Глава IV. Дополнительные упражнения. К параграфу 8 (окончание). К параграфу 9 — с. 160
771. Два сосуда были наполнены растворами соли, причём во втором сосуде содержалось на 2 кг больше раствора, чем в первом. Концентрация соли в первом растворе составляла 10%, а во втором — 30%. После того как растворы слили в третий сосуд, получили новый раствор, концентрация соли в котором оказалась равной 25%. Сколько раствора было в первом сосуде первоначально?
Пусть в первом сосуде x кг раствора, тогда во втором x + 2 кг, в третьем 2x + 2 кг. Масса соли: в первом 0,1x, во втором 0,3(x + 2), в третьем 0,25(2x + 2).
0,1x + 0,3(x + 2) = 0,25(2x + 2); 0,4x + 0,6 = 0,5x + 0,5; 0,1 = 0,1x; x = 1.
Проверка: соли 0,1 + 0,9 = 1 кг, раствора 4 кг, 1/4 = 25%.
Ответ: 1 кг.
0,1x + 0,3(x + 2) = 0,25(2x + 2); 0,4x + 0,6 = 0,5x + 0,5; 0,1 = 0,1x; x = 1.
Проверка: соли 0,1 + 0,9 = 1 кг, раствора 4 кг, 1/4 = 25%.
Ответ: 1 кг.
772. В первую бригаду привезли раствора цемента на 50 кг меньше, чем во вторую. Каждый час работы первая бригада расходовала 150 кг раствора, а вторая — 200 кг. Через 3 ч работы в первой бригаде осталось раствора в 1,5 раза больше, чем во второй. Сколько раствора привезли в каждую бригаду?
Пусть в первую бригаду привезли x кг, тогда во вторую x + 50 кг. Через 3 ч в первой осталось x − 3·150 = x − 450, во второй x + 50 − 3·200 = x − 550. По условию x − 450 = 1,5(x − 550).
x − 450 = 1,5x − 825; 375 = 0,5x; x = 750.
Во вторую привезли 800 кг. Проверка: 750 − 450 = 300, 800 − 600 = 200, 300 = 1,5·200.
Ответ: 750 кг и 800 кг.
x − 450 = 1,5x − 825; 375 = 0,5x; x = 750.
Во вторую привезли 800 кг. Проверка: 750 − 450 = 300, 800 − 600 = 200, 300 = 1,5·200.
Ответ: 750 кг и 800 кг.
773. Расстояние между пристанями M и N равно 162 км. От пристани M отошёл теплоход со скоростью 45 км/ч. Через 45 мин от пристани N навстречу ему отошёл другой теплоход, скорость которого 36 км/ч. Через сколько часов после отправления первого теплохода они встретятся?
Пусть до встречи первый теплоход шёл t ч, тогда второй t − 0,75 ч (45 мин = 0,75 ч). К встрече вместе они прошли весь путь 162 км.
45t + 36(t − 0,75) = 162; 45t + 36t − 27 = 162; 81t = 189; t = 7/3 = 2 1/3.
Ответ: через 2 1/3 ч.
45t + 36(t − 0,75) = 162; 45t + 36t − 27 = 162; 81t = 189; t = 7/3 = 2 1/3.
Ответ: через 2 1/3 ч.
774. От пристани A отошёл теплоход со скоростью 40 км/ч. Через 1 1/4 ч вслед за ним отошёл другой теплоход со скоростью 60 км/ч. Через сколько часов после своего отправления и на каком расстоянии от A второй теплоход догонит первый?
Пусть второй теплоход шёл t ч до встречи, тогда первый шёл t + 1,25 ч. Пройденные расстояния равны: 60t = 40(t + 1,25).
60t = 40t + 50; 20t = 50; t = 2,5.
Расстояние от A: 60·2,5 = 150 км. Проверка: 40·3,75 = 150.
Ответ: через 2,5 ч, на расстоянии 150 км.
60t = 40t + 50; 20t = 50; t = 2,5.
Расстояние от A: 60·2,5 = 150 км. Проверка: 40·3,75 = 150.
Ответ: через 2,5 ч, на расстоянии 150 км.
775. Из города A в город B одновременно отправляются два автобуса. Скорость одного из них на 10 км/ч больше скорости другого. Через 3 1/2 ч один автобус пришёл в B, а другой находился от B на расстоянии, равном 1/6 расстояния между A и B. Найдите скорости автобусов и расстояние от A до B.
Пусть скорость медленного автобуса v км/ч, быстрого v + 10 км/ч. Быстрый за 3,5 ч прошёл весь путь S = 3,5(v + 10). Медленный прошёл 5/6 пути: 3,5v = 5/6·3,5(v + 10).
v = 5/6(v + 10); 6v = 5v + 50; v = 50.
Скорости 50 км/ч и 60 км/ч; расстояние S = 3,5·60 = 210 км. Проверка: 50·3,5 = 175 = 5/6·210.
Ответ: 60 км/ч, 50 км/ч, 210 км.
v = 5/6(v + 10); 6v = 5v + 50; v = 50.
Скорости 50 км/ч и 60 км/ч; расстояние S = 3,5·60 = 210 км. Проверка: 50·3,5 = 175 = 5/6·210.
Ответ: 60 км/ч, 50 км/ч, 210 км.
776. Из A в B одновременно выехали два мотоциклиста. Скорость одного из них в 1,5 раза больше скорости другого. Мотоциклист, который первым прибыл в B, сразу же отправился обратно. Другого мотоциклиста он встретил через 2 ч 24 мин после выезда из A. Расстояние между A и B равно 120 км. Найдите скорости мотоциклистов и расстояние от места встречи до B.
Пусть скорость медленного мотоциклиста v км/ч, быстрого 1,5v км/ч; 2 ч 24 мин = 2,4 ч. К моменту встречи медленный проехал 2,4v км, быстрый проехал 120 км до B и ещё на обратном пути (120 − 2,4v) км, то есть 1,5v·2,4 = 3,6v км.
3,6v = 120 + (120 − 2,4v); 6v = 240; v = 40.
Скорости 40 км/ч и 60 км/ч. Расстояние от места встречи до B: 120 − 2,4·40 = 24 км.
Ответ: 40 км/ч, 60 км/ч, 24 км.
3,6v = 120 + (120 − 2,4v); 6v = 240; v = 40.
Скорости 40 км/ч и 60 км/ч. Расстояние от места встречи до B: 120 − 2,4·40 = 24 км.
Ответ: 40 км/ч, 60 км/ч, 24 км.
777. За 4 ч катер проходит по течению расстояние, в 2,4 раза большее, чем за 2 ч против течения. Какова скорость катера в стоячей воде, если скорость течения 1,5 км/ч?
Пусть скорость катера в стоячей воде v км/ч. По течению за 4 ч: 4(v + 1,5) км; против течения за 2 ч: 2(v − 1,5) км. По условию 4(v + 1,5) = 2,4·2(v − 1,5).
4v + 6 = 4,8v − 7,2; 13,2 = 0,8v; v = 16,5.
Ответ: 16,5 км/ч.
4v + 6 = 4,8v − 7,2; 13,2 = 0,8v; v = 16,5.
Ответ: 16,5 км/ч.
778. За 6 ч катер проходит по течению на 20 км меньше, чем за 10 ч против течения. Какова скорость течения, если скорость катера в стоячей воде 15 км/ч?
Пусть скорость течения x км/ч. По течению за 6 ч катер проходит 6(15 + x) км, против течения за 10 ч — 10(15 − x) км. По условию 6(15 + x) = 10(15 − x) − 20.
90 + 6x = 130 − 10x; 16x = 40; x = 2,5.
Ответ: 2,5 км/ч.
90 + 6x = 130 − 10x; 16x = 40; x = 2,5.
Ответ: 2,5 км/ч.
779. Кооператив наметил изготовить партию мужских сорочек за 8 дней. Выпуская в день на 10 сорочек больше, чем предполагалось, он выполнил план за один день до срока. Сколько сорочек в день должен был выпускать кооператив?
Пусть по плану выпускали x сорочек в день, тогда всего 8x. Фактически выпускали x + 10 в день в течение 7 дней: 7(x + 10) = 8x.
7x + 70 = 8x; x = 70.
Проверка: 8·70 = 560 = 7·80.
Ответ: 70 сорочек.
7x + 70 = 8x; x = 70.
Проверка: 8·70 = 560 = 7·80.
Ответ: 70 сорочек.