Глава IV. п.31 Деление с остатком (упражнения). Дополнительные упражнения к главе IV. К параграфу 8 — с. 158
754. Докажите, что выражение A + B − C тождественно равно выражению C − B − A, если A = 2x − 1, B = 3x + 1 и C = 5x.
A + B − C = (2x − 1) + (3x + 1) − 5x = 2x − 1 + 3x + 1 − 5x = 0.
C − B − A = 5x − (3x + 1) − (2x − 1) = 5x − 3x − 1 − 2x + 1 = 0.
Оба выражения тождественно равны нулю, следовательно, тождественно равны друг другу.
C − B − A = 5x − (3x + 1) − (2x − 1) = 5x − 3x − 1 − 2x + 1 = 0.
Оба выражения тождественно равны нулю, следовательно, тождественно равны друг другу.
755. Какой многочлен нужно вычесть из многочлена y² − 5y + 1, чтобы разность была тождественно равна: а) 0; б) 5; в) y²; г) 4y² − y + 7?
Вычитаемое равно разности (уменьшаемое) − (разность).
а) (y² − 5y + 1) − 0 = y² − 5y + 1.
б) (y² − 5y + 1) − 5 = y² − 5y − 4.
в) (y² − 5y + 1) − y² = −5y + 1.
г) (y² − 5y + 1) − (4y² − y + 7) = y² − 5y + 1 − 4y² + y − 7 = −3y² − 4y − 6.
а) (y² − 5y + 1) − 0 = y² − 5y + 1.
б) (y² − 5y + 1) − 5 = y² − 5y − 4.
в) (y² − 5y + 1) − y² = −5y + 1.
г) (y² − 5y + 1) − (4y² − y + 7) = y² − 5y + 1 − 4y² + y − 7 = −3y² − 4y − 6.
756. Докажите, что при любом значении x разность многочленов 1 3/4 x^4 − 1/8 x³ − 1 1/4 x² + 2/5 x + 5/7 и 0,75x^4 − 0,125x³ − 2,25x² + 0,4x − 3/7 принимает положительное значение.
Запишем коэффициенты десятичными дробями: 1 3/4 = 1,75; 1/8 = 0,125; 1 1/4 = 1,25; 2/5 = 0,4.
Разность: (1,75 − 0,75)x^4 + (−0,125 + 0,125)x³ + (−1,25 + 2,25)x² + (0,4 − 0,4)x + (5/7 + 3/7) = x^4 + x² + 8/7.
При любом x имеем x^4 ≥ 0 и x² ≥ 0, поэтому x^4 + x² + 8/7 ≥ 8/7 > 0. Разность положительна.
Разность: (1,75 − 0,75)x^4 + (−0,125 + 0,125)x³ + (−1,25 + 2,25)x² + (0,4 − 0,4)x + (5/7 + 3/7) = x^4 + x² + 8/7.
При любом x имеем x^4 ≥ 0 и x² ≥ 0, поэтому x^4 + x² + 8/7 ≥ 8/7 > 0. Разность положительна.
757. Докажите, что при любом значении a сумма многочленов 1,6a^5 − 1 1/3 a^4 − 3,4a³ − a² − 1 и −1 3/5 a^5 − 2/3 a^4 + 3 2/5 a³ принимает отрицательное значение.
Так как 1 3/5 = 1,6 и 3 2/5 = 3,4, складываем: a^5: 1,6 − 1,6 = 0; a^4: −4/3 − 2/3 = −2; a³: −3,4 + 3,4 = 0; остаются −a² − 1.
Сумма равна −2a^4 − a² − 1. Поскольку 2a^4 ≥ 0 и a² ≥ 0, имеем −2a^4 − a² − 1 ≤ −1 < 0 при любом a. Сумма отрицательна.
Сумма равна −2a^4 − a² − 1. Поскольку 2a^4 ≥ 0 и a² ≥ 0, имеем −2a^4 − a² − 1 ≤ −1 < 0 при любом a. Сумма отрицательна.
758. Запись abc (над записью стоит черта) означает число, в котором a сотен, b десятков и c единиц. Это число можно представить в виде многочлена abc = 100a + 10b + c. Например, 845 = 100·8 + 10·4 + 5. Представьте в виде многочлена число: а) xy; б) yx; в) a0b; г) abcd. [во всех числах над записью стоит черта]
а) xy = 10x + y.
б) yx = 10y + x.
в) a0b = 100a + 10·0 + b = 100a + b.
г) abcd = 1000a + 100b + 10c + d.
б) yx = 10y + x.
в) a0b = 100a + 10·0 + b = 100a + b.
г) abcd = 1000a + 100b + 10c + d.
759. Представьте в виде многочлена и упростите получившуюся сумму или разность: а) abc + cba; б) abc + bc; в) abc − ba; г) abc − ac. [над каждой записью числа стоит черта]
а) (100a + 10b + c) + (100c + 10b + a) = 101a + 20b + 101c.
б) (100a + 10b + c) + (10b + c) = 100a + 20b + 2c.
в) (100a + 10b + c) − (10b + a) = 99a + c.
г) (100a + 10b + c) − (10a + c) = 90a + 10b.
б) (100a + 10b + c) + (10b + c) = 100a + 20b + 2c.
в) (100a + 10b + c) − (10b + a) = 99a + c.
г) (100a + 10b + c) − (10a + c) = 90a + 10b.
760. Докажите, что: а) сумма чисел ab и ba кратна сумме a и b; б) разность чисел ab и ba кратна 9. [над записями ab и ba стоит черта]
а) ab + ba = (10a + b) + (10b + a) = 11a + 11b = 11(a + b). Это число кратно a + b (частное 11).
б) ab − ba = (10a + b) − (10b + a) = 9a − 9b = 9(a − b). Число кратно 9.
б) ab − ba = (10a + b) − (10b + a) = 9a − 9b = 9(a − b). Число кратно 9.
761. Решите уравнение: а) (4 − 2x) + (5x − 3) = (x − 2) − (x + 3); б) 5 − 3y − (4 − 2y) = y − 8 − (y − 1); в) 7 − 1 1/2 a + (1/2 a − 5 1/2) = 2a + 3/4 − (1/2 + 1/2 a); г) −3,6 − (1,5x + 1) = −4x − 0,8 − (0,4x − 2).
а) 3x + 1 = −5; 3x = −6; x = −2.
б) 1 − y = −7; y = 8.
в) Слева: 7 − 5,5 − 1,5a + 0,5a = 1,5 − a. Справа: 2a + 0,75 − 0,5 − 0,5a = 1,5a + 0,25. Получаем 1,5 − a = 1,5a + 0,25; 1,25 = 2,5a; a = 0,5.
г) Слева: −4,6 − 1,5x. Справа: −4x − 0,8 − 0,4x + 2 = −4,4x + 1,2. Получаем −4,6 − 1,5x = −4,4x + 1,2; 2,9x = 5,8; x = 2.
Ответ: а) −2; б) 8; в) 0,5; г) 2.
б) 1 − y = −7; y = 8.
в) Слева: 7 − 5,5 − 1,5a + 0,5a = 1,5 − a. Справа: 2a + 0,75 − 0,5 − 0,5a = 1,5a + 0,25. Получаем 1,5 − a = 1,5a + 0,25; 1,25 = 2,5a; a = 0,5.
г) Слева: −4,6 − 1,5x. Справа: −4x − 0,8 − 0,4x + 2 = −4,4x + 1,2. Получаем −4,6 − 1,5x = −4,4x + 1,2; 2,9x = 5,8; x = 2.
Ответ: а) −2; б) 8; в) 0,5; г) 2.
762. Найдите четыре числа, пропорциональные числам 2, 4, 5 и 6, если разность между суммой двух последних и суммой двух первых чисел равна 4,8.
Числа пропорциональны 2, 4, 5, 6, поэтому их можно записать как 2k, 4k, 5k, 6k.
Сумма двух последних 5k + 6k = 11k, двух первых 2k + 4k = 6k. По условию 11k − 6k = 4,8; 5k = 4,8; k = 0,96.
Числа: 1,92; 3,84; 4,8; 5,76.
Сумма двух последних 5k + 6k = 11k, двух первых 2k + 4k = 6k. По условию 11k − 6k = 4,8; 5k = 4,8; k = 0,96.
Числа: 1,92; 3,84; 4,8; 5,76.
763. Если к задуманному числу приписать справа нуль и результат вычесть из числа 143, то получится утроенное задуманное число. Какое число было задумано?
Пусть задумано число x. Приписав справа нуль, получаем 10x. По условию 143 − 10x = 3x; 143 = 13x; x = 11.
Проверка: 143 − 110 = 33 = 3·11.
Ответ: 11.
Проверка: 143 − 110 = 33 = 3·11.
Ответ: 11.