Глава IV. §9. Упражнения для повторения. Контрольные вопросы и задания — с. 147
692. Запишите в виде выражения: а) произведение разности a и b и их суммы; б) сумму квадратов a и b; в) квадрат суммы a и b; г) разность квадратов b и c; д) куб разности b и c; е) сумму кубов b и c.
а) Разность a и b — это a − b, их сумма — a + b, поэтому получаем (a − b)(a + b).
б) a² + b².
в) Сумма a и b равна a + b, её квадрат — (a + b)².
г) b² − c².
д) Разность b и c равна b − c, куб этой разности — (b − c)³.
е) b³ + c³.
б) a² + b².
в) Сумма a и b равна a + b, её квадрат — (a + b)².
г) b² − c².
д) Разность b и c равна b − c, куб этой разности — (b − c)³.
е) b³ + c³.
1. Сформулируйте правило умножения одночлена на многочлен.
Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить.
Например, 2a(a − 3b) = 2a·a + 2a·(−3b) = 2a² − 6ab.
Например, 2a(a − 3b) = 2a·a + 2a·(−3b) = 2a² − 6ab.
2. Преобразуйте в многочлен произведение: ab и a + 4b; xy и x² + xy + y².
ab(a + 4b) = ab·a + ab·4b = a²b + 4ab².
xy(x² + xy + y²) = xy·x² + xy·xy + xy·y² = x³y + x²y² + xy³.
xy(x² + xy + y²) = xy·x² + xy·xy + xy·y² = x³y + x²y² + xy³.
3. Какое преобразование называют разложением многочлена на множители?
Разложением многочлена на множители называют преобразование, при котором многочлен представляют в виде произведения двух или нескольких многочленов (в частности, одночленов). Например, ax + ay = a(x + y).
4. Объясните, как выполняется разложение многочлена 2xy − 6x² на множители вынесением общего множителя за скобки.
Сначала находим общий множитель всех членов многочлена. Коэффициенты 2 и 6 имеют наибольший общий делитель 2; переменная x входит в оба члена в наименьшей степени 1. Значит, общий множитель равен 2x.
Далее делим каждый член на 2x: 2xy : 2x = y, −6x² : 2x = −3x.
Записываем общий множитель перед скобками, а в скобках — полученные частные: 2xy − 6x² = 2x(y − 3x).
Проверка: 2x(y − 3x) = 2xy − 6x², верно.
Далее делим каждый член на 2x: 2xy : 2x = y, −6x² : 2x = −3x.
Записываем общий множитель перед скобками, а в скобках — полученные частные: 2xy − 6x² = 2x(y − 3x).
Проверка: 2x(y − 3x) = 2xy − 6x², верно.