Глава IV. §8. п.26 Сложение и вычитание многочленов — с. 135
618. Докажите, что не зависит от x значение выражения (3/5 x² − 0,4xy − 1,5y + 1) − (y² − 2/5 xy + 0,6x²).
Заменим дроби десятичными: 3/5 = 0,6; 2/5 = 0,4. Раскроем скобки:
0,6x² − 0,4xy − 1,5y + 1 − y² + 0,4xy − 0,6x² = (0,6x² − 0,6x²) + (−0,4xy + 0,4xy) − 1,5y + 1 − y² = −y² − 1,5y + 1.
В результате нет переменной x, значит, значение выражения от x не зависит.
0,6x² − 0,4xy − 1,5y + 1 − y² + 0,4xy − 0,6x² = (0,6x² − 0,6x²) + (−0,4xy + 0,4xy) − 1,5y + 1 − y² = −y² − 1,5y + 1.
В результате нет переменной x, значит, значение выражения от x не зависит.
619. Докажите, что значение выражения не зависит от значения переменной: а) 1,7 − 10b² − (1 − 3b²) + (2,3 + 7b²); б) 1 − b² − (3b − 2b²) + (1 + 3b − b²).
а) 1,7 − 10b² − 1 + 3b² + 2,3 + 7b² = (−10 + 3 + 7)b² + (1,7 − 1 + 2,3) = 0 · b² + 3 = 3.
б) 1 − b² − 3b + 2b² + 1 + 3b − b² = (−1 + 2 − 1)b² + (−3b + 3b) + (1 + 1) = 2.
В обоих случаях получено число, поэтому значение выражения от переменной не зависит.
б) 1 − b² − 3b + 2b² + 1 + 3b − b² = (−1 + 2 − 1)b² + (−3b + 3b) + (1 + 1) = 2.
В обоих случаях получено число, поэтому значение выражения от переменной не зависит.
620. Пусть x = 5a² + 6ab − b², y = −4a² + 2ab + 3b², z = 9a² + 4ab. Подставьте эти многочлены вместо x, y и z в данное выражение и упростите его: а) x + y + z; б) x − y − z.
а) (5a² + 6ab − b²) + (−4a² + 2ab + 3b²) + (9a² + 4ab) = (5 − 4 + 9)a² + (6 + 2 + 4)ab + (−1 + 3)b² = 10a² + 12ab + 2b².
б) (5a² + 6ab − b²) − (−4a² + 2ab + 3b²) − (9a² + 4ab) = 5a² + 6ab − b² + 4a² − 2ab − 3b² − 9a² − 4ab = (5 + 4 − 9)a² + (6 − 2 − 4)ab + (−1 − 3)b² = −4b².
б) (5a² + 6ab − b²) − (−4a² + 2ab + 3b²) − (9a² + 4ab) = 5a² + 6ab − b² + 4a² − 2ab − 3b² − 9a² − 4ab = (5 + 4 − 9)a² + (6 − 2 − 4)ab + (−1 − 3)b² = −4b².
621. Решите уравнение: а) (23 + 3x) + (8x − 41) = 15; б) (19 + 2x) − (5x − 11) = 25; в) (3,2y − 1,8) − (5,2y + 3,4) = −5,8; г) 1 − (0,5x − 15,8) = 12,8 − 0,7x; д) 3,8 − 1,5y + (4,5y − 0,8) = 2,4y + 3; е) 4,2y + 0,8 = 6,2y − (1,1y + 0,8) + 1,2.
а) 23 + 3x + 8x − 41 = 15; 11x − 18 = 15; 11x = 33; x = 3.
б) 19 + 2x − 5x + 11 = 25; −3x + 30 = 25; −3x = −5; x = 5/3 = 1 2/3.
в) 3,2y − 1,8 − 5,2y − 3,4 = −5,8; −2y − 5,2 = −5,8; −2y = −0,6; y = 0,3.
г) 1 − 0,5x + 15,8 = 12,8 − 0,7x; 16,8 − 0,5x = 12,8 − 0,7x; 0,2x = −4; x = −20.
д) 3,8 − 1,5y + 4,5y − 0,8 = 2,4y + 3; 3 + 3y = 2,4y + 3; 0,6y = 0; y = 0.
е) 4,2y + 0,8 = 6,2y − 1,1y − 0,8 + 1,2; 4,2y + 0,8 = 5,1y + 0,4; −0,9y = −0,4; y = 4/9.
Ответ: а) 3; б) 1 2/3; в) 0,3; г) −20; д) 0; е) 4/9.
б) 19 + 2x − 5x + 11 = 25; −3x + 30 = 25; −3x = −5; x = 5/3 = 1 2/3.
в) 3,2y − 1,8 − 5,2y − 3,4 = −5,8; −2y − 5,2 = −5,8; −2y = −0,6; y = 0,3.
г) 1 − 0,5x + 15,8 = 12,8 − 0,7x; 16,8 − 0,5x = 12,8 − 0,7x; 0,2x = −4; x = −20.
д) 3,8 − 1,5y + 4,5y − 0,8 = 2,4y + 3; 3 + 3y = 2,4y + 3; 0,6y = 0; y = 0.
е) 4,2y + 0,8 = 6,2y − 1,1y − 0,8 + 1,2; 4,2y + 0,8 = 5,1y + 0,4; −0,9y = −0,4; y = 4/9.
Ответ: а) 3; б) 1 2/3; в) 0,3; г) −20; д) 0; е) 4/9.
622. Решите уравнение: а) 8y − 3 − (5 − 2y) = 4,3; б) 0,5y − 1 − (2y + 4) = y; в) −8x + (4 + 3x) = 10 − x; г) 1,3x − 2 − (3,3x + 5) = 2x + 1.
а) 8y − 3 − 5 + 2y = 4,3; 10y − 8 = 4,3; 10y = 12,3; y = 1,23.
б) 0,5y − 1 − 2y − 4 = y; −1,5y − 5 = y; −5 = 2,5y; y = −2.
в) −8x + 4 + 3x = 10 − x; −5x + 4 = 10 − x; −4x = 6; x = −1,5.
г) 1,3x − 2 − 3,3x − 5 = 2x + 1; −2x − 7 = 2x + 1; −8 = 4x; x = −2.
Ответ: а) 1,23; б) −2; в) −1,5; г) −2.
б) 0,5y − 1 − 2y − 4 = y; −1,5y − 5 = y; −5 = 2,5y; y = −2.
в) −8x + 4 + 3x = 10 − x; −5x + 4 = 10 − x; −4x = 6; x = −1,5.
г) 1,3x − 2 − 3,3x − 5 = 2x + 1; −2x − 7 = 2x + 1; −8 = 4x; x = −2.
Ответ: а) 1,23; б) −2; в) −1,5; г) −2.
623. Представьте выражение в виде суммы каких-нибудь двучленов: а) 3x³ − 2x² − x + 4; б) −5y⁴ + 4y³ + 3y² − 2y.
Разобьём члены на две группы по два члена, сохраняя знаки.
а) 3x³ − 2x² − x + 4 = (3x³ − 2x²) + (−x + 4).
б) −5y⁴ + 4y³ + 3y² − 2y = (−5y⁴ + 4y³) + (3y² − 2y).
Возможны и другие разбиения, например (3x³ − x) + (−2x² + 4).
а) 3x³ − 2x² − x + 4 = (3x³ − 2x²) + (−x + 4).
б) −5y⁴ + 4y³ + 3y² − 2y = (−5y⁴ + 4y³) + (3y² − 2y).
Возможны и другие разбиения, например (3x³ − x) + (−2x² + 4).
624. Представьте выражение каким-либо способом в виде разности одночлена и трёхчлена: а) x³ + 2x² − 3x − 5; б) 3a⁴ + 2a³ + 5a² − 4.
Выделим первый член, а три остальных заключим в скобки со знаком «минус», изменив их знаки на противоположные.
а) x³ + 2x² − 3x − 5 = x³ − (−2x² + 3x + 5).
б) 3a⁴ + 2a³ + 5a² − 4 = 3a⁴ − (−2a³ − 5a² + 4).
Проверка: раскрыв скобки, получим исходные выражения.
а) x³ + 2x² − 3x − 5 = x³ − (−2x² + 3x + 5).
б) 3a⁴ + 2a³ + 5a² − 4 = 3a⁴ − (−2a³ − 5a² + 4).
Проверка: раскрыв скобки, получим исходные выражения.
625. Известно, что при некоторых натуральных значениях n значение выражения n³ + n кратно 30. Будет ли кратно 30 при тех же значениях n значение выражения: а) n³ + 31n; б) n³ − 29n?
а) n³ + 31n = (n³ + n) + 30n. Первое слагаемое кратно 30 по условию, второе, 30n, кратно 30 при любом n. Сумма кратна 30.
б) n³ − 29n = (n³ + n) − 30n. Оба слагаемых кратны 30, значит, и разность кратна 30.
Ответ: да, в обоих случаях.
б) n³ − 29n = (n³ + n) − 30n. Оба слагаемых кратны 30, значит, и разность кратна 30.
Ответ: да, в обоих случаях.
626. (Для работы в парах.) Докажите, что сумма: а) трёх последовательных натуральных чисел кратна 3; б) четырёх последовательных натуральных чисел не кратна 4.
1. Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.
2. Проверьте друг у друга правильность выполнения преобразований.
3. Выскажите аналогичное предположение о сумме пяти последовательных натуральных чисел и проверьте, верно ли оно.
1) а) Пусть n — первое число. Сумма n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 = 3(n + 1) кратна 3.
б) Сумма n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) = 4n + 6 = 4(n + 1) + 2. Первое слагаемое кратно 4, а 2 на 4 не делится, поэтому сумма даёт остаток 2 при делении на 4 и не кратна 4.
2) Проверка: в обоих случаях подобные члены приведены верно.
3) Предположение: сумма пяти последовательных натуральных чисел кратна 5. Проверка: n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) + (n + 4) = 5n + 10 = 5(n + 2). Предположение верно.
б) Сумма n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) = 4n + 6 = 4(n + 1) + 2. Первое слагаемое кратно 4, а 2 на 4 не делится, поэтому сумма даёт остаток 2 при делении на 4 и не кратна 4.
2) Проверка: в обоих случаях подобные члены приведены верно.
3) Предположение: сумма пяти последовательных натуральных чисел кратна 5. Проверка: n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) + (n + 4) = 5n + 10 = 5(n + 2). Предположение верно.