Глава IV. §10. Произведение многочленов. п.29 Умножение многочлена на многочлен (упражнения) — с. 151
712. Пусть a, b, c и d — четыре последовательных нечётных числа. Докажите, что разность cd − ab кратна 16.
Пусть a — первое из чисел, тогда b = a + 2, c = a + 4, d = a + 6.
cd − ab = (a + 4)(a + 6) − a(a + 2) = a² + 10a + 24 − a² − 2a = 8a + 24 = 8(a + 3).
Число a нечётное, значит, a + 3 чётное, то есть a + 3 = 2k. Тогда cd − ab = 16k, то есть разность кратна 16.
cd − ab = (a + 4)(a + 6) − a(a + 2) = a² + 10a + 24 − a² − 2a = 8a + 24 = 8(a + 3).
Число a нечётное, значит, a + 3 чётное, то есть a + 3 = 2k. Тогда cd − ab = 16k, то есть разность кратна 16.
713. Решите уравнение: а) (3x − 1)(5x + 4) − 15x² = 17; б) (1 − 2x)(1 − 3x) = (6x − 1)x − 1; в) 12 − x(x − 3) = (6 − x)(x + 2); г) (x + 4)(x + 1) = x − (x − 2)(2 − x).
а) 15x² + 12x − 5x − 4 − 15x² = 17; 7x − 4 = 17; 7x = 21; x = 3.
б) 1 − 5x + 6x² = 6x² − x − 1; 1 − 5x = −x − 1; 2 = 4x; x = 0,5.
в) 12 − x² + 3x = 6x + 12 − x² − 2x; 12 + 3x − x² = 12 + 4x − x²; 3x = 4x; x = 0.
г) Слева x² + 5x + 4. Справа: (x − 2)(2 − x) = −(x − 2)² = −x² + 4x − 4, поэтому x − (−x² + 4x − 4) = x² − 3x + 4. Получаем x² + 5x + 4 = x² − 3x + 4; 8x = 0; x = 0.
Ответ: а) 3; б) 0,5; в) 0; г) 0.
б) 1 − 5x + 6x² = 6x² − x − 1; 1 − 5x = −x − 1; 2 = 4x; x = 0,5.
в) 12 − x² + 3x = 6x + 12 − x² − 2x; 12 + 3x − x² = 12 + 4x − x²; 3x = 4x; x = 0.
г) Слева x² + 5x + 4. Справа: (x − 2)(2 − x) = −(x − 2)² = −x² + 4x − 4, поэтому x − (−x² + 4x − 4) = x² − 3x + 4. Получаем x² + 5x + 4 = x² − 3x + 4; 8x = 0; x = 0.
Ответ: а) 3; б) 0,5; в) 0; г) 0.
714. Найдите корень уравнения: а) 5 + x² = (x + 1)(x + 6); б) 2x(x − 8) = (x + 1)(2x − 3); в) (3x − 2)(x + 4) − 3(x + 5)(x − 1) = 0; г) x² + x(6 − 2x) = (x − 1)(2 − x) − 2.
а) 5 + x² = x² + 7x + 6; 5 = 7x + 6; x = −1/7.
б) 2x² − 16x = 2x² − 3x + 2x − 3 = 2x² − x − 3; −16x = −x − 3; −15x = −3; x = 0,2.
в) (3x − 2)(x + 4) = 3x² + 10x − 8; 3(x + 5)(x − 1) = 3(x² + 4x − 5) = 3x² + 12x − 15. Разность: −2x + 7 = 0; x = 3,5.
г) Слева x² + 6x − 2x² = −x² + 6x. Справа (x − 1)(2 − x) − 2 = 2x − x² − 2 + x − 2 = −x² + 3x − 4. Получаем 6x = 3x − 4; 3x = −4; x = −4/3 = −1 1/3.
б) 2x² − 16x = 2x² − 3x + 2x − 3 = 2x² − x − 3; −16x = −x − 3; −15x = −3; x = 0,2.
в) (3x − 2)(x + 4) = 3x² + 10x − 8; 3(x + 5)(x − 1) = 3(x² + 4x − 5) = 3x² + 12x − 15. Разность: −2x + 7 = 0; x = 3,5.
г) Слева x² + 6x − 2x² = −x² + 6x. Справа (x − 1)(2 − x) − 2 = 2x − x² − 2 + x − 2 = −x² + 3x − 4. Получаем 6x = 3x − 4; 3x = −4; x = −4/3 = −1 1/3.
715. Докажите, что: а) при любом натуральном значении n значение выражения n(n + 5) − (n − 3)(n + 2) кратно 6; б) при любом натуральном значении n, большем 2, значение выражения (n − 1)(n + 1) − (n − 7)(n − 5) кратно 12.
а) n(n + 5) − (n − 3)(n + 2) = n² + 5n − (n² − n − 6) = 6n + 6 = 6(n + 1). Кратно 6.
б) (n − 1)(n + 1) − (n − 7)(n − 5) = n² − 1 − (n² − 12n + 35) = 12n − 36 = 12(n − 3). При натуральном n > 2 число n − 3 целое (неотрицательное), поэтому 12(n − 3) кратно 12.
б) (n − 1)(n + 1) − (n − 7)(n − 5) = n² − 1 − (n² − 12n + 35) = 12n − 36 = 12(n − 3). При натуральном n > 2 число n − 3 целое (неотрицательное), поэтому 12(n − 3) кратно 12.
716. Найдите три последовательных натуральных числа, если известно, что квадрат меньшего из них на 65 меньше произведения двух остальных.
Пусть меньшее число n, тогда другие n + 1 и n + 2. Квадрат меньшего n² на 65 меньше произведения: n² + 65 = (n + 1)(n + 2).
n² + 65 = n² + 3n + 2; 3n = 63; n = 21.
Числа 21, 22, 23. Проверка: 21² = 441, 22·23 = 506, 506 − 441 = 65.
Ответ: 21, 22, 23.
n² + 65 = n² + 3n + 2; 3n = 63; n = 21.
Числа 21, 22, 23. Проверка: 21² = 441, 22·23 = 506, 506 − 441 = 65.
Ответ: 21, 22, 23.
717. Три последовательных нечётных числа таковы, что если из произведения двух больших чисел вычесть произведение двух меньших, то получится 76. Найдите эти числа.
Пусть числа x, x + 2, x + 4 (x нечётное). Произведение двух больших (x + 2)(x + 4), двух меньших x(x + 2).
(x + 2)(x + 4) − x(x + 2) = 76; (x + 2)·4 = 76; x + 2 = 19; x = 17.
Числа 17, 19, 21. Проверка: 19·21 − 17·19 = 399 − 323 = 76.
Ответ: 17, 19, 21.
(x + 2)(x + 4) − x(x + 2) = 76; (x + 2)·4 = 76; x + 2 = 19; x = 17.
Числа 17, 19, 21. Проверка: 19·21 − 17·19 = 399 − 323 = 76.
Ответ: 17, 19, 21.
718. Периметр прямоугольника равен 70 см. Если его длину уменьшить на 5 см, а ширину увеличить на 5 см, то площадь увеличится на 50 см². Найдите длину и ширину первоначального прямоугольника.
Пусть длина x см, тогда ширина 35 − x см (полупериметр 70 : 2 = 35). Площадь x(35 − x).
Новые стороны: x − 5 и 40 − x. Новая площадь (x − 5)(40 − x) на 50 больше прежней.
(x − 5)(40 − x) = x(35 − x) + 50;
40x − x² − 200 + 5x = 35x − x² + 50;
45x − 200 = 35x + 50; 10x = 250; x = 25.
Длина 25 см, ширина 35 − 25 = 10 см. Проверка: 25·10 = 250, 20·15 = 300, 300 − 250 = 50.
Ответ: 25 см и 10 см.
Новые стороны: x − 5 и 40 − x. Новая площадь (x − 5)(40 − x) на 50 больше прежней.
(x − 5)(40 − x) = x(35 − x) + 50;
40x − x² − 200 + 5x = 35x − x² + 50;
45x − 200 = 35x + 50; 10x = 250; x = 25.
Длина 25 см, ширина 35 − 25 = 10 см. Проверка: 25·10 = 250, 20·15 = 300, 300 − 250 = 50.
Ответ: 25 см и 10 см.
719. Сторона квадрата на 3 см меньше одной из сторон прямоугольника и на 2 см больше другой его стороны. Найдите сторону квадрата, если известно, что площадь квадрата на 30 см² меньше площади прямоугольника.
Пусть сторона квадрата x см. Стороны прямоугольника x + 3 и x − 2 (квадрат на 2 см больше этой стороны).
Площадь прямоугольника (x + 3)(x − 2), квадрата x², и разность площадей равна 30:
(x + 3)(x − 2) − x² = 30; x² + x − 6 − x² = 30; x = 36.
Проверка: 39·34 = 1326, 36² = 1296, 1326 − 1296 = 30.
Ответ: 36 см.
Площадь прямоугольника (x + 3)(x − 2), квадрата x², и разность площадей равна 30:
(x + 3)(x − 2) − x² = 30; x² + x − 6 − x² = 30; x = 36.
Проверка: 39·34 = 1326, 36² = 1296, 1326 − 1296 = 30.
Ответ: 36 см.
720. Для выполнения планового задания к определённому сроку бригада рабочих должна была изготавливать ежедневно 54 детали. Перевыполняя план на 6 деталей в день, бригада уже за один день до срока не только выполнила плановое задание, но и изготовила 18 деталей сверх плана. Сколько дней работала бригада?
Пусть по плану бригада должна была работать n дней, тогда плановое задание 54n деталей. Фактически изготовляли 54 + 6 = 60 деталей в день и работали n − 1 дней, сделав 60(n − 1) деталей, что на 18 больше плана.
60(n − 1) = 54n + 18; 60n − 60 = 54n + 18; 6n = 78; n = 13.
Бригада работала 13 − 1 = 12 дней. Проверка: 60·12 = 720, 54·13 + 18 = 702 + 18 = 720.
Ответ: 12 дней.
60(n − 1) = 54n + 18; 60n − 60 = 54n + 18; 6n = 78; n = 13.
Бригада работала 13 − 1 = 12 дней. Проверка: 60·12 = 720, 54·13 + 18 = 702 + 18 = 720.
Ответ: 12 дней.
721. Тракторная бригада должна была по плану вспахивать ежедневно 112 га. Перевыполняя план на 8 га в день, бригада уже за день до срока закончила пахоту. Сколько гектаров нужно было вспахать бригаде?
Пусть по плану пахота длилась n дней, тогда нужно было вспахать 112n га. Фактически вспахивали 112 + 8 = 120 га в день в течение n − 1 дней и закончили работу: 120(n − 1) = 112n.
120n − 120 = 112n; 8n = 120; n = 15.
Площадь 112·15 = 1680 га. Проверка: 120·14 = 1680.
Ответ: 1680 га.
120n − 120 = 112n; 8n = 120; n = 15.
Площадь 112·15 = 1680 га. Проверка: 120·14 = 1680.
Ответ: 1680 га.