Глава IV. §10. Упражнения для повторения. п.30 Разложение многочлена на множители способом группировки — с. 153
724. Представьте в виде произведения многочленов выражение: а) x(b + c) + 3b + 3c; б) y(a − c) + 5a − 5c; в) p(c − d) + c − d; г) a(p − q) + q − p.
а) x(b + c) + 3(b + c) = (b + c)(x + 3).
б) y(a − c) + 5(a − c) = (a − c)(y + 5).
в) p(c − d) + (c − d) = (c − d)(p + 1).
г) q − p = −(p − q), поэтому a(p − q) − (p − q) = (p − q)(a − 1).
б) y(a − c) + 5(a − c) = (a − c)(y + 5).
в) p(c − d) + (c − d) = (c − d)(p + 1).
г) q − p = −(p − q), поэтому a(p − q) − (p − q) = (p − q)(a − 1).
725. Разложите на множители многочлен: а) mx + my + 6x + 6y; б) 9x + ay + 9y + ax; в) 7a − 7b + an − bn; г) ax + ay − x − y; д) 1 − bx − x + b; е) xy + 2y − 2x − 4.
а) m(x + y) + 6(x + y) = (x + y)(m + 6).
б) 9(x + y) + a(y + x) = (x + y)(9 + a).
в) 7(a − b) + n(a − b) = (a − b)(7 + n).
г) a(x + y) − (x + y) = (x + y)(a − 1).
д) (1 − x) + b(1 − x) = (1 − x)(1 + b).
е) y(x + 2) − 2(x + 2) = (x + 2)(y − 2).
б) 9(x + y) + a(y + x) = (x + y)(9 + a).
в) 7(a − b) + n(a − b) = (a − b)(7 + n).
г) a(x + y) − (x + y) = (x + y)(a − 1).
д) (1 − x) + b(1 − x) = (1 − x)(1 + b).
е) y(x + 2) − 2(x + 2) = (x + 2)(y − 2).
726. Разложите на множители многочлен: а) ab − 8a − bx + 8x; б) ax − b + bx − a; в) ax − by + bx − ay; г) ax − 3bx + ay − 3by.
а) a(b − 8) − x(b − 8) = (b − 8)(a − x).
б) (ax − a) + (bx − b) = a(x − 1) + b(x − 1) = (x − 1)(a + b).
в) (ax + bx) − (by + ay) = x(a + b) − y(a + b) = (a + b)(x − y).
г) x(a − 3b) + y(a − 3b) = (a − 3b)(x + y).
б) (ax − a) + (bx − b) = a(x − 1) + b(x − 1) = (x − 1)(a + b).
в) (ax + bx) − (by + ay) = x(a + b) − y(a + b) = (a + b)(x − y).
г) x(a − 3b) + y(a − 3b) = (a − 3b)(x + y).
727. Разложите на множители многочлен: а) x³ + x² + x + 1; б) y^5 − y³ − y² + 1; в) a^4 + 2a³ − a − 2; г) b^6 − 3b^4 − 2b² + 6; д) a² − ab − 8a + 8b; е) ab − 3b + b² − 3a; ж) 11x − xy + 11y − x²; з) kn − mn − n² + mk.
а) x²(x + 1) + (x + 1) = (x + 1)(x² + 1).
б) y³(y² − 1) − (y² − 1) = (y² − 1)(y³ − 1) = (y − 1)(y + 1)(y³ − 1).
в) a³(a + 2) − (a + 2) = (a + 2)(a³ − 1).
г) b^4(b² − 3) − 2(b² − 3) = (b² − 3)(b^4 − 2).
д) a(a − b) − 8(a − b) = (a − b)(a − 8).
е) (ab − 3a) + (b² − 3b) = a(b − 3) + b(b − 3) = (b − 3)(a + b).
ж) 11(x + y) − x(y + x) = (x + y)(11 − x).
з) (kn − n²) + (mk − mn) = n(k − n) + m(k − n) = (k − n)(n + m).
б) y³(y² − 1) − (y² − 1) = (y² − 1)(y³ − 1) = (y − 1)(y + 1)(y³ − 1).
в) a³(a + 2) − (a + 2) = (a + 2)(a³ − 1).
г) b^4(b² − 3) − 2(b² − 3) = (b² − 3)(b^4 − 2).
д) a(a − b) − 8(a − b) = (a − b)(a − 8).
е) (ab − 3a) + (b² − 3b) = a(b − 3) + b(b − 3) = (b − 3)(a + b).
ж) 11(x + y) − x(y + x) = (x + y)(11 − x).
з) (kn − n²) + (mk − mn) = n(k − n) + m(k − n) = (k − n)(n + m).
728. Представьте в виде произведения многочлен: а) mn − mk + xk − xn; б) x² + 7x − ax − 7a; в) 3m − mk + 3k − k²; г) xk − xy − x² + yk.
а) m(n − k) − x(n − k) = (n − k)(m − x).
б) x(x + 7) − a(x + 7) = (x + 7)(x − a).
в) m(3 − k) + k(3 − k) = (3 − k)(m + k).
г) (xk − x²) + (yk − xy) = x(k − x) + y(k − x) = (k − x)(x + y).
б) x(x + 7) − a(x + 7) = (x + 7)(x − a).
в) m(3 − k) + k(3 − k) = (3 − k)(m + k).
г) (xk − x²) + (yk − xy) = x(k − x) + y(k − x) = (k − x)(x + y).
729. Найдите значение выражения: а) p²q² + pq − q³ − p³ при p = 0,5 и q = −0,5; б) 3x³ − 2y³ − 6x²y² + xy при x = 2/3 и y = 1/2.
а) Здесь p + q = 0, поэтому p³ + q³ = (p + q)(p² − pq + q²) = 0 и выражение равно p²q² + pq = pq(pq + 1). Так как pq = 0,5·(−0,5) = −0,25, получаем −0,25·(−0,25 + 1) = −0,25·0,75 = −0,1875 = −3/16.
б) x³ = 8/27, 3x³ = 8/9; y³ = 1/8, 2y³ = 1/4; x²y² = (4/9)(1/4) = 1/9, 6x²y² = 2/3; xy = 1/3.
8/9 − 1/4 − 2/3 + 1/3 = 8/9 − 1/4 − 1/3 = (32 − 9 − 12)/36 = 11/36.
Ответ: а) −3/16; б) 11/36.
б) x³ = 8/27, 3x³ = 8/9; y³ = 1/8, 2y³ = 1/4; x²y² = (4/9)(1/4) = 1/9, 6x²y² = 2/3; xy = 1/3.
8/9 − 1/4 − 2/3 + 1/3 = 8/9 − 1/4 − 1/3 = (32 − 9 − 12)/36 = 11/36.
Ответ: а) −3/16; б) 11/36.
730. Чему равно значение выражения: а) 2a + ac² − a²c − 2c при a = 1 1/3 и c = −1 2/3; б) x²y − y + xy² − x при x = 4 и y = 0,25?
а) Сгруппируем: (2a − 2c) + (ac² − a²c) = 2(a − c) − ac(a − c) = (a − c)(2 − ac).
a − c = 4/3 + 5/3 = 3; ac = (4/3)(−5/3) = −20/9; 2 − ac = 2 + 20/9 = 38/9.
Значение: 3·38/9 = 38/3 = 12 2/3.
б) (x²y + xy²) − (x + y) = xy(x + y) − (x + y) = (x + y)(xy − 1). При x = 4, y = 0,25 имеем xy = 1, поэтому xy − 1 = 0 и значение равно 0.
Ответ: а) 12 2/3; б) 0.
a − c = 4/3 + 5/3 = 3; ac = (4/3)(−5/3) = −20/9; 2 − ac = 2 + 20/9 = 38/9.
Значение: 3·38/9 = 38/3 = 12 2/3.
б) (x²y + xy²) − (x + y) = xy(x + y) − (x + y) = (x + y)(xy − 1). При x = 4, y = 0,25 имеем xy = 1, поэтому xy − 1 = 0 и значение равно 0.
Ответ: а) 12 2/3; б) 0.
731. Докажите тождество: а) ax − y + x − ay = (x − y)(a + 1); б) ax − 2by + ay − 2bx = (a − 2b)(x + y).
а) Разложим левую часть: (ax + x) − (y + ay) = x(a + 1) − y(1 + a) = (a + 1)(x − y). Получили правую часть.
б) Левая часть: (ax + ay) − (2by + 2bx) = a(x + y) − 2b(y + x) = (x + y)(a − 2b). Получили правую часть.
б) Левая часть: (ax + ay) − (2by + 2bx) = a(x + y) − 2b(y + x) = (x + y)(a − 2b). Получили правую часть.