Глава IV. §8. п.26 Сложение и вычитание многочленов — с. 133
601. а) Составьте сумму многочленов 4x³ − 5x − 7 и x³ − 8x и преобразуйте её в многочлен стандартного вида. б) Составьте разность многочленов 5y² − 9 и 7y² − y + 5 и преобразуйте её в многочлен стандартного вида.
а) (4x³ − 5x − 7) + (x³ − 8x) = 4x³ − 5x − 7 + x³ − 8x = 5x³ − 13x − 7.
б) (5y² − 9) − (7y² − y + 5) = 5y² − 9 − 7y² + y − 5 = −2y² + y − 14.
Перед скобками минус, поэтому знаки всех членов во второй скобке меняем на противоположные.
б) (5y² − 9) − (7y² − y + 5) = 5y² − 9 − 7y² + y − 5 = −2y² + y − 14.
Перед скобками минус, поэтому знаки всех членов во второй скобке меняем на противоположные.
602. Даны два многочлена: 2a³ − 5a + 5 и a³ − 4a − 2. Упростите: а) сумму этих многочленов; б) разность первого и второго многочленов; в) разность второго и первого многочленов.
а) (2a³ − 5a + 5) + (a³ − 4a − 2) = 2a³ − 5a + 5 + a³ − 4a − 2 = 3a³ − 9a + 3.
б) (2a³ − 5a + 5) − (a³ − 4a − 2) = 2a³ − 5a + 5 − a³ + 4a + 2 = a³ − a + 7.
в) (a³ − 4a − 2) − (2a³ − 5a + 5) = a³ − 4a − 2 − 2a³ + 5a − 5 = −a³ + a − 7.
Многочлены в пунктах б) и в) противоположны.
б) (2a³ − 5a + 5) − (a³ − 4a − 2) = 2a³ − 5a + 5 − a³ + 4a + 2 = a³ − a + 7.
в) (a³ − 4a − 2) − (2a³ − 5a + 5) = a³ − 4a − 2 − 2a³ + 5a − 5 = −a³ + a − 7.
Многочлены в пунктах б) и в) противоположны.
603. Преобразуйте в многочлен стандартного вида: а) (1 + 3a) + (a² − 2a); б) (2x² + 3x) + (−x + 4); в) (y² − 5y) + (5y − 2y²); г) (b² − b + 7) − (b² + b + 8); д) (8n³ − 3n²) − (7 + 8n³ − 2n²); е) (a² + 5a + 4) − (a² + 5a − 4).
а) 1 + 3a + a² − 2a = a² + a + 1.
б) 2x² + 3x − x + 4 = 2x² + 2x + 4.
в) y² − 5y + 5y − 2y² = −y².
г) b² − b + 7 − b² − b − 8 = −2b − 1.
д) 8n³ − 3n² − 7 − 8n³ + 2n² = −n² − 7.
е) a² + 5a + 4 − a² − 5a + 4 = 8.
б) 2x² + 3x − x + 4 = 2x² + 2x + 4.
в) y² − 5y + 5y − 2y² = −y².
г) b² − b + 7 − b² − b − 8 = −2b − 1.
д) 8n³ − 3n² − 7 − 8n³ + 2n² = −n² − 7.
е) a² + 5a + 4 − a² − 5a + 4 = 8.
604. Упростите выражение: а) 5,2a − (4,5a + 4,8a²); б) 8x² + (4,5 − x²) − (5,4x² − 1); в) −0,8b² + 7,4b + (5,6b − 0,2b²); г) (7,3y − y² + 4) + 0,5y² − (8,7y − 2,4y²).
а) 5,2a − 4,5a − 4,8a² = 0,7a − 4,8a².
б) 8x² + 4,5 − x² − 5,4x² + 1 = 1,6x² + 5,5.
в) −0,8b² + 7,4b + 5,6b − 0,2b² = −b² + 13b.
г) 7,3y − y² + 4 + 0,5y² − 8,7y + 2,4y² = 1,9y² − 1,4y + 4.
б) 8x² + 4,5 − x² − 5,4x² + 1 = 1,6x² + 5,5.
в) −0,8b² + 7,4b + 5,6b − 0,2b² = −b² + 13b.
г) 7,3y − y² + 4 + 0,5y² − 8,7y + 2,4y² = 1,9y² − 1,4y + 4.
605. Преобразуйте в многочлен стандартного вида: а) 18x² − (10x − 5 + 18x²); б) −12c² + 5c + (c + 11c²); в) (b² + b − 1) − (b² − b + 1); г) (15 − 7y²) − (y³ − y² − 15).
а) 18x² − 10x + 5 − 18x² = −10x + 5.
б) −12c² + 5c + c + 11c² = −c² + 6c.
в) b² + b − 1 − b² + b − 1 = 2b − 2.
г) 15 − 7y² − y³ + y² + 15 = −y³ − 6y² + 30.
б) −12c² + 5c + c + 11c² = −c² + 6c.
в) b² + b − 1 − b² + b − 1 = 2b − 2.
г) 15 − 7y² − y³ + y² + 15 = −y³ − 6y² + 30.
606. Найдите сумму и разность многочленов: а) a + b и a − b; б) a − b и a + b; в) −a − b и a − b; г) a − b и b − a.
а) (a + b) + (a − b) = 2a; (a + b) − (a − b) = a + b − a + b = 2b.
б) (a − b) + (a + b) = 2a; (a − b) − (a + b) = a − b − a − b = −2b.
в) (−a − b) + (a − b) = −2b; (−a − b) − (a − b) = −a − b − a + b = −2a.
г) (a − b) + (b − a) = 0; (a − b) − (b − a) = a − b − b + a = 2a − 2b.
б) (a − b) + (a + b) = 2a; (a − b) − (a + b) = a − b − a − b = −2b.
в) (−a − b) + (a − b) = −2b; (−a − b) − (a − b) = −a − b − a + b = −2a.
г) (a − b) + (b − a) = 0; (a − b) − (b − a) = a − b − b + a = 2a − 2b.
607. Докажите, что: а) сумма двух последовательных нечётных чисел кратна 4; б) сумма четырёх последовательных нечётных чисел кратна 8.
Нечётное число имеет вид 2k + 1, следующее нечётное — на 2 больше.
а) Числа 2k + 1 и 2k + 3. Сумма: 4k + 4 = 4(k + 1), кратна 4.
б) Числа 2k + 1, 2k + 3, 2k + 5, 2k + 7. Сумма: 8k + 16 = 8(k + 2), кратна 8.
а) Числа 2k + 1 и 2k + 3. Сумма: 4k + 4 = 4(k + 1), кратна 4.
б) Числа 2k + 1, 2k + 3, 2k + 5, 2k + 7. Сумма: 8k + 16 = 8(k + 2), кратна 8.
608. Докажите, что выражение: а) (x − y) + (y − z) + (z − x) тождественно равно 0; б) (a² − 5ab) − (7 − 3ab) + (2ab − a²) тождественно равно −7.
а) x − y + y − z + z − x = (x − x) + (−y + y) + (−z + z) = 0.
б) a² − 5ab − 7 + 3ab + 2ab − a² = (a² − a²) + (−5ab + 3ab + 2ab) − 7 = −7.
В обоих случаях после преобразования получено число, не зависящее от переменных, что и требовалось доказать.
б) a² − 5ab − 7 + 3ab + 2ab − a² = (a² − a²) + (−5ab + 3ab + 2ab) − 7 = −7.
В обоих случаях после преобразования получено число, не зависящее от переменных, что и требовалось доказать.