Глава IV. §8. п.25 Многочлен и его стандартный вид — с. 131
585. Из данных многочленов выберите многочлен, тождественно равный выражению 3a² + b. 1) 4a² − 4b − a² + 17b − b; 2) 12a² − 9b − 9a² + 6b + b; 3) −0,7a² − 7b − 2,3a² + 8b; 4) 1,8a² − 4,2b + 1,2a² + 5b + 0,2b.
Приводим подобные члены в каждом многочлене.
1) 4a² − a² = 3a²; −4b + 17b − b = 12b. Получаем 3a² + 12b — не подходит.
2) 12a² − 9a² = 3a²; −9b + 6b + b = −2b. Получаем 3a² − 2b — не подходит.
3) −0,7a² − 2,3a² = −3a²; −7b + 8b = b. Получаем −3a² + b — не подходит.
4) 1,8a² + 1,2a² = 3a²; −4,2b + 5b + 0,2b = b. Получаем 3a² + b — подходит.
Ответ: многочлен 4).
1) 4a² − a² = 3a²; −4b + 17b − b = 12b. Получаем 3a² + 12b — не подходит.
2) 12a² − 9a² = 3a²; −9b + 6b + b = −2b. Получаем 3a² − 2b — не подходит.
3) −0,7a² − 2,3a² = −3a²; −7b + 8b = b. Получаем −3a² + b — не подходит.
4) 1,8a² + 1,2a² = 3a²; −4,2b + 5b + 0,2b = b. Получаем 3a² + b — подходит.
Ответ: многочлен 4).
586. Представьте в стандартном виде многочлен: а) −8p⁴ + 12p³ + 4p⁴ − 8p² + 3p²; б) 2aa² + a² − 3a² + a³ − a; в) 3xx⁴ + 3xx³ − 5x²x³ − 5x²x; г) 3a · 4b² − 0,8b · 4b² − 2ab · 3b + b · 3b² − 1.
Сначала приводим каждый член к стандартному виду, затем складываем подобные.
а) −8p⁴ + 4p⁴ = −4p⁴; −8p² + 3p² = −5p². Получаем −4p⁴ + 12p³ − 5p².
б) 2aa² = 2a³. Тогда 2a³ + a² − 3a² + a³ − a = 3a³ − 2a² − a.
в) 3xx⁴ = 3x⁵; 3xx³ = 3x⁴; 5x²x³ = 5x⁵; 5x²x = 5x³. Тогда 3x⁵ + 3x⁴ − 5x⁵ − 5x³ = −2x⁵ + 3x⁴ − 5x³.
г) 3a · 4b² = 12ab²; 0,8b · 4b² = 3,2b³; 2ab · 3b = 6ab²; b · 3b² = 3b³. Тогда 12ab² − 3,2b³ − 6ab² + 3b³ − 1 = 6ab² − 0,2b³ − 1.
а) −8p⁴ + 4p⁴ = −4p⁴; −8p² + 3p² = −5p². Получаем −4p⁴ + 12p³ − 5p².
б) 2aa² = 2a³. Тогда 2a³ + a² − 3a² + a³ − a = 3a³ − 2a² − a.
в) 3xx⁴ = 3x⁵; 3xx³ = 3x⁴; 5x²x³ = 5x⁵; 5x²x = 5x³. Тогда 3x⁵ + 3x⁴ − 5x⁵ − 5x³ = −2x⁵ + 3x⁴ − 5x³.
г) 3a · 4b² = 12ab²; 0,8b · 4b² = 3,2b³; 2ab · 3b = 6ab²; b · 3b² = 3b³. Тогда 12ab² − 3,2b³ − 6ab² + 3b³ − 1 = 6ab² − 0,2b³ − 1.
587. Запишите в стандартном виде многочлен: а) 2a²x³ − ax³ − a⁴ − a²x³ + ax³ + 2a⁴; б) 5x · 2y² − 5x · 3xy − x²y + 6xy².
а) 2a²x³ − a²x³ = a²x³; −ax³ + ax³ = 0; −a⁴ + 2a⁴ = a⁴. Получаем a²x³ + a⁴.
б) 5x · 2y² = 10xy²; 5x · 3xy = 15x²y. Тогда 10xy² − 15x²y − x²y + 6xy² = 16xy² − 16x²y.
б) 5x · 2y² = 10xy²; 5x · 3xy = 15x²y. Тогда 10xy² − 15x²y − x²y + 6xy² = 16xy² − 16x²y.
588. Найдите значение многочлена: а) 5x⁶ − 3x² + 7 − 2x⁶ − 3x⁶ + 4x² при x = −10; б) 4a²b − ab² − 3a²b + ab² − ab + 6 при a = −3, b = 2.
Сначала приводим многочлен к стандартному виду.
а) 5x⁶ − 2x⁶ − 3x⁶ = 0; −3x² + 4x² = x². Получаем x² + 7. При x = −10: (−10)² + 7 = 100 + 7 = 107.
б) 4a²b − 3a²b = a²b; −ab² + ab² = 0. Получаем a²b − ab + 6. При a = −3, b = 2: 9 · 2 − (−3) · 2 + 6 = 18 + 6 + 6 = 30.
Ответ: а) 107; б) 30.
а) 5x⁶ − 2x⁶ − 3x⁶ = 0; −3x² + 4x² = x². Получаем x² + 7. При x = −10: (−10)² + 7 = 100 + 7 = 107.
б) 4a²b − 3a²b = a²b; −ab² + ab² = 0. Получаем a²b − ab + 6. При a = −3, b = 2: 9 · 2 − (−3) · 2 + 6 = 18 + 6 + 6 = 30.
Ответ: а) 107; б) 30.
589. Найдите значение многочлена: а) 6a³ − a¹⁰ + 4a³ + a¹⁰ − 8a³ + a при a = −3; б) 4x⁶y³ − 3x⁶y³ + 2x²y² − x⁶y³ − x²y² + y при x = −2, y = −1.
а) 6a³ + 4a³ − 8a³ = 2a³; −a¹⁰ + a¹⁰ = 0. Получаем 2a³ + a. При a = −3: 2 · (−27) − 3 = −54 − 3 = −57.
б) 4x⁶y³ − 3x⁶y³ − x⁶y³ = 0; 2x²y² − x²y² = x²y². Получаем x²y² + y. При x = −2, y = −1: 4 · 1 + (−1) = 3.
Ответ: а) −57; б) 3.
б) 4x⁶y³ − 3x⁶y³ − x⁶y³ = 0; 2x²y² − x²y² = x²y². Получаем x²y² + y. При x = −2, y = −1: 4 · 1 + (−1) = 3.
Ответ: а) −57; б) 3.
590. Найдите значение многочлена 2x² + 1 при x = 0; −2; 3; −4. Существует ли такое значение x, при котором значение многочлена равно нулю; отрицательно?
При x = 0: 2 · 0 + 1 = 1.
При x = −2: 2 · 4 + 1 = 9.
При x = 3: 2 · 9 + 1 = 19.
При x = −4: 2 · 16 + 1 = 33.
При любом x выполняется x² ≥ 0, поэтому 2x² ≥ 0 и 2x² + 1 ≥ 1. Значит, значение многочлена всегда не меньше 1: оно не может быть ни равным нулю, ни отрицательным.
Ответ: 1; 9; 19; 33; такого значения x не существует ни для нуля, ни для отрицательного значения.
При x = −2: 2 · 4 + 1 = 9.
При x = 3: 2 · 9 + 1 = 19.
При x = −4: 2 · 16 + 1 = 33.
При любом x выполняется x² ≥ 0, поэтому 2x² ≥ 0 и 2x² + 1 ≥ 1. Значит, значение многочлена всегда не меньше 1: оно не может быть ни равным нулю, ни отрицательным.
Ответ: 1; 9; 19; 33; такого значения x не существует ни для нуля, ни для отрицательного значения.
591. Докажите, что многочлен x² + y² + 1 при любых значениях x и y принимает положительные значения.
При любых x и y имеем x² ≥ 0 и y² ≥ 0 (квадрат числа неотрицателен). Тогда x² + y² ≥ 0, и x² + y² + 1 ≥ 1 > 0. Следовательно, значение многочлена при любых x и y положительно, что и требовалось доказать.
592. Запишите в виде многочлена число, состоящее из: а) a десятков и b единиц; б) a сотен, b десятков и c единиц.
Значение числа равно сумме разрядных слагаемых.
а) a десятков — это 10a, b единиц — это b. Число равно 10a + b.
б) a сотен — 100a, b десятков — 10b, c единиц — c. Число равно 100a + 10b + c.
а) a десятков — это 10a, b единиц — это b. Число равно 10a + b.
б) a сотен — 100a, b десятков — 10b, c единиц — c. Число равно 100a + 10b + c.
593. Расположите члены многочлена по убывающим степеням переменной: а) 17a⁴ − 8a⁵ + 3a − a³ − 1; б) 35 − c⁶ + 5c² − c⁴.
Записываем члены в порядке убывания показателей степени переменной.
а) −8a⁵ + 17a⁴ − a³ + 3a − 1.
б) −c⁶ − c⁴ + 5c² + 35.
Оговорка: показатель у 17a в пункте а) плохо читается на скане, принят равным 4.
а) −8a⁵ + 17a⁴ − a³ + 3a − 1.
б) −c⁶ − c⁴ + 5c² + 35.
Оговорка: показатель у 17a в пункте а) плохо читается на скане, принят равным 4.
594. Расположите члены многочлена по возрастающим степеням переменной: а) x⁴ − 5 − x² + 12x; б) 2y + y³ − y² + 1.
Записываем члены в порядке возрастания показателей степени (число без переменной — нулевая степень).
а) −5 + 12x − x² + x⁴.
б) 1 + 2y − y² + y³.
Оговорка: показатель у x в первом члене пункта а) плохо читается на скане, принят равным 4.
а) −5 + 12x − x² + x⁴.
б) 1 + 2y − y² + y³.
Оговорка: показатель у x в первом члене пункта а) плохо читается на скане, принят равным 4.
595. Какова степень многочлена: а) 4a⁶ − 2a⁷ + a − 1; б) 5p³ − p − 2; в) 1 − 3x; г) 4xy + xy² − 5x² + y; д) 8x⁴y + 5x²y³ − 11; е) xy + yz + xz − 1?
Степень многочлена стандартного вида — наибольшая из степеней его членов.
а) степени членов 6, 7, 1, 0; наибольшая 7.
б) степени 3, 1, 0; наибольшая 3.
в) степени 0 и 1; наибольшая 1.
г) степени: xy — 2, xy² — 3, x² — 2, y — 1; наибольшая 3.
д) степени: 8x⁴y — 5, 5x²y³ — 5, 11 — 0; наибольшая 5.
е) степени каждого из членов xy, yz, xz равны 2; наибольшая 2.
Ответ: а) 7; б) 3; в) 1; г) 3; д) 5; е) 2.
а) степени членов 6, 7, 1, 0; наибольшая 7.
б) степени 3, 1, 0; наибольшая 3.
в) степени 0 и 1; наибольшая 1.
г) степени: xy — 2, xy² — 3, x² — 2, y — 1; наибольшая 3.
д) степени: 8x⁴y — 5, 5x²y³ — 5, 11 — 0; наибольшая 5.
е) степени каждого из членов xy, yz, xz равны 2; наибольшая 2.
Ответ: а) 7; б) 3; в) 1; г) 3; д) 5; е) 2.
596. Используя калькулятор, найдите значение многочлена: а) x² + 4,23 при x = 1,97; б) a⁴ + 2a при a = 2,3.
а) 1,97² = 3,8809; 3,8809 + 4,23 = 8,1109.
б) 2,3² = 5,29; 2,3⁴ = 5,29² = 27,9841; 2a = 4,6; 27,9841 + 4,6 = 32,5841.
Ответ: а) 8,1109; б) 32,5841.
б) 2,3² = 5,29; 2,3⁴ = 5,29² = 27,9841; 2a = 4,6; 27,9841 + 4,6 = 32,5841.
Ответ: а) 8,1109; б) 32,5841.