Глава IV. §10. Произведение многочленов. п.29 Умножение многочлена на многочлен (упражнения) — с. 150
700. Запишите в виде многочлена: а) (c² − cd − d²)(c + d); б) (x − y)(x² − xy − y²); в) (4a² + a + 3)(a − 1); г) (3 − x)(3x² + x − 4).
а) c³ + c²d − c²d − cd² − cd² − d³ = c³ − 2cd² − d³.
б) x³ − x²y − xy² − x²y + xy² + y³ = x³ − 2x²y + y³.
в) 4a³ − 4a² + a² − a + 3a − 3 = 4a³ − 3a² + 2a − 3.
г) 9x² + 3x − 12 − 3x³ − x² + 4x = −3x³ + 8x² + 7x − 12.
б) x³ − x²y − xy² − x²y + xy² + y³ = x³ − 2x²y + y³.
в) 4a³ − 4a² + a² − a + 3a − 3 = 4a³ − 3a² + 2a − 3.
г) 9x² + 3x − 12 − 3x³ − x² + 4x = −3x³ + 8x² + 7x − 12.
701. Представьте в виде многочлена: а) y²(y + 5)(y − 3); б) 2a²(a − 1)(3 − a); в) −3b³(b + 2)(1 − b); г) −0,5c²(2c − 3)(4 − c²).
Сначала перемножаем двучлены, затем умножаем на одночлен.
а) (y + 5)(y − 3) = y² + 2y − 15; y²(y² + 2y − 15) = y^4 + 2y³ − 15y².
б) (a − 1)(3 − a) = 3a − a² − 3 + a = −a² + 4a − 3; 2a²(−a² + 4a − 3) = −2a^4 + 8a³ − 6a².
в) (b + 2)(1 − b) = b − b² + 2 − 2b = −b² − b + 2; −3b³(−b² − b + 2) = 3b^5 + 3b^4 − 6b³.
г) (2c − 3)(4 − c²) = 8c − 2c³ − 12 + 3c² = −2c³ + 3c² + 8c − 12; −0,5c²(−2c³ + 3c² + 8c − 12) = c^5 − 1,5c^4 − 4c³ + 6c².
а) (y + 5)(y − 3) = y² + 2y − 15; y²(y² + 2y − 15) = y^4 + 2y³ − 15y².
б) (a − 1)(3 − a) = 3a − a² − 3 + a = −a² + 4a − 3; 2a²(−a² + 4a − 3) = −2a^4 + 8a³ − 6a².
в) (b + 2)(1 − b) = b − b² + 2 − 2b = −b² − b + 2; −3b³(−b² − b + 2) = 3b^5 + 3b^4 − 6b³.
г) (2c − 3)(4 − c²) = 8c − 2c³ − 12 + 3c² = −2c³ + 3c² + 8c − 12; −0,5c²(−2c³ + 3c² + 8c − 12) = c^5 − 1,5c^4 − 4c³ + 6c².
702. Запишите в виде многочлена выражение: а) (x + 1)(x + 2)(x + 3); б) (a − 1)(a − 4)(a + 5).
а) (x + 1)(x + 2) = x² + 3x + 2; (x² + 3x + 2)(x + 3) = x³ + 3x² + 3x² + 9x + 2x + 6 = x³ + 6x² + 11x + 6.
б) (a − 1)(a − 4) = a² − 5a + 4; (a² − 5a + 4)(a + 5) = a³ + 5a² − 5a² − 25a + 4a + 20 = a³ − 21a + 20.
б) (a − 1)(a − 4) = a² − 5a + 4; (a² − 5a + 4)(a + 5) = a³ + 5a² − 5a² − 25a + 4a + 20 = a³ − 21a + 20.
703. Упростите выражение: а) (3b − 2)(5 − 2b) + 6b²; б) (7y − 4)(2y + 3) − 13y; в) x³ − (x² − 3x)(x + 3); г) 5b³ + (a² + 5b)(ab − b²); д) (a − b)(a + 2) − (a + b)(a − 2); е) (x + y)(x − y) − (x − 1)(x − 2).
а) 15b − 6b² − 10 + 4b + 6b² = 19b − 10.
б) 14y² + 21y − 8y − 12 − 13y = 14y² − 12.
в) x³ − (x³ + 3x² − 3x² − 9x) = x³ − x³ + 9x = 9x.
г) 5b³ + a³b − a²b² + 5ab² − 5b³ = a³b − a²b² + 5ab².
д) (a² + 2a − ab − 2b) − (a² − 2a + ab − 2b) = a² + 2a − ab − 2b − a² + 2a − ab + 2b = 4a − 2ab.
е) x² − y² − (x² − 3x + 2) = x² − y² − x² + 3x − 2 = 3x − y² − 2.
б) 14y² + 21y − 8y − 12 − 13y = 14y² − 12.
в) x³ − (x³ + 3x² − 3x² − 9x) = x³ − x³ + 9x = 9x.
г) 5b³ + a³b − a²b² + 5ab² − 5b³ = a³b − a²b² + 5ab².
д) (a² + 2a − ab − 2b) − (a² − 2a + ab − 2b) = a² + 2a − ab − 2b − a² + 2a − ab + 2b = 4a − 2ab.
е) x² − y² − (x² − 3x + 2) = x² − y² − x² + 3x − 2 = 3x − y² − 2.
704. Верно ли утверждение: а) чтобы найти значение выражения (3a − 2b)(2a − 3b) − 6a(a − b) + 7ab, надо знать только значение переменной a; б) чтобы найти значение выражения (3a − 2b)(2a − 3b) − 6a(a − b) + 7ab, надо знать только значение переменной b; в) значение выражения (3a − 2b)(2a − 3b) − 6a(a − b) + 7ab не зависит от значений переменных?
Упростим выражение:
(3a − 2b)(2a − 3b) − 6a(a − b) + 7ab = 6a² − 9ab − 4ab + 6b² − 6a² + 6ab + 7ab = 6b² + (−9 − 4 + 6 + 7)ab = 6b².
Итак, значение выражения равно 6b² и зависит только от b.
а) Неверно: значение a не нужно.
б) Верно: достаточно знать b.
в) Неверно: значение зависит от b.
(3a − 2b)(2a − 3b) − 6a(a − b) + 7ab = 6a² − 9ab − 4ab + 6b² − 6a² + 6ab + 7ab = 6b² + (−9 − 4 + 6 + 7)ab = 6b².
Итак, значение выражения равно 6b² и зависит только от b.
а) Неверно: значение a не нужно.
б) Верно: достаточно знать b.
в) Неверно: значение зависит от b.
705. Зная, что a = 3x − 1, b = x + 1, c = 2x + 4, d = 6x − 5, представьте в виде многочлена с переменной x выражение ac − bd.
ac = (3x − 1)(2x + 4) = 6x² + 12x − 2x − 4 = 6x² + 10x − 4.
bd = (x + 1)(6x − 5) = 6x² − 5x + 6x − 5 = 6x² + x − 5.
ac − bd = 6x² + 10x − 4 − 6x² − x + 5 = 9x + 1.
Ответ: 9x + 1.
bd = (x + 1)(6x − 5) = 6x² − 5x + 6x − 5 = 6x² + x − 5.
ac − bd = 6x² + 10x − 4 − 6x² − x + 5 = 9x + 1.
Ответ: 9x + 1.
706. Докажите, что при любом значении x: а) значение выражения (x − 3)(x + 7) − (x + 5)(x − 1) равно −16; б) значение выражения x^4 − (x² − 7)(x² + 7) равно 49.
а) (x − 3)(x + 7) = x² + 4x − 21; (x + 5)(x − 1) = x² + 4x − 5. Разность: x² + 4x − 21 − x² − 4x + 5 = −16. Число не зависит от x.
б) (x² − 7)(x² + 7) = x^4 + 7x² − 7x² − 49 = x^4 − 49. Тогда x^4 − (x^4 − 49) = x^4 − x^4 + 49 = 49 при любом x.
б) (x² − 7)(x² + 7) = x^4 + 7x² − 7x² − 49 = x^4 − 49. Тогда x^4 − (x^4 − 49) = x^4 − x^4 + 49 = 49 при любом x.
707. Докажите тождество: а) (c − 8)(c + 3) = c² − 5c − 24; б) m² + 3m − 28 = (m − 4)(m + 7).
Преобразуем произведение в многочлен.
а) (c − 8)(c + 3) = c² + 3c − 8c − 24 = c² − 5c − 24. Левая часть тождественно равна правой.
б) (m − 4)(m + 7) = m² + 7m − 4m − 28 = m² + 3m − 28. Правая часть тождественно равна левой.
а) (c − 8)(c + 3) = c² + 3c − 8c − 24 = c² − 5c − 24. Левая часть тождественно равна правой.
б) (m − 4)(m + 7) = m² + 7m − 4m − 28 = m² + 3m − 28. Правая часть тождественно равна левой.
708. Докажите тождество: а) (x − 3)(x + 7) − 13 = (x + 8)(x − 4) − 2; б) 16 − (a + 3)(a + 2) = 4 − (6 + a)(a − 1).
Преобразуем обе части.
а) Левая: (x − 3)(x + 7) − 13 = x² + 4x − 21 − 13 = x² + 4x − 34. Правая: (x + 8)(x − 4) − 2 = x² + 4x − 32 − 2 = x² + 4x − 34. Части равны одному и тому же многочлену, тождество доказано.
б) Левая: 16 − (a² + 5a + 6) = 10 − 5a − a². Правая: (6 + a)(a − 1) = 6a − 6 + a² − a = a² + 5a − 6; 4 − (a² + 5a − 6) = 10 − 5a − a². Части тождественно равны.
а) Левая: (x − 3)(x + 7) − 13 = x² + 4x − 21 − 13 = x² + 4x − 34. Правая: (x + 8)(x − 4) − 2 = x² + 4x − 32 − 2 = x² + 4x − 34. Части равны одному и тому же многочлену, тождество доказано.
б) Левая: 16 − (a² + 5a + 6) = 10 − 5a − a². Правая: (6 + a)(a − 1) = 6a − 6 + a² − a = a² + 5a − 6; 4 − (a² + 5a − 6) = 10 − 5a − a². Части тождественно равны.
709. Докажите, что значение выражения не зависит от переменной x: а) (x − 5)(x + 8) − (x + 4)(x − 1); б) x^4 − (x² − 1)(x² + 1).
а) (x − 5)(x + 8) = x² + 3x − 40; (x + 4)(x − 1) = x² + 3x − 4. Разность: x² + 3x − 40 − x² − 3x + 4 = −36. Результат не содержит x.
б) (x² − 1)(x² + 1) = x^4 − 1; x^4 − (x^4 − 1) = 1. Результат не содержит x.
б) (x² − 1)(x² + 1) = x^4 − 1; x^4 − (x^4 − 1) = 1. Результат не содержит x.
710. Докажите, что выражение (y − 6)(y + 8) − 2(y − 25) при любом значении y принимает положительное значение.
(y − 6)(y + 8) − 2(y − 25) = y² + 2y − 48 − 2y + 50 = y² + 2.
Так как y² ≥ 0 при любом y, то y² + 2 ≥ 2 > 0. Значит, выражение принимает только положительные значения.
Так как y² ≥ 0 при любом y, то y² + 2 ≥ 2 > 0. Значит, выражение принимает только положительные значения.
711. Докажите, что при всех целых n значение выражения: а) n(n − 1) − (n + 3)(n + 2) делится на 6; б) n(n + 2) − (n − 7)(n − 5) делится на 7.
а) n(n − 1) − (n + 3)(n + 2) = n² − n − (n² + 5n + 6) = −6n − 6 = −6(n + 1). Число −6(n + 1) содержит множитель 6, поэтому делится на 6 при любом целом n.
б) n(n + 2) − (n − 7)(n − 5) = n² + 2n − (n² − 12n + 35) = 14n − 35 = 7(2n − 5). Число 7(2n − 5) делится на 7 при любом целом n.
б) n(n + 2) − (n − 7)(n − 5) = n² + 2n − (n² − 12n + 35) = 14n − 35 = 7(2n − 5). Число 7(2n − 5) делится на 7 при любом целом n.