Глава IV. п.31 Деление с остатком (упражнения). Дополнительные упражнения к главе IV. К параграфу 8 — с. 157
741. Укажите наибольшее число воскресений в году.
В невисокосном году 365 дней = 7·52 + 1, в високосном 366 = 7·52 + 2. Поэтому в году есть 52 полные недели, то есть 52 воскресенья, и ещё один или два дня. Среди этих лишних дней может оказаться воскресенье, и тогда воскресений будет 53. Больше быть не может, так как после 53 воскресений остаётся менее 7 дней.
Ответ: 53.
Ответ: 53.
742. При делении целого числа m на 35 в остатке получили 15. Делится ли число m на 5; на 7?
Запишем m = 35k + 15, где k — целое.
На 5: 35k делится на 5 и 15 делится на 5, поэтому m делится на 5.
На 7: 35k делится на 7, а 15 = 7·2 + 1 не делится на 7. Значит, m при делении на 7 даёт остаток 1 и на 7 не делится.
Ответ: на 5 делится, на 7 не делится.
На 5: 35k делится на 5 и 15 делится на 5, поэтому m делится на 5.
На 7: 35k делится на 7, а 15 = 7·2 + 1 не делится на 7. Значит, m при делении на 7 даёт остаток 1 и на 7 не делится.
Ответ: на 5 делится, на 7 не делится.
743. При делении натурального числа a на натуральное число b в частном получили c и в остатке d. Могут ли все числа a, b, c и d быть нечётными?
Имеем a = bc + d. Если b и c нечётные, то bc нечётно. Если и d нечётно, то сумма bc + d — сумма двух нечётных чисел — чётна, то есть a чётно. Это противоречит предположению, что a нечётно.
Ответ: не могут.
Ответ: не могут.
744. Докажите, что если целые числа a и b при делении на 3 дают разные остатки (не равные нулю), то число ab + 1 делится на 3.
Ненулевые остатки при делении на 3 — это 1 и 2. Так как остатки разные, можно считать a = 3k + 1, b = 3p + 2, где k и p — целые.
ab + 1 = (3k + 1)(3p + 2) + 1 = 9kp + 6k + 3p + 2 + 1 = 9kp + 6k + 3p + 3 = 3(3kp + 2k + p + 1).
Это число делится на 3.
ab + 1 = (3k + 1)(3p + 2) + 1 = 9kp + 6k + 3p + 2 + 1 = 9kp + 6k + 3p + 3 = 3(3kp + 2k + p + 1).
Это число делится на 3.
745. Верно ли, что при любых целых значениях a и b произведение ab(a + b)(a − b) делится на 3?
Верно. Рассмотрим остатки a и b при делении на 3.
Если a или b делится на 3, то на 3 делится множитель a или b, а значит, и всё произведение.
Иначе остатки a и b равны 1 или 2. Если остатки одинаковы, то a − b делится на 3. Если остатки разные (1 и 2), то a + b даёт остаток 1 + 2 = 3, то есть делится на 3.
Во всех случаях один из множителей делится на 3, поэтому произведение делится на 3.
Если a или b делится на 3, то на 3 делится множитель a или b, а значит, и всё произведение.
Иначе остатки a и b равны 1 или 2. Если остатки одинаковы, то a − b делится на 3. Если остатки разные (1 и 2), то a + b даёт остаток 1 + 2 = 3, то есть делится на 3.
Во всех случаях один из множителей делится на 3, поэтому произведение делится на 3.
746. При делении целого числа a на 12 получается остаток 5. Какой остаток получится при делении этого числа на 4?
a = 12k + 5 = 12k + 4 + 1 = 4(3k + 1) + 1. Остаток от деления на 4 равен 1, так как 0 ≤ 1 < 4.
Ответ: 1.
Ответ: 1.
747. Одно из двух целых чисел при делении на 9 даёт остаток 7, а другое даёт остаток 5. Какой остаток получится при делении на 9 их произведения?
Пусть a = 9k + 7, b = 9p + 5. Тогда ab = 81kp + 45k + 63p + 35 = 9(9kp + 5k + 7p + 3) + 8, так как 35 = 27 + 8.
Остаток равен 8 (0 ≤ 8 < 9).
Ответ: 8.
Остаток равен 8 (0 ≤ 8 < 9).
Ответ: 8.
748. Найдите целое число, которое как при делении на 5, так и при делении на 7 даёт остаток 1, причём первое частное на 4 больше второго.
Пусть число равно N, второе частное q, тогда первое q + 4: N = 5(q + 4) + 1 = 7q + 1.
5q + 20 + 1 = 7q + 1; 20 = 2q; q = 10.
N = 7·10 + 1 = 71. Проверка: 71 = 5·14 + 1 (частное 14 = 10 + 4) и 71 = 7·10 + 1.
Ответ: 71.
5q + 20 + 1 = 7q + 1; 20 = 2q; q = 10.
N = 7·10 + 1 = 71. Проверка: 71 = 5·14 + 1 (частное 14 = 10 + 4) и 71 = 7·10 + 1.
Ответ: 71.
749. Докажите, что произведение n(2n + 1)(7n + 1) делится на 6 при любом натуральном n.
Достаточно доказать делимость на 2 и на 3, так как эти числа взаимно просты.
Делимость на 2: если n чётно, то множитель n чётен; если n нечётно, то 7n + 1 чётно (нечётное плюс 1).
Делимость на 3: если n = 3k, то множитель n делится на 3. Если n = 3k + 1, то 2n + 1 = 6k + 3 = 3(2k + 1) делится на 3. Если n = 3k + 2, то 7n + 1 = 21k + 15 = 3(7k + 5) делится на 3.
Значит, произведение делится и на 2, и на 3, а потому на 6.
Делимость на 2: если n чётно, то множитель n чётен; если n нечётно, то 7n + 1 чётно (нечётное плюс 1).
Делимость на 3: если n = 3k, то множитель n делится на 3. Если n = 3k + 1, то 2n + 1 = 6k + 3 = 3(2k + 1) делится на 3. Если n = 3k + 2, то 7n + 1 = 21k + 15 = 3(7k + 5) делится на 3.
Значит, произведение делится и на 2, и на 3, а потому на 6.
750. Найдутся ли такие целые значения x, при которых значение многочлена: а) 2x² + 6x + 3 окажется чётным числом; б) x² + x + 2 окажется нечётным числом?
а) 2x² + 6x = 2(x² + 3x) чётно при любом целом x, а число 3 нечётно, поэтому 2x² + 6x + 3 всегда нечётно. Чётным оно не будет — таких x нет.
б) x² + x = x(x + 1) — произведение двух последовательных целых чисел, одно из которых чётно, поэтому x(x + 1) чётно. Тогда x² + x + 2 чётно при любом целом x. Нечётным оно не будет — таких x нет.
Ответ: а) нет; б) нет.
б) x² + x = x(x + 1) — произведение двух последовательных целых чисел, одно из которых чётно, поэтому x(x + 1) чётно. Тогда x² + x + 2 чётно при любом целом x. Нечётным оно не будет — таких x нет.
Ответ: а) нет; б) нет.
751. Расположите члены многочлена 3ax² − 6a³x + 8a² − x³: а) по возрастающим степеням переменной x; б) по убывающим степеням переменной a.
а) Степени x в членах: 8a² — x⁰, −6a³x — x¹, 3ax² — x², −x³ — x³. По возрастающим степеням x: 8a² − 6a³x + 3ax² − x³.
б) Степени a: −6a³x — a³, 8a² — a², 3ax² — a¹, −x³ — a⁰. По убывающим степеням a: −6a³x + 8a² + 3ax² − x³.
б) Степени a: −6a³x — a³, 8a² — a², 3ax² — a¹, −x³ — a⁰. По убывающим степеням a: −6a³x + 8a² + 3ax² − x³.
752. Представьте в виде многочлена: а) (−2x² + x + 1) − (x² − x + 7) − (4x² + 2x + 8); б) (3a² − a + 2) + (−3a² + 3a − 1) − (a² − 1); в) 2a − 3b + c − (4a + 7b + c + 3); г) 2xy − y² + (y² − xy) − (x² + xy).
а) −2x² + x + 1 − x² + x − 7 − 4x² − 2x − 8 = −7x² − 14.
б) 3a² − a + 2 − 3a² + 3a − 1 − a² + 1 = −a² + 2a + 2.
в) 2a − 3b + c − 4a − 7b − c − 3 = −2a − 10b − 3.
г) 2xy − y² + y² − xy − x² − xy = −x².
б) 3a² − a + 2 − 3a² + 3a − 1 − a² + 1 = −a² + 2a + 2.
в) 2a − 3b + c − 4a − 7b − c − 3 = −2a − 10b − 3.
г) 2xy − y² + y² − xy − x² − xy = −x².
753. Упростите выражение: а) (1 − x + 4x² − 8x³) + (2x³ + x² − 6x − 3) − (5x³ + 8x²); б) (0,5a − 0,6b + 5,5) − (−0,5a + 0,4b) + (1,3b − 4,5).
а) Раскрываем скобки и приводим подобные: 1 − x + 4x² − 8x³ + 2x³ + x² − 6x − 3 − 5x³ − 8x².
x³: −8 + 2 − 5 = −11; x²: 4 + 1 − 8 = −3; x: −1 − 6 = −7; числа: 1 − 3 = −2.
Ответ: −11x³ − 3x² − 7x − 2.
б) 0,5a − 0,6b + 5,5 + 0,5a − 0,4b + 1,3b − 4,5 = a + (−0,6 − 0,4 + 1,3)b + 1 = a + 0,3b + 1.
x³: −8 + 2 − 5 = −11; x²: 4 + 1 − 8 = −3; x: −1 − 6 = −7; числа: 1 − 3 = −2.
Ответ: −11x³ − 3x² − 7x − 2.
б) 0,5a − 0,6b + 5,5 + 0,5a − 0,4b + 1,3b − 4,5 = a + (−0,6 − 0,4 + 1,3)b + 1 = a + 0,3b + 1.