x²·5 + 25 = x⁴ − 10x² + 25.
б) 49 − 14y³ + (y³)² = 49 − 14y³ + y⁶.
в) 4a² + 4ab⁴ + b⁸.
г) 9p² − 6pq³ + q⁶.
б) 49 − 14y³ + (y³)² = 49 − 14y³ + y⁶.
в) 4a² + 4ab⁴ + b⁸.
г) 9p² − 6pq³ + q⁶.
828. Преобразуйте выражение в многочлен: а) (a² − 3a)²; б) ((1/2)x³ + 6x)²; в) (c² − 0,7c³)²; г) (4y³ − 0,5y²)²; д) (1(1/2)a⁵ + 8a²)²; е) (0,6b − 60b²)².
а) a⁴ − 2·a²·3a + 9a² = a⁴ − 6a³ + 9a².
б) (1/4)x⁶ + 2·(1/2)x³·6x + 36x² = (1/4)x⁶ + 6x⁴ + 36x².
в) c⁴ − 2·c²·0,7c³ + 0,49c⁶ = c⁴ − 1,4c⁵ + 0,49c⁶.
г) 16y⁶ − 2·4y³·0,5y² + 0,25y⁴ = 16y⁶ − 4y⁵ + 0,25y⁴.
д) 1(1/2) = 1,5. 2,25a¹⁰ + 2·1,5a⁵·8a² + 64a⁴ = 2,25a¹⁰ + 24a⁷ + 64a⁴.
е) 0,36b² − 2·0,6b·60b² + 3600b⁴ = 0,36b² − 72b³ + 3600b⁴.
б) (1/4)x⁶ + 2·(1/2)x³·6x + 36x² = (1/4)x⁶ + 6x⁴ + 36x².
в) c⁴ − 2·c²·0,7c³ + 0,49c⁶ = c⁴ − 1,4c⁵ + 0,49c⁶.
г) 16y⁶ − 2·4y³·0,5y² + 0,25y⁴ = 16y⁶ − 4y⁵ + 0,25y⁴.
д) 1(1/2) = 1,5. 2,25a¹⁰ + 2·1,5a⁵·8a² + 64a⁴ = 2,25a¹⁰ + 24a⁷ + 64a⁴.
е) 0,36b² − 2·0,6b·60b² + 3600b⁴ = 0,36b² − 72b³ + 3600b⁴.
829. Представьте выражение в виде многочлена: а) (a² − 2b)²; б) (x³ + 3y⁴)²; в) (7a⁶ + 12a)²; г) (15x − x³)².
а) a⁴ − 4a²b + 4b².
б) x⁶ + 6x³y⁴ + 9y⁸.
в) 49a¹² + 2·7a⁶·12a + 144a² = 49a¹² + 168a⁷ + 144a².
г) 225x² − 2·15x·x³ + x⁶ = 225x² − 30x⁴ + x⁶.
б) x⁶ + 6x³y⁴ + 9y⁸.
в) 49a¹² + 2·7a⁶·12a + 144a² = 49a¹² + 168a⁷ + 144a².
г) 225x² − 2·15x·x³ + x⁶ = 225x² − 30x⁴ + x⁶.
830. Замените знак одночленом так, чтобы получившееся равенство было тождеством: а) ( + 2b)² = a² + 4ab + 4b²; б) (3x + )² = 9x² + 6ax + a²; в) ( − 2m)² = 100 − 40m + 4m²; г) ( − 9c)² = 36a⁴ − 108a²c + 81c²; д) (5y + )² = 25y² + 4x³y + 0,16x⁶; е) (3a + 2,5b)² = 9a² + 6,25b² + *.
Сравниваем с формулой квадрата суммы или разности.
а) Первый член в квадрате равен a², значит, * = a. Проверка: 2·a·2b = 4ab.
б) Квадрат второго члена равен a², удвоенное произведение 2·3x· = 6ax, значит, = a.
в) Квадрат первого члена равен 100, значит, * = 10. Проверка: 2·10·2m = 40m.
г) Квадрат первого члена равен 36a⁴, значит, * = 6a². Проверка: 2·6a²·9c = 108a²c.
д) Квадрат второго члена равен 0,16x⁶, значит, это 0,4x³. Проверка: 2·5y·0,4x³ = 4x³y. Ответ: * = 0,4x³.
е) Пропущено удвоенное произведение: 2·3a·2,5b = 15ab. Ответ: * = 15ab.
а) Первый член в квадрате равен a², значит, * = a. Проверка: 2·a·2b = 4ab.
б) Квадрат второго члена равен a², удвоенное произведение 2·3x· = 6ax, значит, = a.
в) Квадрат первого члена равен 100, значит, * = 10. Проверка: 2·10·2m = 40m.
г) Квадрат первого члена равен 36a⁴, значит, * = 6a². Проверка: 2·6a²·9c = 108a²c.
д) Квадрат второго члена равен 0,16x⁶, значит, это 0,4x³. Проверка: 2·5y·0,4x³ = 4x³y. Ответ: * = 0,4x³.
е) Пропущено удвоенное произведение: 2·3a·2,5b = 15ab. Ответ: * = 15ab.
831. Упростите выражение: а) (12a − 1)² − 1; б) (2a + 6b)² − 24ab; в) 121 − (11 − 9x)²; г) a²b² − (ab − 7)²; д) b² + 49 − (b − 7)²; е) a⁴ − 81 − (a² + 9)².
а) 144a² − 24a + 1 − 1 = 144a² − 24a.
б) 4a² + 24ab + 36b² − 24ab = 4a² + 36b².
в) 121 − (121 − 198x + 81x²) = 121 − 121 + 198x − 81x² = 198x − 81x².
г) a²b² − (a²b² − 14ab + 49) = 14ab − 49.
д) b² + 49 − (b² − 14b + 49) = 14b.
е) a⁴ − 81 − (a⁴ + 18a² + 81) = −18a² − 162.
б) 4a² + 24ab + 36b² − 24ab = 4a² + 36b².
в) 121 − (121 − 198x + 81x²) = 121 − 121 + 198x − 81x² = 198x − 81x².
г) a²b² − (a²b² − 14ab + 49) = 14ab − 49.
д) b² + 49 − (b² − 14b + 49) = 14b.
е) a⁴ − 81 − (a⁴ + 18a² + 81) = −18a² − 162.