Алгебра Макарычев 7 класс, страница 162 — задания и ответы

Question

Accepted Answer

Глава IV. Дополнительные упражнения. К параграфу 9 (окончание). К параграфу 10 — с. 162 792. Докажите, что: а) сумма трёх последовательных степеней числа 2 с натуральными показателями делится на 14; б) сумма двух последовательных степеней числа 5 с натуральными показателями делится на 30. а) Пусть показатели n, n + 1, n + 2, где n — натуральное. 2^n + 2^(n+1) + 2^(n+2) = 2^n(1 + 2 + 4) = 7·2^n = 14·2^(n−1). Так как n ≥ 1, число 2^(n−1) целое, и сумма делится на 14. б) 5^n + 5^(n+1) = 5^n(1 + 5) = 6·5^n = 30·5^(n−1), где n ≥ 1. Сумма делится на 30. 793. Докажите, что выражение тождественно равно некоторому двучлену: а) (x + y)(x² − xy + y²); б) (x − y)(x² + xy + y²); в) (a + b)(a³ − a²b + ab² − b³); г) (a − b)(a³ + a²b + ab² + b³). а) x³ − x²y + xy² + x²y − xy² + y³ = x³ + y³. б) x³ + x²y + xy² − x²y − xy² − y³ = x³ − y³. в) a^4 − a³b + a²b² − ab³ + a³b − a²b² + ab³ − b^4 = a^4 − b^4. г) a^4 + a³b + a²b² + ab³ − a³b − a²b² − ab³ − b^4 = a^4 − b^4. 794. Упростите: а) (a² − 7)(a + 2) − (2a − 1)(a − 14); б) (2 − b)(1 + 2b) + (1 + b)(b³ − 3b); в) 2x² − (x − 2y)(2x + y); г) (m − 3n)(m + 2n) − m(m − n); д) (a − 2b)(b + 4a) − 7b(a + b); е) (p − q)(p + 3q) − (p² + 3q²). а) (a³ + 2a² − 7a − 14) − (2a² − 29a + 14) = a³ + 22a − 28. б) (2 + 3b − 2b²) + (b^4 + b³ − 3b² − 3b) = b^4 + b³ − 5b² + 2. в) 2x² − (2x² + xy − 4xy − 2y²) = 2x² − 2x² + 3xy + 2y² = 3xy + 2y². г) m² − mn − 6n² − m² + mn = −6n². д) ab + 4a² − 2b² − 8ab − 7ab − 7b² = 4a² − 14ab − 9b². е) p² + 2pq − 3q² − p² − 3q² = 2pq − 6q². 795. Докажите, что выражение (y + 8)(y − 7) − 4(0,25y − 16) при любом значении y принимает положительные значения. (y + 8)(y − 7) − 4(0,25y − 16) = y² + y − 56 − y + 64 = y² + 8. Так как y² ≥ 0, то y² + 8 ≥ 8 > 0. 796. Докажите, что значение выражения: а) (3^5 − 3^4)(3³ + 3²) делится на 24; б) (2^10 + 2^8)(2^5 − 2³) делится на 60; в) (16³ − 8³)(4³ + 2³) делится на 63; г) (125² + 25²)(5² − 1) делится на 39. а) 3^4(3 − 1)·3²(3 + 1) = 3^4·2·3²·4 = 8·3^6 = 24·3^5. б) 2^8(4 + 1)·2³(4 − 1) = 2^8·5·2³·3 = 15·2^11 = 60·2^9. в) 16³ = 2^12, 8³ = 2^9, 4³ = 2^6, 2³ = 2³: (2^12 − 2^9)(2^6 + 2³) = 2^9·7·2³·9 = 63·2^12. г) 125² = 5^6, 25² = 5^4: (5^6 + 5^4)·24 = 5^4·26·24 = 5^4·624 = 39·(16·5^4), так как 624 = 39·16. 797. Упростите выражение и найдите его значение при указанных значениях переменных: а) 126y³ + (x − 5y)(x² + 25y² + 5xy) при x = −3, y = −2; б) m³ + n³ − (m² − 2mn − n²)(m − n) при m = −3, n = 4. а) (x − 5y)(x² + 5xy + 25y²) = x³ + 5x²y + 25xy² − 5x²y − 25xy² − 125y³ = x³ − 125y³.