Глава IV. §9. п.28 Вынесение общего множителя за скобки — с. 146
682. Разложите на множители многочлен: а) x³ − 3x² + x; б) m² − 2m³ − m⁴; в) 4a⁵ − 2a³ + a; г) 6x² − 4x³ + 10x⁴; д) 15a³ − 9a² + 6a; е) −3m² − 6m³ + 12m⁵.
а) x(x² − 3x + 1).
б) m²(1 − 2m − m²).
в) a(4a⁴ − 2a² + 1).
г) 2x²(3 − 2x + 5x²).
д) 3a(5a² − 3a + 2).
е) −3m²(1 + 2m − 4m³).
б) m²(1 − 2m − m²).
в) a(4a⁴ − 2a² + 1).
г) 2x²(3 − 2x + 5x²).
д) 3a(5a² − 3a + 2).
е) −3m²(1 + 2m − 4m³).
683. Представьте в виде произведения: а) c³ − c⁴ + 2c⁵; б) 5m⁴ − m³ + 2m²; в) 4x⁴ + 8x³ − 2x²; г) 5a − 5a² − 10a⁴.
а) c³(1 − c + 2c²).
б) m²(5m² − m + 2).
в) 2x²(2x² + 4x − 1).
г) 5a(1 − a − 2a³).
б) m²(5m² − m + 2).
в) 2x²(2x² + 4x − 1).
г) 5a(1 − a − 2a³).
684. Вынесите за скобки общий множитель: а) 3a³ − 15a²b + 5ab²; б) 20x⁴ − 25x²y² − 10x³; в) −6am² + 9m³ − 12m⁴; г) 12a²b − 18ab² − 30ab³; д) 4ax³ + 8a²x² − 12a³x; е) −3x⁴y² − 6x²y² + 9x²y⁴.
а) a(3a² − 15ab + 5b²).
б) 5x²(4x² − 5y² − 2x).
в) −3m²(2a − 3m + 4m²).
г) 6ab(2a − 3b − 5b²).
д) 4ax(x² + 2ax − 3a²).
е) −3x²y²(x² + 2 − 3y²).
б) 5x²(4x² − 5y² − 2x).
в) −3m²(2a − 3m + 4m²).
г) 6ab(2a − 3b − 5b²).
д) 4ax(x² + 2ax − 3a²).
е) −3x²y²(x² + 2 − 3y²).
685. Разложите на множители многочлен: а) 4c⁴ − 6x²c² + 8c; б) 10a²x − 15a³ − 20a⁴x; в) 3ax − 6ax² − 9a²x; г) 8a⁴b³ − 12a²b⁴ + 16a³b².
а) 2c(2c³ − 3x²c + 4).
б) 5a²(2x − 3a − 4a²x).
в) 3ax(1 − 2x − 3a).
г) 4a²b²(2a²b − 3b² + 4a).
Оговорка: во втором члене пункта а) переменная в условии прочитана как x²c².
б) 5a²(2x − 3a − 4a²x).
в) 3ax(1 − 2x − 3a).
г) 4a²b²(2a²b − 3b² + 4a).
Оговорка: во втором члене пункта а) переменная в условии прочитана как x²c².
686. Укажите общий множитель для всех слагаемых суммы и вынесите его за скобки: а) 2a(x + y) + b(x + y); б) y(a − b) − (a − b); в) (c + 3) − x(c + 3); г) 9(p − 1) + (p − 1)²; д) (a + 3)² − a(a + 3); е) −3b(b − 2) + 7(b − 2)².
а) Общий множитель x + y: (x + y)(2a + b).
б) Общий множитель a − b: (a − b)(y − 1).
в) Общий множитель c + 3: (c + 3)(1 − x).
г) Общий множитель p − 1: (p − 1)(9 + p − 1) = (p − 1)(p + 8).
д) Общий множитель a + 3: (a + 3)(a + 3 − a) = 3(a + 3).
е) Общий множитель b − 2: (b − 2)(−3b + 7(b − 2)) = (b − 2)(4b − 14) = 2(b − 2)(2b − 7).
б) Общий множитель a − b: (a − b)(y − 1).
в) Общий множитель c + 3: (c + 3)(1 − x).
г) Общий множитель p − 1: (p − 1)(9 + p − 1) = (p − 1)(p + 8).
д) Общий множитель a + 3: (a + 3)(a + 3 − a) = 3(a + 3).
е) Общий множитель b − 2: (b − 2)(−3b + 7(b − 2)) = (b − 2)(4b − 14) = 2(b − 2)(2b − 7).
687. Представьте выражение в виде произведения двух многочленов: а) a(b − c) + d(c − b); б) x(y − 5) − y(5 − y); в) 3a(2x − 7) + 5b(7 − 2x); г) (x − y)² − a(y − x); д) 3(a − 2)² − (2 − a); е) 2(3 − b) + 5(b − 3)².
Приводим скобки к одинаковому виду: a − b = −(b − a).
а) a(b − c) − d(b − c) = (b − c)(a − d).
б) x(y − 5) + y(y − 5) = (y − 5)(x + y).
в) 3a(2x − 7) − 5b(2x − 7) = (2x − 7)(3a − 5b).
г) (x − y)² + a(x − y) = (x − y)(x − y + a).
д) 3(a − 2)² + (a − 2) = (a − 2)(3(a − 2) + 1) = (a − 2)(3a − 5).
е) −2(b − 3) + 5(b − 3)² = (b − 3)(−2 + 5(b − 3)) = (b − 3)(5b − 17).
а) a(b − c) − d(b − c) = (b − c)(a − d).
б) x(y − 5) + y(y − 5) = (y − 5)(x + y).
в) 3a(2x − 7) − 5b(2x − 7) = (2x − 7)(3a − 5b).
г) (x − y)² + a(x − y) = (x − y)(x − y + a).
д) 3(a − 2)² + (a − 2) = (a − 2)(3(a − 2) + 1) = (a − 2)(3a − 5).
е) −2(b − 3) + 5(b − 3)² = (b − 3)(−2 + 5(b − 3)) = (b − 3)(5b − 17).
688. Разложите на множители: а) 8m(a − 3) + n(a − 3); б) (p² − 5) − q(p² − 5); в) x(y − 9) + y(9 − y); г) 7(c + 2) + (c + 2)²; д) (a − b)² − 3(b − a); е) −(x + 2y) − 4(x + 2y)².
а) (a − 3)(8m + n).
б) (p² − 5)(1 − q).
в) x(y − 9) − y(y − 9) = (y − 9)(x − y).
г) (c + 2)(7 + c + 2) = (c + 2)(c + 9).
д) (a − b)² + 3(a − b) = (a − b)(a − b + 3).
е) −(x + 2y)(1 + 4(x + 2y)) = −(x + 2y)(4x + 8y + 1).
б) (p² − 5)(1 − q).
в) x(y − 9) − y(y − 9) = (y − 9)(x − y).
г) (c + 2)(7 + c + 2) = (c + 2)(c + 9).
д) (a − b)² + 3(a − b) = (a − b)(a − b + 3).
е) −(x + 2y)(1 + 4(x + 2y)) = −(x + 2y)(4x + 8y + 1).
689. Велосипедист проехал путь AB со скоростью 12 км/ч. Возвращаясь из B в A, он развил скорость 18 км/ч и затратил на обратный путь на 15 мин меньше, чем на путь из A в B. Сколько километров между A и B?
Пусть расстояние между A и B равно x км. Время на путь из A в B — x/12 ч, обратно — x/18 ч. Разница 15 мин = 1/4 ч: x/12 − x/18 = 1/4. Умножим на 36: 3x − 2x = 9; x = 9.
Проверка: 9/12 = 0,75 ч, 9/18 = 0,5 ч, разница 0,25 ч.
Ответ: 9 км.
Проверка: 9/12 = 0,75 ч, 9/18 = 0,5 ч, разница 0,25 ч.
Ответ: 9 км.
690. Решите уравнение: а) (3x − 5)/2 + (8x − 12)/7 = 9; б) (21 − 4x)/9 − (8x + 15)/3 = 2.
а) ×14: 7(3x − 5) + 2(8x − 12) = 126; 21x − 35 + 16x − 24 = 126; 37x = 185; x = 5.
б) ×9: 21 − 4x − 3(8x + 15) = 18; 21 − 4x − 24x − 45 = 18; −28x = 42; x = −1,5.
Ответ: а) 5; б) −1,5.
б) ×9: 21 − 4x − 3(8x + 15) = 18; 21 − 4x − 24x − 45 = 18; −28x = 42; x = −1,5.
Ответ: а) 5; б) −1,5.
691. Известно, что значение выражения a − b при некоторых значениях a и b равно 0,5. Чему равно при тех же a и b значение выражения: а) b − a; б) 1/(b − a); в) (a − b)²; г) (b − a)²; д) (a − b)³; е) (b − a)³?
Выражения b − a и a − b противоположны, поэтому b − a = −0,5.
а) b − a = −0,5.
б) 1/(b − a) = 1 : (−0,5) = −2.
в) (a − b)² = 0,5² = 0,25.
г) (b − a)² = (−0,5)² = 0,25.
д) (a − b)³ = 0,5³ = 0,125.
е) (b − a)³ = (−0,5)³ = −0,125.
а) b − a = −0,5.
б) 1/(b − a) = 1 : (−0,5) = −2.
в) (a − b)² = 0,5² = 0,25.
г) (b − a)² = (−0,5)² = 0,25.
д) (a − b)³ = 0,5³ = 0,125.
е) (b − a)³ = (−0,5)³ = −0,125.