Глава IV. §9. п.27 Умножение одночлена на многочлен — с. 139
636. Упростите выражение: а) 14y + 2y(6 − y); б) 3y² − 2y(5 + 2y); в) 4x(x − 1) − 2(2x² − 1); г) 5a(a² − 3a) − 3a(a² − 5a); д) 7b(4c − b) + 4c(c − 7b); е) −2y(x³ − 2y) − (x³y + 4y²); ж) 3m²(m + 5n) − 2n(8m² − n); з) 6m²n³ − n²(6m²n + n − 1).
а) 14y + 12y − 2y² = 26y − 2y².
б) 3y² − 10y − 4y² = −y² − 10y.
в) 4x² − 4x − 4x² + 2 = 2 − 4x.
г) 5a³ − 15a² − 3a³ + 15a² = 2a³.
д) 28bc − 7b² + 4c² − 28bc = 4c² − 7b².
е) −2x³y + 4y² − x³y − 4y² = −3x³y.
ж) 3m³ + 15m²n − 16m²n + 2n² = 3m³ − m²n + 2n².
з) 6m²n³ − 6m²n³ − n³ + n² = n² − n³.
б) 3y² − 10y − 4y² = −y² − 10y.
в) 4x² − 4x − 4x² + 2 = 2 − 4x.
г) 5a³ − 15a² − 3a³ + 15a² = 2a³.
д) 28bc − 7b² + 4c² − 28bc = 4c² − 7b².
е) −2x³y + 4y² − x³y − 4y² = −3x³y.
ж) 3m³ + 15m²n − 16m²n + 2n² = 3m³ − m²n + 2n².
з) 6m²n³ − 6m²n³ − n³ + n² = n² − n³.
637. Представьте в виде многочлена: а) 6x(x − 3) − x(2 − x); б) −a²(3a − 5) + 4a(a² − a); в) ax(2x − 3a) − x(ax + 5a²); г) −4m²(n² − m²) + 3n²(m² − n²).
а) 6x² − 18x − 2x + x² = 7x² − 20x.
б) −3a³ + 5a² + 4a³ − 4a² = a³ + a².
в) 2ax² − 3a²x − ax² − 5a²x = ax² − 8a²x.
г) −4m²n² + 4m⁴ + 3m²n² − 3n⁴ = 4m⁴ − m²n² − 3n⁴.
б) −3a³ + 5a² + 4a³ − 4a² = a³ + a².
в) 2ax² − 3a²x − ax² − 5a²x = ax² − 8a²x.
г) −4m²n² + 4m⁴ + 3m²n² − 3n⁴ = 4m⁴ − m²n² − 3n⁴.
638. Найдите значение выражения: а) −2x(x² − x + 3) + x(2x² + x − 5) при x = 3; −3; б) x(x − y) − y(y² − x) при x = 4 и y = 2.
а) Упростим: −2x³ + 2x² − 6x + 2x³ + x² − 5x = 3x² − 11x. При x = 3: 27 − 33 = −6. При x = −3: 27 + 33 = 60.
б) Упростим: x² − xy − y³ + xy = x² − y³. При x = 4, y = 2: 16 − 8 = 8.
Ответ: а) −6; 60; б) 8.
б) Упростим: x² − xy − y³ + xy = x² − y³. При x = 4, y = 2: 16 − 8 = 8.
Ответ: а) −6; 60; б) 8.
639. Вычислите значение выражения: а) 5x(2x − 6) − 2,5x(4x − 2) при x = −8; 10; б) 5a(a − 4b) − 4b(b − 5a) при a = −0,6 и b = −0,5.
а) Упростим: 10x² − 30x − 10x² + 5x = −25x. При x = −8:
200. При x = 10: −250.
б) Упростим: 5a² − 20ab − 4b² + 20ab = 5a² − 4b². При a = −0,6, b = −0,5: 5 · 0,36 − 4 · 0,25 = 1,8 − 1 = 0,8.
Ответ: а) 200; −250; б) 0,8.
б) Упростим: 5a² − 20ab − 4b² + 20ab = 5a² − 4b². При a = −0,6, b = −0,5: 5 · 0,36 − 4 · 0,25 = 1,8 − 1 = 0,8.
Ответ: а) 200; −250; б) 0,8.
640. Упростите выражение: а) (3a²)² − a³(1 − 5a); б) (−1/2 b)³ − b(1 − 2b − 1/8 b²); в) x(16x − 2x³) − (2x²)²; г) (0,2c³)² − 0,01c⁴(4c² − 100).
а) 9a⁴ − a³ + 5a⁴ = 14a⁴ − a³.
б) −1/8 b³ − b + 2b² + 1/8 b³ = 2b² − b.
в) 16x² − 2x⁴ − 4x⁴ = 16x² − 6x⁴.
г) 0,04c⁶ − 0,04c⁶ + c⁴ = c⁴.
б) −1/8 b³ − b + 2b² + 1/8 b³ = 2b² − b.
в) 16x² − 2x⁴ − 4x⁴ = 16x² − 6x⁴.
г) 0,04c⁶ − 0,04c⁶ + c⁴ = c⁴.
641. С помощью рисунка 82 разъясните геометрический смысл формулы a(b + c) = ab + ac для положительных значений a, b и c. [рисунок 82: прямоугольник высотой a, разделённый вертикальной линией на левую часть шириной b (голубая) и правую шириной c (серая)]
Весь прямоугольник имеет высоту a и ширину b + c, поэтому его площадь равна a(b + c). С другой стороны, он состоит из двух прямоугольников: голубого со сторонами a и b (площадь ab) и серого со сторонами a и c (площадь ac). Площадь фигуры равна сумме площадей её частей, поэтому a(b + c) = ab + ac.
642. Приведите контрпример для утверждения: выражение x(2x − 1) − x²(x − 2) + (x³ − x + 3) + 2(x − 1,5) при любом значении x принимает положительное значение.
Упростим выражение: 2x² − x − x³ + 2x² + x³ − x + 3 + 2x − 3 = 4x². При x = 0 значение выражения равно 0, а число 0 не положительное. Значит, x = 0 — контрпример, утверждение неверно. (Значение 4x² неотрицательно при любом x, но положительно только при x ≠ 0.)
643. Докажите, что значение выражения y(3y² − y + 5) − (2y³ + 3y − 16) − y(y² − y + 2) не зависит от y.
Раскроем скобки: 3y³ − y² + 5y − 2y³ − 3y + 16 − y³ + y² − 2y.
y³: 3 − 2 − 1 = 0; y²: −1 + 1 = 0; y: 5 − 3 − 2 = 0. Остаётся 16. Значение выражения равно 16 при любом y, то есть не зависит от y.
y³: 3 − 2 − 1 = 0; y²: −1 + 1 = 0; y: 5 − 3 − 2 = 0. Остаётся 16. Значение выражения равно 16 при любом y, то есть не зависит от y.
644. Докажите, что выражение тождественно равно нулю: а) a(b − c) + b(c − a) + c(a − b); б) a(b + c − bc) − b(c + a − ac) + c(b − a).
а) ab − ac + bc − ab + ac − bc = 0.
б) ab + ac − abc − bc − ab + abc + bc − ac = (ab − ab) + (ac − ac) + (−abc + abc) + (−bc + bc) = 0.
б) ab + ac − abc − bc − ab + abc + bc − ac = (ab − ab) + (ac − ac) + (−abc + abc) + (−bc + bc) = 0.
645. Докажите, что выражение 2x(x − 6) − 3(x² − 4x + 1) при любых значениях x принимает отрицательные значения.
2x² − 12x − 3x² + 12x − 3 = −x² − 3. Так как x² ≥ 0, то −x² ≤ 0 и −x² − 3 ≤ −3 < 0. Значит, при любом x значение выражения отрицательно.
646. Решите уравнение: а) 5x + 3(x − 1) = 6x + 11; б) 3x − 5(2 − x) = 54; в) 8(y − 7) − 3(2y + 9) = 15; г) 0,6 − 0,5(y − 1) = y + 0,5; д) 6 + (2 − 4x) + 5 = 3(1 − 3x); е) 0,5(2y − 1) − (0,5 − 0,2y) + 1 = 0; ж) 0,15(x − 4) = 9,9 − 0,3(x − 1); з) 3(3x − 1) + 2 = 5(1 − 2x) − 1.
а) 8x − 3 = 6x + 11; 2x = 14; x = 7.
б) 3x − 10 + 5x = 54; 8x = 64; x = 8.
в) 8y − 56 − 6y − 27 = 15; 2y = 98; y = 49.
г) 1,1 − 0,5y = y + 0,5; 0,6 = 1,5y; y = 0,4.
д) 13 − 4x = 3 − 9x; 5x = −10; x = −2.
е) y − 0,5 − 0,5 + 0,2y + 1 = 0; 1,2y = 0; y = 0.
ж) 0,15x − 0,6 = 9,9 − 0,3x + 0,3; 0,45x = 10,8; x = 24.
з) 9x − 3 + 2 = 5 − 10x − 1; 9x − 1 = 4 − 10x; 19x = 5; x = 5/19.
Ответ: а) 7; б) 8; в) 49; г) 0,4; д) −2; е) 0; ж) 24; з) 5/19.
б) 3x − 10 + 5x = 54; 8x = 64; x = 8.
в) 8y − 56 − 6y − 27 = 15; 2y = 98; y = 49.
г) 1,1 − 0,5y = y + 0,5; 0,6 = 1,5y; y = 0,4.
д) 13 − 4x = 3 − 9x; 5x = −10; x = −2.
е) y − 0,5 − 0,5 + 0,2y + 1 = 0; 1,2y = 0; y = 0.
ж) 0,15x − 0,6 = 9,9 − 0,3x + 0,3; 0,45x = 10,8; x = 24.
з) 9x − 3 + 2 = 5 − 10x − 1; 9x − 1 = 4 − 10x; 19x = 5; x = 5/19.
Ответ: а) 7; б) 8; в) 49; г) 0,4; д) −2; е) 0; ж) 24; з) 5/19.