Глава IV. Дополнительные упражнения. К параграфу 10 — с. 163
801. Докажите, что: а) произведение двух средних из четырёх последовательных целых чисел на 2 больше произведения крайних чисел; б) квадрат среднего из трёх последовательных нечётных чисел на 4 больше произведения двух крайних чисел.
а) Пусть числа n, n + 1, n + 2, n + 3. (n + 1)(n + 2) − n(n + 3) = n² + 3n + 2 − n² − 3n = 2.
б) Пусть числа 2k − 1, 2k + 1, 2k + 3. (2k + 1)² − (2k − 1)(2k + 3) = 4k² + 4k + 1 − (4k² + 4k − 3) = 4.
б) Пусть числа 2k − 1, 2k + 1, 2k + 3. (2k + 1)² − (2k − 1)(2k + 3) = 4k² + 4k + 1 − (4k² + 4k − 3) = 4.
802. Сторона квадрата на 2 см больше одной из сторон прямоугольника и на 5 см меньше другой. Найдите площадь квадрата, если известно, что она на 50 см² меньше площади прямоугольника.
Пусть сторона квадрата x см. Стороны прямоугольника x − 2 и x + 5. Площадь прямоугольника на 50 больше: (x − 2)(x + 5) − x² = 50.
x² + 3x − 10 − x² = 50; 3x = 60; x = 20.
Площадь квадрата 20² = 400 см². Проверка: 18·25 = 450, 450 − 400 = 50.
Ответ: 400 см².
x² + 3x − 10 − x² = 50; 3x = 60; x = 20.
Площадь квадрата 20² = 400 см². Проверка: 18·25 = 450, 450 − 400 = 50.
Ответ: 400 см².
803. Если длину прямоугольника уменьшить на 4 см, а ширину увеличить на 5 см, то получится квадрат, площадь которого больше площади прямоугольника на 40 см². Найдите площадь прямоугольника.
Пусть ширина прямоугольника b см. Новые стороны равны: длина a − 4, ширина b + 5. Получился квадрат, значит a − 4 = b + 5, a = b + 9.
Площадь квадрата (b + 5)², площадь прямоугольника ab = b(b + 9). По условию (b + 5)² − b(b + 9) = 40.
b² + 10b + 25 − b² − 9b = 40; b = 15; a = 24.
Площадь 24·15 = 360 см². Проверка: квадрат 20×20 = 400, 400 − 360 = 40.
Ответ: 360 см².
Площадь квадрата (b + 5)², площадь прямоугольника ab = b(b + 9). По условию (b + 5)² − b(b + 9) = 40.
b² + 10b + 25 − b² − 9b = 40; b = 15; a = 24.
Площадь 24·15 = 360 см². Проверка: квадрат 20×20 = 400, 400 − 360 = 40.
Ответ: 360 см².
804. Периметр прямоугольника равен 36 м. Если его длину увеличить на 1 м, а ширину увеличить на 2 м, то его площадь увеличится на 30 м². Определите площадь первоначального прямоугольника.
Пусть длина a м, ширина b м, тогда a + b = 18. Новая площадь (a + 1)(b + 2) на 30 больше прежней ab.
ab + 2a + b + 2 = ab + 30; 2a + b = 28.
Вычитаем a + b = 18: a = 10, b = 8.
Площадь 10·8 = 80 м². Проверка: 11·10 = 110, 110 − 80 = 30.
Ответ: 80 м².
ab + 2a + b + 2 = ab + 30; 2a + b = 28.
Вычитаем a + b = 18: a = 10, b = 8.
Площадь 10·8 = 80 м². Проверка: 11·10 = 110, 110 − 80 = 30.
Ответ: 80 м².
805. Периметр прямоугольника равен 30 см. Если его длину уменьшить на 3 см, а ширину увеличить на 5 см, то площадь прямоугольника уменьшится на 8 см². Найдите площадь первоначального прямоугольника.
Пусть длина a см, ширина b см, тогда a + b = 15. Новая площадь (a − 3)(b + 5) на 8 меньше прежней: (a − 3)(b + 5) = ab − 8.
ab + 5a − 3b − 15 = ab − 8; 5a − 3b = 7. Подставляем b = 15 − a: 5a − 45 + 3a = 7; 8a = 52; a = 6,5; b = 8,5.
Площадь 6,5·8,5 = 55,25 см². Проверка: 3,5·13,5 = 47,25, 55,25 − 47,25 = 8.
Ответ: 55,25 см².
ab + 5a − 3b − 15 = ab − 8; 5a − 3b = 7. Подставляем b = 15 − a: 5a − 45 + 3a = 7; 8a = 52; a = 6,5; b = 8,5.
Площадь 6,5·8,5 = 55,25 см². Проверка: 3,5·13,5 = 47,25, 55,25 − 47,25 = 8.
Ответ: 55,25 см².
806. Найдите значение выражения: а) a² + ab − 7a − 7b при a = 6,6, b = 0,4; б) x² − xy − 4x + 4y при x = 0,5, y = 2,5; в) 5a² − 5ax − 7a + 7x при a = 4, x = −3; г) xb − xc + 3c − 3b при x = 2, b = 12,5, c = 8,3; д) ay − ax − 2x + 2y при a = −2, x = 9,1, y = −6,4; е) 3ax − 4by − 4ay + 3bx при a = 3, b = −13, x = −1, y = −2.
Сначала раскладываем на множители.
а) a(a + b) − 7(a + b) = (a + b)(a − 7) = 7·(−0,4) = −2,8.
б) x(x − y) − 4(x − y) = (x − y)(x − 4) = (−2)(−3,5) = 7.
в) 5a(a − x) − 7(a − x) = (a − x)(5a − 7) = 7·13 = 91.
г) x(b − c) − 3(b − c) = (b − c)(x − 3) = 4,2·(−1) = −4,2.
д) a(y − x) + 2(y − x) = (y − x)(a + 2). При a = −2 множитель a + 2 = 0, поэтому значение равно 0.
е) 3x(a + b) − 4y(a + b) = (a + b)(3x − 4y) = (−10)(−3 + 8) = −50.
а) a(a + b) − 7(a + b) = (a + b)(a − 7) = 7·(−0,4) = −2,8.
б) x(x − y) − 4(x − y) = (x − y)(x − 4) = (−2)(−3,5) = 7.
в) 5a(a − x) − 7(a − x) = (a − x)(5a − 7) = 7·13 = 91.
г) x(b − c) − 3(b − c) = (b − c)(x − 3) = 4,2·(−1) = −4,2.
д) a(y − x) + 2(y − x) = (y − x)(a + 2). При a = −2 множитель a + 2 = 0, поэтому значение равно 0.
е) 3x(a + b) − 4y(a + b) = (a + b)(3x − 4y) = (−10)(−3 + 8) = −50.
807. Разложите на множители многочлен: а) a³ − 2a² + 2a − 4; б) x³ − 12 + 6x² − 2x; в) c^4 − 2c² + c³ − 2c; г) −y^6 − y^5 + y^4 + y³; д) a²b − b²c + a²c − bc²; е) 2x³ + xy² − 2x²y − y³; ж) 16ab² − 10c³ + 32ac² − 5b²c; з) 6a³ − 21a²b + 2ab² − 7b³.
а) a²(a − 2) + 2(a − 2) = (a − 2)(a² + 2).
б) x³ + 6x² − 2x − 12 = x²(x + 6) − 2(x + 6) = (x + 6)(x² − 2).
в) c²(c² − 2) + c(c² − 2) = (c² − 2)(c² + c) = c(c + 1)(c² − 2).
г) −y^5(y + 1) + y³(y + 1) = (y + 1)(y³ − y^5) = y³(y + 1)(1 − y²) = y³(1 − y)(1 + y)².
д) a²(b + c) − bc(b + c) = (b + c)(a² − bc).
е) x(2x² + y²) − y(2x² + y²) = (2x² + y²)(x − y).
ж) 16a(b² + 2c²) − 5c(2c² + b²) = (b² + 2c²)(16a − 5c).
з) 3a²(2a − 7b) + b²(2a − 7b) = (2a − 7b)(3a² + b²).
б) x³ + 6x² − 2x − 12 = x²(x + 6) − 2(x + 6) = (x + 6)(x² − 2).
в) c²(c² − 2) + c(c² − 2) = (c² − 2)(c² + c) = c(c + 1)(c² − 2).
г) −y^5(y + 1) + y³(y + 1) = (y + 1)(y³ − y^5) = y³(y + 1)(1 − y²) = y³(1 − y)(1 + y)².
д) a²(b + c) − bc(b + c) = (b + c)(a² − bc).
е) x(2x² + y²) − y(2x² + y²) = (2x² + y²)(x − y).
ж) 16a(b² + 2c²) − 5c(2c² + b²) = (b² + 2c²)(16a − 5c).
з) 3a²(2a − 7b) + b²(2a − 7b) = (2a − 7b)(3a² + b²).
808. Представьте в виде произведения: а) ma − mb + na − nb + pa − pb; б) ax − bx − cx + ay − by − cy; в) x² + ax² − y − ay + cx² − cy; г) ax² + 2y − bx² + ay + 2x² − by.
а) m(a − b) + n(a − b) + p(a − b) = (a − b)(m + n + p).
б) x(a − b − c) + y(a − b − c) = (a − b − c)(x + y).
в) x²(1 + a + c) − y(1 + a + c) = (1 + a + c)(x² − y).
г) x²(a − b + 2) + y(2 + a − b) = (a − b + 2)(x² + y).
б) x(a − b − c) + y(a − b − c) = (a − b − c)(x + y).
в) x²(1 + a + c) − y(1 + a + c) = (1 + a + c)(x² − y).
г) x²(a − b + 2) + y(2 + a − b) = (a − b + 2)(x² + y).
809. Разложите на множители многочлен: а) x² − 10x + 24; б) x² − 13x + 40; в) x² + 8x + 7; г) x² + 15x + 54; д) x² + x − 12; е) x² − 2x − 35.
Раскладываем средний член в сумму двух слагаемых, произведение коэффициентов которых равно свободному члену.
а) x² − 4x − 6x + 24 = x(x − 4) − 6(x − 4) = (x − 4)(x − 6).
б) x² − 5x − 8x + 40 = x(x − 5) − 8(x − 5) = (x − 5)(x − 8).
в) x² + x + 7x + 7 = x(x + 1) + 7(x + 1) = (x + 1)(x + 7).
г) x² + 6x + 9x + 54 = x(x + 6) + 9(x + 6) = (x + 6)(x + 9).
д) x² + 4x − 3x − 12 = x(x + 4) − 3(x + 4) = (x + 4)(x − 3).
е) x² + 5x − 7x − 35 = x(x + 5) − 7(x + 5) = (x + 5)(x − 7).
а) x² − 4x − 6x + 24 = x(x − 4) − 6(x − 4) = (x − 4)(x − 6).
б) x² − 5x − 8x + 40 = x(x − 5) − 8(x − 5) = (x − 5)(x − 8).
в) x² + x + 7x + 7 = x(x + 1) + 7(x + 1) = (x + 1)(x + 7).
г) x² + 6x + 9x + 54 = x(x + 6) + 9(x + 6) = (x + 6)(x + 9).
д) x² + 4x − 3x − 12 = x(x + 4) − 3(x + 4) = (x + 4)(x − 3).
е) x² + 5x − 7x − 35 = x(x + 5) − 7(x + 5) = (x + 5)(x − 7).