Глава IV. §9. п.28 Вынесение общего множителя за скобки — с. 145
674. Вынесите за скобки общий множитель: а) a² + a; б) x³ − x²; в) c⁵ + c⁷; г) a³ − a⁷; д) 3m² + 9m³; е) 9p³ − 8p; ж) 4c² − 12c⁴; з) 5x⁵ − 15x³; и) −12y⁴ − 16y.
За скобки выносим наименьшую степень переменной.
а) a(a + 1).
б) x²(x − 1).
в) c⁵(1 + c²).
г) a³(1 − a⁴).
д) 3m²(1 + 3m).
е) p(9p² − 8).
ж) 4c²(1 − 3c²).
з) 5x³(x² − 3).
и) −4y(3y³ + 4).
Оговорка: показатель у y в первом члене пункта и) плохо читается на скане, принят равным 4.
а) a(a + 1).
б) x²(x − 1).
в) c⁵(1 + c²).
г) a³(1 − a⁴).
д) 3m²(1 + 3m).
е) p(9p² − 8).
ж) 4c²(1 − 3c²).
з) 5x³(x² − 3).
и) −4y(3y³ + 4).
Оговорка: показатель у y в первом члене пункта и) плохо читается на скане, принят равным 4.
675. Представьте в виде произведения: а) 14x + 21y; б) 15a + 10b; в) 8ab − 6ac; г) 9xa + 9xb; д) 6ab − 3a; е) 4x − 12x²; ж) m⁴ − m²; з) c³ + c⁴; и) 7x − 14x³.
а) 7(2x + 3y).
б) 5(3a + 2b).
в) 2a(4b − 3c).
г) 9x(a + b).
д) 3a(2b − 1).
е) 4x(1 − 3x).
ж) m²(m² − 1).
з) c³(1 + c).
и) 7x(1 − 2x²).
б) 5(3a + 2b).
в) 2a(4b − 3c).
г) 9x(a + b).
д) 3a(2b − 1).
е) 4x(1 − 3x).
ж) m²(m² − 1).
з) c³(1 + c).
и) 7x(1 − 2x²).
676. Найдите значение выражения: а) 3,28x − x² при x = 2,28; б) a²y + a³ при a = −1,5 и y = −8,5; в) ay² − y³ при a = 8,8 и y = −1,2; г) −mb − m² при m = 3,48 и b = 96,52.
Сначала вынесем общий множитель за скобки.
а) 3,28x − x² = x(3,28 − x) = 2,28 · (3,28 − 2,28) = 2,28 · 1 = 2,28.
б) a²y + a³ = a²(y + a) = 2,25 · (−8,5 − 1,5) = 2,25 · (−10) = −22,5.
в) ay² − y³ = y²(a − y) = 1,44 · (8,8 + 1,2) = 1,44 · 10 = 14,4.
г) −mb − m² = −m(b + m) = −3,48 · (96,52 + 3,48) = −3,48 · 100 = −348.
а) 3,28x − x² = x(3,28 − x) = 2,28 · (3,28 − 2,28) = 2,28 · 1 = 2,28.
б) a²y + a³ = a²(y + a) = 2,25 · (−8,5 − 1,5) = 2,25 · (−10) = −22,5.
в) ay² − y³ = y²(a − y) = 1,44 · (8,8 + 1,2) = 1,44 · 10 = 14,4.
г) −mb − m² = −m(b + m) = −3,48 · (96,52 + 3,48) = −3,48 · 100 = −348.
677. Решите уравнение: а) x² + 8x = 0; б) 5x² − x = 0; в) 6y² − 30y = 0; г) 3x² − 1,2x = 0; д) 6x² − 0,5x = 0; е) 1/4 y² + y = 0; ж) x − 10x² = 0; з) 6x − 0,2x² = 0; и) y² + 2/3 y = 0.
Выносим общий множитель за скобки; произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
а) x(x + 8) = 0; x = 0 или x = −8.
б) x(5x − 1) = 0; x = 0 или x = 0,2.
в) 6y(y − 5) = 0; y = 0 или y = 5.
г) 3x(x − 0,4) = 0; x = 0 или x = 0,4.
д) x(6x − 0,5) = 0; x = 0 или x = 1/12.
е) y(1/4 y + 1) = 0; y = 0 или y = −4.
ж) x(1 − 10x) = 0; x = 0 или x = 0,1.
з) x(6 − 0,2x) = 0; x = 0 или x = 30.
и) y(y + 2/3) = 0; y = 0 или y = −2/3.
а) x(x + 8) = 0; x = 0 или x = −8.
б) x(5x − 1) = 0; x = 0 или x = 0,2.
в) 6y(y − 5) = 0; y = 0 или y = 5.
г) 3x(x − 0,4) = 0; x = 0 или x = 0,4.
д) x(6x − 0,5) = 0; x = 0 или x = 1/12.
е) y(1/4 y + 1) = 0; y = 0 или y = −4.
ж) x(1 − 10x) = 0; x = 0 или x = 0,1.
з) x(6 − 0,2x) = 0; x = 0 или x = 30.
и) y(y + 2/3) = 0; y = 0 или y = −2/3.
678. Найдите корни уравнения: а) 5x² + 3x = 0; б) x² − 11x = 0; в) 6x² − 3,6x = 0; г) 0,3x² − 3x = 0; д) 5x² − 0,8x = 0; е) 7x² − 0,28x = 0.
а) x(5x + 3) = 0; x = 0 или x = −0,6.
б) x(x − 11) = 0; x = 0 или x = 11.
в) x(6x − 3,6) = 0; x = 0 или x = 0,6.
г) 0,3x(x − 10) = 0; x = 0 или x = 10.
д) x(5x − 0,8) = 0; x = 0 или x = 0,16.
е) x(7x − 0,28) = 0; x = 0 или x = 0,04.
б) x(x − 11) = 0; x = 0 или x = 11.
в) x(6x − 3,6) = 0; x = 0 или x = 0,6.
г) 0,3x(x − 10) = 0; x = 0 или x = 10.
д) x(5x − 0,8) = 0; x = 0 или x = 0,16.
е) x(7x − 0,28) = 0; x = 0 или x = 0,04.
679. (Для работы в парах.) Докажите, что значение выражения: а) 16⁵ + 16⁴ кратно 17; б) 38⁹ − 38⁸ кратно 37; в) 36⁵ − 6⁹ кратно 30; г) 5¹⁸ − 25⁸ кратно 120.
1. Распределите, кто выполняет задания а), в), а кто — задания б), г), и выполните их.
2. Проверьте друг у друга правильность выполнения заданий.
3. Предложите друг другу составить задание, аналогичное заданию б).
1) а) 16⁵ + 16⁴ = 16⁴(16 + 1) = 16⁴ · 17, кратно 17.
б) 38⁹ − 38⁸ = 38⁸(38 − 1) = 38⁸ · 37, кратно 37.
в) 36⁵ = 6¹⁰, поэтому 36⁵ − 6⁹ = 6⁹(6 − 1) = 6⁹ · 5 = 6⁸ · 6 · 5 = 6⁸ · 30, кратно 30.
г) 25⁸ = 5¹⁶, поэтому 5¹⁸ − 25⁸ = 5¹⁶(25 − 1) = 5¹⁶ · 24 = 5¹⁵ · 5 · 24 = 5¹⁵ · 120, кратно 120.
2) Проверка состоит в раскрытии скобок: выражение с вынесенным множителем равно исходному.
3) Аналогичное задание: доказать, что 25⁷ − 25⁶ кратно 24. Решение: 25⁷ − 25⁶ = 25⁶(25 − 1) = 25⁶ · 24.
б) 38⁹ − 38⁸ = 38⁸(38 − 1) = 38⁸ · 37, кратно 37.
в) 36⁵ = 6¹⁰, поэтому 36⁵ − 6⁹ = 6⁹(6 − 1) = 6⁹ · 5 = 6⁸ · 6 · 5 = 6⁸ · 30, кратно 30.
г) 25⁸ = 5¹⁶, поэтому 5¹⁸ − 25⁸ = 5¹⁶(25 − 1) = 5¹⁶ · 24 = 5¹⁵ · 5 · 24 = 5¹⁵ · 120, кратно 120.
2) Проверка состоит в раскрытии скобок: выражение с вынесенным множителем равно исходному.
3) Аналогичное задание: доказать, что 25⁷ − 25⁶ кратно 24. Решение: 25⁷ − 25⁶ = 25⁶(25 − 1) = 25⁶ · 24.
680. Разложите на множители: а) x⁵ + x⁴ − x³; б) y⁷ − y⁵ − y²; в) a⁴ + a⁵ − a⁸; г) −b¹⁰ − b¹⁵ − b²⁰.
За скобки выносим наименьшую степень переменной.
а) x³(x² + x − 1).
б) y²(y⁵ − y³ − 1).
в) a⁴(1 + a − a⁴).
г) −b¹⁰(1 + b⁵ + b¹⁰).
а) x³(x² + x − 1).
б) y²(y⁵ − y³ − 1).
в) a⁴(1 + a − a⁴).
г) −b¹⁰(1 + b⁵ + b¹⁰).
681. (Для работы в парах.) Докажите, что: а) 7⁸ − 7⁷ + 7⁶ делится на 43; б) 2¹³ − 2¹⁰ − 2⁹ делится на 13; в) 27⁴ − 9⁵ + 3⁹ делится на 25; г) 16⁴ − 2¹³ − 4⁵ делится на 110.
1. Распределите, кто выполняет задания а), в), а кто — задания б), г), и выполните их.
2. Проверьте друг у друга правильность выполнения заданий и исправьте ошибки, если они допущены.
3. Обсудите, какие свойства делимости использованы при выполнении задания.
1) а) 7⁸ − 7⁷ + 7⁶ = 7⁶(49 − 7 + 1) = 7⁶ · 43.
б) 2¹³ − 2¹⁰ − 2⁹ = 2⁹(16 − 2 − 1) = 2⁹ · 13.
в) 27⁴ = 3¹², 9⁵ = 3¹⁰, поэтому 27⁴ − 9⁵ + 3⁹ = 3⁹(27 − 3 + 1) = 3⁹ · 25.
г) 16⁴ = 2¹⁶, 4⁵ = 2¹⁰, поэтому 16⁴ − 2¹³ − 4⁵ = 2¹⁰(64 − 8 − 1) = 2¹⁰ · 55 = 2⁹ · 110.
2) Проверка: в каждом случае множитель в скобках вычислен верно.
3) Использовано свойство: если хотя бы один из множителей произведения делится на число, то и всё произведение делится на это число.
б) 2¹³ − 2¹⁰ − 2⁹ = 2⁹(16 − 2 − 1) = 2⁹ · 13.
в) 27⁴ = 3¹², 9⁵ = 3¹⁰, поэтому 27⁴ − 9⁵ + 3⁹ = 3⁹(27 − 3 + 1) = 3⁹ · 25.
г) 16⁴ = 2¹⁶, 4⁵ = 2¹⁰, поэтому 16⁴ − 2¹³ − 4⁵ = 2¹⁰(64 − 8 − 1) = 2¹⁰ · 55 = 2⁹ · 110.
2) Проверка: в каждом случае множитель в скобках вычислен верно.
3) Использовано свойство: если хотя бы один из множителей произведения делится на число, то и всё произведение делится на это число.