Глава IV. §8. п.26 Сложение и вычитание многочленов — с. 132
597. (Задача-исследование.) Докажите, что всякая разность вида abbb − a делится на 37.
1. Проверьте верность этого утверждения для разности: а) 2555 − 2; б) 7111 − 7; в) 8999 − 8; г) 9666 − 9.
2. Проведите доказательство высказанного утверждения.
1) а) 2555 − 2 = 2553 = 37 · 69.
б) 7111 − 7 = 7104 = 37 · 192.
в) 8999 − 8 = 8991 = 37 · 243.
г) 9666 − 9 = 9657 = 37 · 261.
Во всех случаях результат делится на 37.
2) Число abbb записывается цифрами a, b, b, b, поэтому abbb = 1000a + 100b + 10b + b = 1000a + 111b. Тогда abbb − a = 1000a + 111b − a = 999a + 111b = 111(9a + b). Так как 111 = 37 · 3, получаем abbb − a = 37 · 3(9a + b). Один из множителей равен 37, значит, разность делится на 37 при любых цифрах a и b.
б) 7111 − 7 = 7104 = 37 · 192.
в) 8999 − 8 = 8991 = 37 · 243.
г) 9666 − 9 = 9657 = 37 · 261.
Во всех случаях результат делится на 37.
2) Число abbb записывается цифрами a, b, b, b, поэтому abbb = 1000a + 100b + 10b + b = 1000a + 111b. Тогда abbb − a = 1000a + 111b − a = 999a + 111b = 111(9a + b). Так как 111 = 37 · 3, получаем abbb − a = 37 · 3(9a + b). Один из множителей равен 37, значит, разность делится на 37 при любых цифрах a и b.
598. Решите уравнение: а) 0,3y = 70; б) 5/8 x = −1; в) 1/9 a = −3/7.
а) y = 70 : 0,3 = 700/3 = 233 1/3.
б) x = −1 : 5/8 = −1 · 8/5 = −8/5 = −1,6.
в) a = −3/7 : 1/9 = −3/7 · 9 = −27/7 = −3 6/7.
Ответ: а) 233 1/3; б) −1,6; в) −3 6/7.
б) x = −1 : 5/8 = −1 · 8/5 = −8/5 = −1,6.
в) a = −3/7 : 1/9 = −3/7 · 9 = −27/7 = −3 6/7.
Ответ: а) 233 1/3; б) −1,6; в) −3 6/7.
599. Вычислите: а) (5³ · 25²)/5⁸; б) (2⁵ · 8)/4⁴; в) (4⁵ · 3⁸)/6⁹.
Приводим к степеням простых чисел.
а) 25² = (5²)² = 5⁴; 5³ · 5⁴ / 5⁸ = 5⁷/5⁸ = 1/5.
б) 8 = 2³, 4⁴ = 2⁸; 2⁵ · 2³ / 2⁸ = 2⁸/2⁸ = 1.
в) 4⁵ = 2¹⁰, 6⁹ = 2⁹ · 3⁹; (2¹⁰ · 3⁸)/(2⁹ · 3⁹) = 2/3.
Ответ: а) 1/5; б) 1; в) 2/3.
а) 25² = (5²)² = 5⁴; 5³ · 5⁴ / 5⁸ = 5⁷/5⁸ = 1/5.
б) 8 = 2³, 4⁴ = 2⁸; 2⁵ · 2³ / 2⁸ = 2⁸/2⁸ = 1.
в) 4⁵ = 2¹⁰, 6⁹ = 2⁹ · 3⁹; (2¹⁰ · 3⁸)/(2⁹ · 3⁹) = 2/3.
Ответ: а) 1/5; б) 1; в) 2/3.
600. При каком значении аргумента функция y = 0,01x принимает значение, равное: а) 240; б) −100?
Подставляем значение функции и находим x.
а) 0,01x = 240; x = 240 : 0,01 = 24 000.
б) 0,01x = −100; x = −100 : 0,01 = −10 000.
Ответ: а) 24 000; б) −10 000.
а) 0,01x = 240; x = 240 : 0,01 = 24 000.
б) 0,01x = −100; x = −100 : 0,01 = −10 000.
Ответ: а) 24 000; б) −10 000.