Глава IV. §9. п.27 Умножение одночлена на многочлен — с. 141
654. Решите уравнение: а) (6y + 7)/4 + (8 − 5y)/3 = 5; б) (5a − 1)/3 = (2a − 3)/5 − 1; в) (11x − 4)/7 − (x − 9)/2 = 5; г) (2c − 1)/9 + c/4 = (c + 3)/6; д) (3p − 1)/24 − (2p + 6)/36 − 1 = 0; е) 5 − (1 − 2x)/4 = (3x + 20)/6 + x/3.
а) ×12: 3(6y + 7) + 4(8 − 5y) = 60; 53 − 2y = 60; y = −3,5.
б) ×15: 5(5a − 1) = 3(2a − 3) − 15; 25a − 5 = 6a − 24; 19a = −19; a = −1.
в) ×14: 2(11x − 4) − 7(x − 9) = 70; 15x + 55 = 70; x = 1.
г) ×36: 4(2c − 1) + 9c = 6(c + 3); 17c − 4 = 6c + 18; 11c = 22; c = 2.
д) ×72: 3(3p − 1) − 2(2p + 6) − 72 = 0; 5p − 87 = 0; p = 17,4.
е) ×12: 60 − 3(1 − 2x) = 2(3x + 20) + 4x; 57 + 6x = 10x + 40; 4x = 17; x = 4,25.
Ответ: а) −3,5; б) −1; в) 1; г) 2; д) 17,4; е) 4 1/4.
б) ×15: 5(5a − 1) = 3(2a − 3) − 15; 25a − 5 = 6a − 24; 19a = −19; a = −1.
в) ×14: 2(11x − 4) − 7(x − 9) = 70; 15x + 55 = 70; x = 1.
г) ×36: 4(2c − 1) + 9c = 6(c + 3); 17c − 4 = 6c + 18; 11c = 22; c = 2.
д) ×72: 3(3p − 1) − 2(2p + 6) − 72 = 0; 5p − 87 = 0; p = 17,4.
е) ×12: 60 − 3(1 − 2x) = 2(3x + 20) + 4x; 57 + 6x = 10x + 40; 4x = 17; x = 4,25.
Ответ: а) −3,5; б) −1; в) 1; г) 2; д) 17,4; е) 4 1/4.
655. Периметр треугольника 44 см. Одна из его сторон на 4 см меньше другой и в 2 раза больше третьей стороны. Найдите стороны треугольника.
Пусть третья сторона равна x см, тогда первая (в 2 раза больше третьей) — 2x см, а вторая (на 4 см больше первой) — (2x + 4) см. Периметр 44 см:
x + 2x + 2x + 4 = 44; 5x = 40; x = 8.
Стороны: 8 см, 16 см, 20 см. Проверка: 8 + 16 + 20 = 44; 8 + 16 > 20, треугольник существует.
Ответ: 8 см, 16 см, 20 см.
x + 2x + 2x + 4 = 44; 5x = 40; x = 8.
Стороны: 8 см, 16 см, 20 см. Проверка: 8 + 16 + 20 = 44; 8 + 16 > 20, треугольник существует.
Ответ: 8 см, 16 см, 20 см.
656. Фирма арендует три помещения общей площадью 166 м². Площадь одного из них в полтора раза больше площади другого и на 6 м² меньше площади третьего. Найдите площадь каждого помещения.
Пусть площадь второго помещения x м², тогда первого 1,5x м², а третьего (1,5x + 6) м². Всего 166 м²:
x + 1,5x + 1,5x + 6 = 166; 4x = 160; x = 40.
Площади: 40 м², 1,5 · 40 = 60 м², 60 + 6 = 66 м².
Ответ: 40 м², 60 м², 66 м².
x + 1,5x + 1,5x + 6 = 166; 4x = 160; x = 40.
Площади: 40 м², 1,5 · 40 = 60 м², 60 + 6 = 66 м².
Ответ: 40 м², 60 м², 66 м².
657. Старинная задача. Трое выиграли некоторую сумму денег. На долю первого пришлось 1/4 этой суммы, на долю второго — 1/7, а на долю третьего — 17 флоринов. Как велик весь выигрыш?
Пусть весь выигрыш x флоринов. Тогда x/4 + x/7 + 17 = x. Умножим на 28: 7x + 4x + 476 = 28x; 17x = 476; x = 28.
Проверка: 7 + 4 + 17 = 28.
Ответ: 28 флоринов.
Проверка: 7 + 4 + 17 = 28.
Ответ: 28 флоринов.
658. В первом сарае было сложено сена в 3 раза больше, чем во втором. После того как из первого сарая взяли 2 т, а во второй добавили 2 т сена, во втором сарае оказалось 5/7 того, что осталось в первом сарае. Сколько тонн сена было в каждом сарае?
Пусть во втором сарае было x т, тогда в первом 3x т. После перемещений в первом стало (3x − 2) т, во втором (x + 2) т. По условию x + 2 = 5/7 (3x − 2). Умножим на 7: 7x + 14 = 15x − 10; 24 = 8x; x = 3.
Во втором было 3 т, в первом 9 т. Проверка: во втором стало 5 т, в первом 7 т, 5 = 5/7 · 7.
Ответ: 9 т и 3 т.
Во втором было 3 т, в первом 9 т. Проверка: во втором стало 5 т, в первом 7 т, 5 = 5/7 · 7.
Ответ: 9 т и 3 т.
659. Скашивая ежедневно по 60 га вместо 50 га, бригада сумела скосить луг на один день быстрее, чем планировалось. Какова площадь луга?
Пусть площадь луга x га. При 50 га в день работа заняла бы x/50 дней, при 60 га в день — x/60 дней. По условию x/50 − x/60 = 1. Умножим на 300: 6x − 5x = 300; x = 300.
Ответ: 300 га.
Ответ: 300 га.
660. Увеличив среднюю скорость с 250 до 300 м/мин, спортсменка стала пробегать дистанцию на 1 мин быстрее. Какова длина дистанции?
Пусть длина дистанции x м. Время при скорости 250 м/мин равно x/250 мин, при 300 м/мин — x/300 мин. По условию x/250 − x/300 = 1. Умножим на 1500: 6x − 5x = 1500; x = 1500.
Ответ: 1500 м.
Ответ: 1500 м.
661. От турбазы до привала туристы шли со скоростью 4,5 км/ч, а возвращались на турбазу со скоростью 4 км/ч, затратив на обратный путь на 15 мин больше. На каком расстоянии от турбазы был сделан привал?
Пусть расстояние x км. Время туда x/4,5 ч, обратно x/4 ч. Разница 15 мин = 1/4 ч, поэтому x/4 − x/4,5 = 1/4. Умножим на 36: 9x − 8x = 9; x = 9.
Проверка: 9/4 − 9/4,5 = 2,25 − 2 = 0,25 ч.
Ответ: 9 км.
Проверка: 9/4 − 9/4,5 = 2,25 − 2 = 0,25 ч.
Ответ: 9 км.
662. Из пункта A выехал велосипедист. Одновременно вслед за ним из пункта B, отстоящего от пункта A на расстояние 60 км, выехал мотоциклист. Велосипедист ехал со скоростью 12 км/ч, а мотоциклист — со скоростью 30 км/ч. На каком расстоянии от пункта A мотоциклист догонит велосипедиста?
Мотоциклист едет вслед за велосипедистом, поэтому пункт B расположен позади A на расстоянии 60 км, и мотоциклисту нужно сначала проехать эти 60 км. Пусть мотоциклист догонит велосипедиста на расстоянии x км от A. Велосипедист до встречи проедет x км за x/12 ч, мотоциклист — (x + 60) км за (x + 60)/30 ч. Время одинаково: x/12 = (x + 60)/30. Умножим на 60: 5x = 2(x + 60); 3x = 120; x = 40.
Проверка: 40/12 = 10/3 ч и 100/30 = 10/3 ч.
Ответ: 40 км.
Оговорка: расположение пункта B (позади A, на пути мотоциклиста вслед за велосипедистом) принято из смысла условия «вслед за ним».
Проверка: 40/12 = 10/3 ч и 100/30 = 10/3 ч.
Ответ: 40 км.
Оговорка: расположение пункта B (позади A, на пути мотоциклиста вслед за велосипедистом) принято из смысла условия «вслед за ним».
663. Из пункта A вышла грузовая машина со скоростью 60 км/ч. Через 2 ч вслед за ней из пункта A вышла легковая машина со скоростью 90 км/ч. На каком расстоянии от пункта A легковая машина догонит грузовую?
Пусть встреча произойдёт на расстоянии x км от A. Грузовая будет в пути x/60 ч, легковая — x/90 ч, причём грузовая вышла на 2 ч раньше: x/60 − x/90 = 2. Умножим на 180: 3x − 2x = 360; x = 360.
Проверка: 360/60 = 6 ч, 360/90 = 4 ч, разница 2 ч.
Ответ: 360 км.
Проверка: 360/60 = 6 ч, 360/90 = 4 ч, разница 2 ч.
Ответ: 360 км.