Глава IV. §10. п.30 (упражнения). Упражнения для повторения. Контрольные вопросы и задания — с. 154
732. Представьте в виде произведения: а) ac² − ad + c³ − cd − bc² + bd; б) ax² + ay² − bx² − by² + b − a; в) an² + cn² − ap + ap² − cp + cp²; г) xy² − by² − ax + ab + y² − a.
а) c²(a − b + c) − d(a + c − b) = (a − b + c)(c² − d).
б) a(x² + y² − 1) − b(x² + y² − 1) = (x² + y² − 1)(a − b).
в) n²(a + c) − p(a + c) + p²(a + c) = (a + c)(n² − p + p²).
г) y²(x − b + 1) − a(x − b + 1) = (x − b + 1)(y² − a).
Во всех случаях проверка раскрытием скобок возвращает исходный многочлен.
б) a(x² + y² − 1) − b(x² + y² − 1) = (x² + y² − 1)(a − b).
в) n²(a + c) − p(a + c) + p²(a + c) = (a + c)(n² − p + p²).
г) y²(x − b + 1) − a(x − b + 1) = (x − b + 1)(y² − a).
Во всех случаях проверка раскрытием скобок возвращает исходный многочлен.
733. Разложите на множители многочлен: а) x²y + x + xy² + y + 2xy + 2; б) x² − xy + x − xy² + y³ − y².
а) (x²y + xy² + 2xy) + (x + y + 2) = xy(x + y + 2) + (x + y + 2) = (x + y + 2)(xy + 1).
б) (x² − xy + x) + (−xy² + y³ − y²) = x(x − y + 1) − y²(x − y + 1) = (x − y + 1)(x − y²).
б) (x² − xy + x) + (−xy² + y³ − y²) = x(x − y + 1) − y²(x − y + 1) = (x − y + 1)(x − y²).
734. Разложите на множители трёхчлен: а) x² + 6x + 5; б) x² − x − 6; в) a² − 5a + 4; г) a² − 6a − 16.
Представим средний член в виде суммы двух слагаемых и сгруппируем.
а) x² + x + 5x + 5 = x(x + 1) + 5(x + 1) = (x + 1)(x + 5).
б) x² − 3x + 2x − 6 = x(x − 3) + 2(x − 3) = (x − 3)(x + 2).
в) a² − a − 4a + 4 = a(a − 1) − 4(a − 1) = (a − 1)(a − 4).
г) a² + 2a − 8a − 16 = a(a + 2) − 8(a + 2) = (a + 2)(a − 8).
а) x² + x + 5x + 5 = x(x + 1) + 5(x + 1) = (x + 1)(x + 5).
б) x² − 3x + 2x − 6 = x(x − 3) + 2(x − 3) = (x − 3)(x + 2).
в) a² − a − 4a + 4 = a(a − 1) − 4(a − 1) = (a − 1)(a − 4).
г) a² + 2a − 8a − 16 = a(a + 2) − 8(a + 2) = (a + 2)(a − 8).
735. Число коров в стаде возросло на 60 голов, а в связи с улучшением кормовой базы удой молока от одной коровы возрос в среднем с 12,8 л в день до 15 л. Сколько коров стало в стаде, если ежедневно стали получать на 1340 л молока больше, чем раньше?
Пусть раньше в стаде было x коров, тогда стало x + 60. Раньше получали 12,8x л, теперь 15(x + 60) л, и это на 1340 л больше.
15(x + 60) − 12,8x = 1340; 15x + 900 − 12,8x = 1340; 2,2x = 440; x = 200.
Стало 200 + 60 = 260 коров. Проверка: 15·260 = 3900, 12,8·200 = 2560, 3900 − 2560 = 1340.
Ответ: 260 коров.
15(x + 60) − 12,8x = 1340; 15x + 900 − 12,8x = 1340; 2,2x = 440; x = 200.
Стало 200 + 60 = 260 коров. Проверка: 15·260 = 3900, 12,8·200 = 2560, 3900 − 2560 = 1340.
Ответ: 260 коров.
736. Решите уравнение: а) 4 − x(x + 8) = 11 − x²; б) 4x(3x − 1) − 2x(6x + 8) = 5.
а) 4 − x² − 8x = 11 − x²; −8x = 7; x = −7/8.
б) 12x² − 4x − 12x² − 16x = 5; −20x = 5; x = −1/4.
Ответ: а) −7/8; б) −1/4.
б) 12x² − 4x − 12x² − 16x = 5; −20x = 5; x = −1/4.
Ответ: а) −7/8; б) −1/4.
737. Запишите в виде выражения: а) квадрат разности x и y; б) сумму числа 3 и произведения a и b; в) разность числа 7 и удвоенного произведения a и b.
а) (x − y)².
б) 3 + ab.
в) 7 − 2ab.
б) 3 + ab.
в) 7 − 2ab.
1. Сформулируйте правило умножения многочлена на многочлен.
Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить.
2. Представьте в виде многочлена произведение многочленов x − 2y и xy + 4.
(x − 2y)(xy + 4) = x·xy + 4x − 2y·xy − 8y = x²y + 4x − 2xy² − 8y.
3. На примере многочлена ab − 2b + 5a − 10 объясните, как выполняется разложение многочлена на множители способом группировки.
Группируем члены так, чтобы в каждой группе был общий множитель: ab − 2b + 5a − 10 = (ab − 2b) + (5a − 10).
В первой группе выносим за скобки b, во второй 5: (ab − 2b) + (5a − 10) = b(a − 2) + 5(a − 2).
Теперь у обоих слагаемых есть общий множитель a − 2; выносим его за скобки: b(a − 2) + 5(a − 2) = (a − 2)(b + 5).
Проверка: (a − 2)(b + 5) = ab + 5a − 2b − 10, верно.
В первой группе выносим за скобки b, во второй 5: (ab − 2b) + (5a − 10) = b(a − 2) + 5(a − 2).
Теперь у обоих слагаемых есть общий множитель a − 2; выносим его за скобки: b(a − 2) + 5(a − 2) = (a − 2)(b + 5).
Проверка: (a − 2)(b + 5) = ab + 5a − 2b − 10, верно.