Глава V. §11. п.32 Возведение в квадрат и в куб суммы и разности двух выражений — с. 168
815. Представьте выражение в виде многочлена: а) (x + y)²; б) (p − q)²; в) (b + 3)²; г) (10 − c)²; д) (y − 9)²; е) (9 − y)²; ж) (a + 12)²; з) (15 − x)²; и) (b − 0,5)²; к) (0,3 − m)².
Применяем формулы (a + b)² = a² + 2ab + b² и (a − b)² = a² − 2ab + b².
а) (x + y)² = x² + 2xy + y².
б) (p − q)² = p² − 2pq + q².
в) (b + 3)² = b² + 2·b·3 + 3² = b² + 6b + 9.
г) (10 − c)² = 10² − 2·10·c + c² = 100 − 20c + c².
д) (y − 9)² = y² − 2·y·9 + 9² = y² − 18y + 81.
е) (9 − y)² = 81 − 18y + y².
ж) (a + 12)² = a² + 24a + 144.
з) (15 − x)² = 225 − 30x + x².
и) (b − 0,5)² = b² − 2·b·0,5 + 0,25 = b² − b + 0,25.
к) (0,3 − m)² = 0,09 − 2·0,3·m + m² = 0,09 − 0,6m + m².
а) (x + y)² = x² + 2xy + y².
б) (p − q)² = p² − 2pq + q².
в) (b + 3)² = b² + 2·b·3 + 3² = b² + 6b + 9.
г) (10 − c)² = 10² − 2·10·c + c² = 100 − 20c + c².
д) (y − 9)² = y² − 2·y·9 + 9² = y² − 18y + 81.
е) (9 − y)² = 81 − 18y + y².
ж) (a + 12)² = a² + 24a + 144.
з) (15 − x)² = 225 − 30x + x².
и) (b − 0,5)² = b² − 2·b·0,5 + 0,25 = b² − b + 0,25.
к) (0,3 − m)² = 0,09 − 2·0,3·m + m² = 0,09 − 0,6m + m².
816. Преобразуйте выражение в многочлен: а) (m + n)²; б) (c − d)²; в) (x + 9)²; г) (8 − a)²; д) (a − 25)²; е) (40 + b)²; ж) (0,2 − x)²; з) (k − 0,5)².
а) (m + n)² = m² + 2mn + n².
б) (c − d)² = c² − 2cd + d².
в) (x + 9)² = x² + 18x + 81.
г) (8 − a)² = 64 − 16a + a².
д) (a − 25)² = a² − 50a + 625.
е) (40 + b)² = 1600 + 80b + b².
ж) (0,2 − x)² = 0,04 − 0,4x + x².
з) (k − 0,5)² = k² − k + 0,25.
б) (c − d)² = c² − 2cd + d².
в) (x + 9)² = x² + 18x + 81.
г) (8 − a)² = 64 − 16a + a².
д) (a − 25)² = a² − 50a + 625.
е) (40 + b)² = 1600 + 80b + b².
ж) (0,2 − x)² = 0,04 − 0,4x + x².
з) (k − 0,5)² = k² − k + 0,25.
817. С помощью рисунка 86 разъясните геометрический смысл формулы (a − b)² = a² − 2ab + b² для положительных a и b, удовлетворяющих условию a > b. [рисунок 86: большой квадрат со стороной a; у верхней стороны горизонтальная полоса высотой b на всю ширину, у правой стороны вертикальная полоса шириной b на всю высоту; полосы перекрываются в верхнем правом углу — квадрат b × b; оставшаяся серая часть — квадрат со стороной a − b]
Площадь большого квадрата равна a². Серая часть рисунка — квадрат со стороной a − b, её площадь равна (a − b)².
Чтобы получить серый квадрат, нужно из большого квадрата убрать две полосы: верхнюю и правую. Площадь каждой полосы равна ab, поэтому вместе они занимают 2ab.
Однако квадрат b × b в верхнем правом углу принадлежит обеим полосам, и при вычитании 2ab он вычтен дважды. Поэтому его площадь b² нужно один раз прибавить обратно.
Получаем: (a − b)² = a² − 2ab + b².
Чтобы получить серый квадрат, нужно из большого квадрата убрать две полосы: верхнюю и правую. Площадь каждой полосы равна ab, поэтому вместе они занимают 2ab.
Однако квадрат b × b в верхнем правом углу принадлежит обеим полосам, и при вычитании 2ab он вычтен дважды. Поэтому его площадь b² нужно один раз прибавить обратно.
Получаем: (a − b)² = a² − 2ab + b².
818. Проверьте, что равенство n² + (n + 2)² + (n + 9)² = (n − 1)² + (n + 5)² + (n + 7)² + 10 верно при n = 3. Покажите, что это равенство верно при любом n.
При n = 3: левая часть 9 + 25 + 144 = 178; правая часть 4 + 64 + 100 + 10 = 178. Равенство верно.
Для любого n преобразуем обе части.
Левая часть: n² + (n² + 4n + 4) + (n² + 18n + 81) = 3n² + 22n + 85.
Правая часть: (n² − 2n + 1) + (n² + 10n + 25) + (n² + 14n + 49) + 10 = 3n² + 22n + 85.
Обе части равны одному и тому же многочлену, значит, равенство верно при любом n.
Для любого n преобразуем обе части.
Левая часть: n² + (n² + 4n + 4) + (n² + 18n + 81) = 3n² + 22n + 85.
Правая часть: (n² − 2n + 1) + (n² + 10n + 25) + (n² + 14n + 49) + 10 = 3n² + 22n + 85.
Обе части равны одному и тому же многочлену, значит, равенство верно при любом n.
819. Преобразуйте выражение в многочлен: а) (2x + 3)²; б) (7y − 6)²; в) (10 + 8k)²; г) (5y − 4x)²; д) (5a + (1/5)b)²; е) ((1/4)m − 2n)²; ж) (0,3x − 0,5a)²; з) (10c + 0,1y)²; и) (0,1b − 10a)².
а) 4x² + 12x + 9.
б) 49y² − 84y + 36.
в) 100 + 160k + 64k².
г) 25y² − 40xy + 16x².
д) 25a² + 2·5a·(1/5)b + (1/25)b² = 25a² + 2ab + (1/25)b².
е) (1/16)m² − 2·(1/4)m·2n + 4n² = (1/16)m² − mn + 4n².
ж) 0,09x² − 2·0,3x·0,5a + 0,25a² = 0,09x² − 0,3ax + 0,25a².
з) 100c² + 2·10c·0,1y + 0,01y² = 100c² + 2cy + 0,01y².
и) 0,01b² − 2·0,1b·10a + 100a² = 0,01b² − 2ab + 100a².
б) 49y² − 84y + 36.
в) 100 + 160k + 64k².
г) 25y² − 40xy + 16x².
д) 25a² + 2·5a·(1/5)b + (1/25)b² = 25a² + 2ab + (1/25)b².
е) (1/16)m² − 2·(1/4)m·2n + 4n² = (1/16)m² − mn + 4n².
ж) 0,09x² − 2·0,3x·0,5a + 0,25a² = 0,09x² − 0,3ax + 0,25a².
з) 100c² + 2·10c·0,1y + 0,01y² = 100c² + 2cy + 0,01y².
и) 0,01b² − 2·0,1b·10a + 100a² = 0,01b² − 2ab + 100a².
820. Преобразуйте выражение в многочлен: а) (7 − 8b)²; б) (0,6 + 2x)²; в) ((1/3)x − 3y)²; г) (4a + (1/8)b)²; д) (0,1m + 5n)²; е) (12a − 0,3c)².
а) 49 − 112b + 64b².
б) 0,36 + 2·0,6·2x + 4x² = 0,36 + 2,4x + 4x².
в) (1/9)x² − 2·(1/3)x·3y + 9y² = (1/9)x² − 2xy + 9y².
г) 16a² + 2·4a·(1/8)b + (1/64)b² = 16a² + ab + (1/64)b².
д) 0,01m² + 2·0,1m·5n + 25n² = 0,01m² + mn + 25n².
е) 144a² − 2·12a·0,3c + 0,09c² = 144a² − 7,2ac + 0,09c².
б) 0,36 + 2·0,6·2x + 4x² = 0,36 + 2,4x + 4x².
в) (1/9)x² − 2·(1/3)x·3y + 9y² = (1/9)x² − 2xy + 9y².
г) 16a² + 2·4a·(1/8)b + (1/64)b² = 16a² + ab + (1/64)b².
д) 0,01m² + 2·0,1m·5n + 25n² = 0,01m² + mn + 25n².
е) 144a² − 2·12a·0,3c + 0,09c² = 144a² − 7,2ac + 0,09c².