Глава IV. §9. п.27 Умножение одночлена на многочлен (окончание), упражнения для повторения — с. 142
664. В 190 г водного раствора соли добавили 10 г соли. В результате концентрация раствора повысилась на 4,5%. Сколько соли было в растворе первоначально?
Пусть вначале в растворе было x г соли. Концентрация сначала x/190, после добавления соли масса раствора 200 г, соли x + 10 г, концентрация (x + 10)/200. Концентрация выросла на 4,5% = 0,045:
(x + 10)/200 − x/190 = 0,045. Умножим на 3800: 19(x + 10) − 20x = 171; 190 − x = 171; x = 19.
Проверка: 19/190 = 10%; 29/200 = 14,5%; разница 4,5%.
Ответ: 19 г.
(x + 10)/200 − x/190 = 0,045. Умножим на 3800: 19(x + 10) − 20x = 171; 190 − x = 171; x = 19.
Проверка: 19/190 = 10%; 29/200 = 14,5%; разница 4,5%.
Ответ: 19 г.
665. В сплав олова и меди массой 16 кг добавили 2 кг олова. После этого содержание олова в сплаве повысилось на 5%. Сколько олова было в сплаве первоначально?
Пусть вначале олова было x кг. Доля олова x/16; после добавления масса сплава 18 кг, олова x + 2 кг, доля (x + 2)/18. Доля выросла на 5% = 0,05:
(x + 2)/18 − x/16 = 0,05. Умножим на 144: 8(x + 2) − 9x = 7,2; 16 − x = 7,2; x = 8,8.
Проверка: 8,8/16 = 55%; 10,8/18 = 60%.
Ответ: 8,8 кг.
(x + 2)/18 − x/16 = 0,05. Умножим на 144: 8(x + 2) − 9x = 7,2; 16 − x = 7,2; x = 8,8.
Проверка: 8,8/16 = 55%; 10,8/18 = 60%.
Ответ: 8,8 кг.
666. Найдите координаты точки пересечения графиков линейных функций: а) y = 5x + 29 и y = −3x − 11; б) y = 1,2x и y = 1,8x + 9,3.
В точке пересечения значения функций равны.
а) 5x + 29 = −3x − 11; 8x = −40; x = −5; y = 5 · (−5) + 29 = 4. Точка (−5; 4).
б) 1,2x = 1,8x + 9,3; −0,6x = 9,3; x = −15,5; y = 1,2 · (−15,5) = −18,6. Точка (−15,5; −18,6).
а) 5x + 29 = −3x − 11; 8x = −40; x = −5; y = 5 · (−5) + 29 = 4. Точка (−5; 4).
б) 1,2x = 1,8x + 9,3; −0,6x = 9,3; x = −15,5; y = 1,2 · (−15,5) = −18,6. Точка (−15,5; −18,6).
667. В каких координатных четвертях расположен график функции: а) y = −28x; б) y = −28x + 4; в) y = 0,05x; г) y = 0,05x − 2,5?
а) Прямая y = −28x проходит через начало координат, k < 0 — функция убывает: II и IV четверти.
б) y = −28x + 4 убывает, пересекает ось y в точке (0; 4) и ось x в точке (1/7; 0), где 1/7 > 0: проходит через I, II и IV четверти.
в) y = 0,05x проходит через начало координат, k > 0: I и III четверти.
г) y = 0,05x − 2,5 возрастает, пересекает ось y в точке (0; −2,5) и ось x в точке (50; 0): проходит через I, III и IV четверти.
б) y = −28x + 4 убывает, пересекает ось y в точке (0; 4) и ось x в точке (1/7; 0), где 1/7 > 0: проходит через I, II и IV четверти.
в) y = 0,05x проходит через начало координат, k > 0: I и III четверти.
г) y = 0,05x − 2,5 возрастает, пересекает ось y в точке (0; −2,5) и ось x в точке (50; 0): проходит через I, III и IV четверти.
668. Решите графически уравнение x² = 6 − x.
Построим в одной системе координат графики функций y = x² и y = 6 − x. Абсциссы точек пересечения графиков — решения уравнения.
Парабола y = x²: точки (0; 0), (±1; 1), (±2; 4), (±3; 9).
Прямая y = 6 − x: точки (0; 6) и (6; 0), или (2; 4) и (−3; 9).
Графики пересекаются в двух точках: (−3; 9) и (2; 4). Их абсциссы −3 и 2.
Проверка: (−3)² = 9 и 6 − (−3) = 9; 2² = 4 и 6 − 2 = 4.
Ответ: −3; 2.
Парабола y = x²: точки (0; 0), (±1; 1), (±2; 4), (±3; 9).
Прямая y = 6 − x: точки (0; 6) и (6; 0), или (2; 4) и (−3; 9).
Графики пересекаются в двух точках: (−3; 9) и (2; 4). Их абсциссы −3 и 2.
Проверка: (−3)² = 9 и 6 − (−3) = 9; 2² = 4 и 6 − 2 = 4.
Ответ: −3; 2.
669. Упростите выражение: а) (1/3 a⁵y³)² · (−ay)³; б) −0,1a⁴b⁷ · (−30a²b)².
а) (1/3 a⁵y³)² = 1/9 a¹⁰y⁶; (−ay)³ = −a³y³. Произведение: −1/9 a¹³y⁹.
б) (−30a²b)² = 900a⁴b². Тогда −0,1a⁴b⁷ · 900a⁴b² = −90a⁸b⁹.
б) (−30a²b)² = 900a⁴b². Тогда −0,1a⁴b⁷ · 900a⁴b² = −90a⁸b⁹.