Глава IV. Дополнительные упражнения. К параграфу 8 (окончание). К параграфу 9 — с. 159
764. Если к данному числу приписать справа цифру 9 и к полученному числу прибавить удвоенное данное число, то сумма будет равна 633. Найдите данное число.
Пусть данное число x. Приписав справа цифру 9, получаем 10x + 9. Прибавляем 2x: 10x + 9 + 2x = 633; 12x = 624; x = 52.
Проверка: 529 + 104 = 633.
Ответ: 52.
Проверка: 529 + 104 = 633.
Ответ: 52.
765. К трёхзначному числу слева приписали цифру 5 и из полученного четырёхзначного числа вычли 3032. Получилась разность, которая больше трёхзначного числа в 9 раз. Найдите это трёхзначное число.
Пусть трёхзначное число x. Приписав слева цифру 5, получаем 5000 + x. По условию 5000 + x − 3032 = 9x; 1968 = 8x; x = 246.
Проверка: 5246 − 3032 = 2214 = 9·246.
Ответ: 246.
Проверка: 5246 − 3032 = 2214 = 9·246.
Ответ: 246.
766. Трёхзначное число оканчивается цифрой 7. Если эту цифру переставить на первое место, то число увеличится на 324. Найдите это трёхзначное число.
Пусть m — число, образованное первыми двумя цифрами, тогда исходное число 10m + 7. После перестановки цифры 7 на первое место получаем 700 + m.
700 + m = 10m + 7 + 324; 369 = 9m; m = 41.
Искомое число 417. Проверка: 741 − 417 = 324.
Ответ: 417.
700 + m = 10m + 7 + 324; 369 = 9m; m = 41.
Искомое число 417. Проверка: 741 − 417 = 324.
Ответ: 417.
767. Преобразуйте произведение в многочлен: а) (x^4 + 7x²y² − 5y^4)(−0,2xy²); б) (b^7 − 1/2 b^5 c + 2/3 b³c³ − 2/5 c^5)(−30bc³); в) (1/3 a^5 b − ab + 1/7)(−21a²b²); г) (0,5x^7 y^12 − 6xy − 1)(−1/6 xy).
Умножаем каждый член многочлена на одночлен.
а) x^4·(−0,2xy²) = −0,2x^5y²; 7x²y²·(−0,2xy²) = −1,4x³y^4; −5y^4·(−0,2xy²) = xy^6. Итог: −0,2x^5y² − 1,4x³y^4 + xy^6.
б) b^7·(−30bc³) = −30b^8c³; −1/2 b^5c·(−30bc³) = 15b^6c^4; 2/3 b³c³·(−30bc³) = −20b^4c^6; −2/5 c^5·(−30bc³) = 12bc^8. Итог: −30b^8c³ + 15b^6c^4 − 20b^4c^6 + 12bc^8.
в) 1/3 a^5b·(−21a²b²) = −7a^7b³; −ab·(−21a²b²) = 21a³b³; 1/7·(−21a²b²) = −3a²b². Итог: −7a^7b³ + 21a³b³ − 3a²b².
г) 0,5x^7y^12·(−1/6 xy) = −1/12 x^8y^13; −6xy·(−1/6 xy) = x²y²; −1·(−1/6 xy) = 1/6 xy. Итог: −1/12 x^8y^13 + x²y² + 1/6 xy.
а) x^4·(−0,2xy²) = −0,2x^5y²; 7x²y²·(−0,2xy²) = −1,4x³y^4; −5y^4·(−0,2xy²) = xy^6. Итог: −0,2x^5y² − 1,4x³y^4 + xy^6.
б) b^7·(−30bc³) = −30b^8c³; −1/2 b^5c·(−30bc³) = 15b^6c^4; 2/3 b³c³·(−30bc³) = −20b^4c^6; −2/5 c^5·(−30bc³) = 12bc^8. Итог: −30b^8c³ + 15b^6c^4 − 20b^4c^6 + 12bc^8.
в) 1/3 a^5b·(−21a²b²) = −7a^7b³; −ab·(−21a²b²) = 21a³b³; 1/7·(−21a²b²) = −3a²b². Итог: −7a^7b³ + 21a³b³ − 3a²b².
г) 0,5x^7y^12·(−1/6 xy) = −1/12 x^8y^13; −6xy·(−1/6 xy) = x²y²; −1·(−1/6 xy) = 1/6 xy. Итог: −1/12 x^8y^13 + x²y² + 1/6 xy.
768. Упростите выражение: а) 5(4x² − 2x + 1) − 2(10x² − 6x − 1); б) 7(2y² − 5y − 3) − 4(3y² − 9y − 5); в) a(3b − 1) − b(a − 3) − 2(ab − a + b); г) x²(4 − y²) + y²(x² − 7) − 4x(x − 3).
а) 20x² − 10x + 5 − 20x² + 12x + 2 = 2x + 7.
б) 14y² − 35y − 21 − 12y² + 36y + 20 = 2y² + y − 1.
в) 3ab − a − ab + 3b − 2ab + 2a − 2b = a + b.
г) 4x² − x²y² + x²y² − 7y² − 4x² + 12x = 12x − 7y².
б) 14y² − 35y − 21 − 12y² + 36y + 20 = 2y² + y − 1.
в) 3ab − a − ab + 3b − 2ab + 2a − 2b = a + b.
г) 4x² − x²y² + x²y² − 7y² − 4x² + 12x = 12x − 7y².
769. Докажите, что при любых значениях переменной значение выражения: а) 3(x² − x + 1) − 0,5x(4x − 6) является положительным числом; б) y(2 + y − y³) − 2/3(6 + 3y + 1,5y²) является отрицательным числом.
а) 3x² − 3x + 3 − 2x² + 3x = x² + 3. Так как x² ≥ 0, то x² + 3 ≥ 3 > 0.
б) 2y + y² − y^4 − 4 − 2y − y² = −y^4 − 4. Так как y^4 ≥ 0, то −y^4 − 4 ≤ −4 < 0.
б) 2y + y² − y^4 − 4 − 2y − y² = −y^4 − 4. Так как y^4 ≥ 0, то −y^4 − 4 ≤ −4 < 0.
770. Решите уравнение: а) 5(y + 2/3) − 3 = 4(3y − 1/2); б) 7(2y − 2) − 2(3y − 3,5) = 9; в) 21,5(4x − 1) + 8(12,5 − 9x) = 82; г) 12,5(3x − 1) + 132,4 = (2,8 − 4x)·0,5; д) (3x + 6)/2 − (7x − 14)/3 − (x + 1)/9 = 0; е) (1 − 6x)/2 − (2x + 19)/12 = (23 − 2x)/3.
а) 5y + 10/3 − 3 = 12y − 2; 5y + 1/3 = 12y − 2; 7/3 = 7y; y = 1/3.
б) 14y − 14 − 6y + 7 = 9; 8y − 7 = 9; y = 2.
в) 86x − 21,5 + 100 − 72x = 82; 14x + 78,5 = 82; 14x = 3,5; x = 0,25.
г) 37,5x − 12,5 + 132,4 = 1,4 − 2x; 37,5x + 119,9 = 1,4 − 2x; 39,5x = −118,5; x = −3.
д) Умножим на 18: 9(3x + 6) − 6(7x − 14) − 2(x + 1) = 0; 27x + 54 − 42x + 84 − 2x − 2 = 0; −17x + 136 = 0; x = 8.
е) Умножим на 12: 6(1 − 6x) − (2x + 19) = 4(23 − 2x); 6 − 36x − 2x − 19 = 92 − 8x; −38x − 13 = 92 − 8x; −30x = 105; x = −3,5.
б) 14y − 14 − 6y + 7 = 9; 8y − 7 = 9; y = 2.
в) 86x − 21,5 + 100 − 72x = 82; 14x + 78,5 = 82; 14x = 3,5; x = 0,25.
г) 37,5x − 12,5 + 132,4 = 1,4 − 2x; 37,5x + 119,9 = 1,4 − 2x; 39,5x = −118,5; x = −3.
д) Умножим на 18: 9(3x + 6) − 6(7x − 14) − 2(x + 1) = 0; 27x + 54 − 42x + 84 − 2x − 2 = 0; −17x + 136 = 0; x = 8.
е) Умножим на 12: 6(1 − 6x) − (2x + 19) = 4(23 − 2x); 6 − 36x − 2x − 19 = 92 − 8x; −38x − 13 = 92 − 8x; −30x = 105; x = −3,5.