Глава IV. §8. Контрольные вопросы и задания; задачи для повторения — с. 136
627. (Задача-исследование.) В «Арифметике» Л. Ф. Магницкого, написанной в начале XVIII в., предлагается такой способ угадывания задуманного двузначного числа: «Если кто задумал двузначное число, то скажи ему, чтобы он увеличил число десятков в 2 раза и к произведению прибавил 5 единиц; затем полученную сумму увеличил в 5 раз и к новому произведению прибавил 10 единиц и число единиц задуманного числа, а результат произведённых действий сообщил бы тебе. Если ты из указанного результата вычтешь 35, то узнаешь задуманное число».
1. Выберите двузначное число и проверьте предложенный способ угадывания задуманного числа.
2. Предложите соседу по парте задумать двузначное число, выполнить указанные в условии задачи действия и сообщить результат.
3. Найдите число, задуманное соседом.
4. Докажите справедливость способа отгадывания задуманного двузначного числа, предложенного в учебнике Л. Ф. Магницкого.
1) Возьмём число 47 (4 десятка, 7 единиц). Число десятков увеличим в 2 раза: 8; прибавим 5: 13; увеличим в 5 раз: 65; прибавим 10 и число единиц 7: 65 + 10 + 7 = 82. Вычтем 35: 82 − 35 = 47 — получили задуманное число.
2–3) Если сосед сообщил результат R, то задуманное число равно R − 35. Например, при результате 61 задумано число 61 − 35 = 26; проверка: 2 · 2 + 5 = 9; 9 · 5 = 45; 45 + 10 + 6 = 61.
4) Пусть задуманное число 10a + b, где a — число десятков, b — число единиц. Увеличим число десятков в 2 раза: 2a; прибавим 5: 2a + 5; увеличим в 5 раз: 5(2a + 5) = 10a + 25; прибавим 10 и b: 10a + 25 + 10 + b = 10a + b + 35. Если вычесть 35, получим 10a + b — задуманное число. Способ верен при любых a и b.
2–3) Если сосед сообщил результат R, то задуманное число равно R − 35. Например, при результате 61 задумано число 61 − 35 = 26; проверка: 2 · 2 + 5 = 9; 9 · 5 = 45; 45 + 10 + 6 = 61.
4) Пусть задуманное число 10a + b, где a — число десятков, b — число единиц. Увеличим число десятков в 2 раза: 2a; прибавим 5: 2a + 5; увеличим в 5 раз: 5(2a + 5) = 10a + 25; прибавим 10 и b: 10a + 25 + 10 + b = 10a + b + 35. Если вычесть 35, получим 10a + b — задуманное число. Способ верен при любых a и b.
628. Представьте выражение в виде одночлена: а) (2x²)³ · 1/4 x²; б) −0,2a²b³ · (−5a³b²)²; в) (−3y⁴)³ · 1/9 y⁵; г) (−0,5c⁴d)³ · (−4c²d²)²; д) (−pq)⁶ · (6p²q)³; е) (3mn)⁴ · (−3mn²)⁶.
Возводим в степень каждый множитель, затем перемножаем коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями.
а) 8x⁶ · 1/4 x² = 2x⁸.
б) −0,2a²b³ · 25a⁶b⁴ = −5a⁸b⁷.
в) −27y¹² · 1/9 y⁵ = −3y¹⁷.
г) −0,125c¹²d³ · 16c⁴d⁴ = −2c¹⁶d⁷.
д) p⁶q⁶ · 216p⁶q³ = 216p¹²q⁹.
е) 81m⁴n⁴ · 729m⁶n¹² = 59 049m¹⁰n¹⁶.
а) 8x⁶ · 1/4 x² = 2x⁸.
б) −0,2a²b³ · 25a⁶b⁴ = −5a⁸b⁷.
в) −27y¹² · 1/9 y⁵ = −3y¹⁷.
г) −0,125c¹²d³ · 16c⁴d⁴ = −2c¹⁶d⁷.
д) p⁶q⁶ · 216p⁶q³ = 216p¹²q⁹.
е) 81m⁴n⁴ · 729m⁶n¹² = 59 049m¹⁰n¹⁶.
629. С помощью калькулятора найдите значение выражения x² − y, если x = 1,4, y = 0,157.
x² = 1,4² = 1,96; 1,96 − 0,157 = 1,803.
Ответ: 1,803.
Ответ: 1,803.
Контрольный вопрос 1. Дайте определение многочлена.
Многочленом называется сумма одночленов. Одночлены, из которых составлен многочлен, называют его членами. Например, 4x²y − 5xy + 3x − 1 — многочлен с членами 4x²y, −5xy, 3x и −1.
Контрольный вопрос 2. На примере многочлена 5a²x + ax² − 4ax · 1/2 x объясните, как привести многочлен к стандартному виду.
Чтобы привести многочлен к стандартному виду, нужно каждый его член представить в стандартном виде и привести подобные члены.
Член −4ax · 1/2 x не имеет стандартного вида: перемножаем коэффициенты и одинаковые буквы, получаем −2ax². Тогда 5a²x + ax² − 2ax². Члены ax² и −2ax² подобные, складываем их коэффициенты: 1 − 2 = −1. Получаем 5a²x − ax².
Член −4ax · 1/2 x не имеет стандартного вида: перемножаем коэффициенты и одинаковые буквы, получаем −2ax². Тогда 5a²x + ax² − 2ax². Члены ax² и −2ax² подобные, складываем их коэффициенты: 1 − 2 = −1. Получаем 5a²x − ax².
Контрольный вопрос 3. Что называется степенью многочлена?
Приведите пример многочлена третьей степени.
Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов. Степенью произвольного многочлена называют степень тождественно равного ему многочлена стандартного вида.
Пример многочлена третьей степени: x³ − 2x + 5 (наибольшая степень члена равна 3). Другой пример: 2ab² + a − 1.
Пример многочлена третьей степени: x³ − 2x + 5 (наибольшая степень члена равна 3). Другой пример: 2ab² + a − 1.
Контрольный вопрос 4. Составьте сумму и разность многочленов x² − 3y + 6 и −x² + 3y + 1 и преобразуйте каждое выражение в многочлен стандартного вида.
Сумма: (x² − 3y + 6) + (−x² + 3y + 1) = x² − 3y + 6 − x² + 3y + 1 = 7.
Разность: (x² − 3y + 6) − (−x² + 3y + 1) = x² − 3y + 6 + x² − 3y − 1 = 2x² − 6y + 5.
Разность: (x² − 3y + 6) − (−x² + 3y + 1) = x² − 3y + 6 + x² − 3y − 1 = 2x² − 6y + 5.
Контрольный вопрос 5. В многочлене 5x² − x + 4 заключите в скобки два последних члена, поставив перед скобками: а) знак «плюс»; б) знак «минус».
а) Перед скобками знак «плюс» — члены в скобках записываем с теми же знаками: 5x² − x + 4 = 5x² + (−x + 4).
б) Перед скобками знак «минус» — знаки членов в скобках меняем на противоположные: 5x² − x + 4 = 5x² − (x − 4).
Проверка: раскрыв скобки, снова получаем 5x² − x + 4.
б) Перед скобками знак «минус» — знаки членов в скобках меняем на противоположные: 5x² − x + 4 = 5x² − (x − 4).
Проверка: раскрыв скобки, снова получаем 5x² − x + 4.