Глава IV. §8. п.26 Сложение и вычитание многочленов — с. 134
609. Найдите многочлен, после подстановки которого вместо M следующее равенство окажется тождеством: а) M + (5x² − 2xy) = 6x² + 9xy − y²; б) M − (4ab − 3b²) = a² − 7ab + 8b²; в) (4c⁴ − 7c² + 6) − M = 0.
а) M = (6x² + 9xy − y²) − (5x² − 2xy) = 6x² + 9xy − y² − 5x² + 2xy = x² + 11xy − y².
б) M = (a² − 7ab + 8b²) + (4ab − 3b²) = a² − 3ab + 5b².
в) M = (4c⁴ − 7c² + 6) − 0 = 4c⁴ − 7c² + 6.
б) M = (a² − 7ab + 8b²) + (4ab − 3b²) = a² − 3ab + 5b².
в) M = (4c⁴ − 7c² + 6) − 0 = 4c⁴ − 7c² + 6.
610. Какой многочлен в сумме с многочленом 5x² − 3x − 9 тождественно равен: а) 0; б) 18; в) 2x − 3; г) x² − 5x + 6?
Искомый многочлен равен разности: (данная сумма) − (5x² − 3x − 9).
а) 0 − (5x² − 3x − 9) = −5x² + 3x + 9.
б) 18 − 5x² + 3x + 9 = −5x² + 3x + 27.
в) (2x − 3) − (5x² − 3x − 9) = 2x − 3 − 5x² + 3x + 9 = −5x² + 5x + 6.
г) (x² − 5x + 6) − (5x² − 3x − 9) = x² − 5x + 6 − 5x² + 3x + 9 = −4x² − 2x + 15.
а) 0 − (5x² − 3x − 9) = −5x² + 3x + 9.
б) 18 − 5x² + 3x + 9 = −5x² + 3x + 27.
в) (2x − 3) − (5x² − 3x − 9) = 2x − 3 − 5x² + 3x + 9 = −5x² + 5x + 6.
г) (x² − 5x + 6) − (5x² − 3x − 9) = x² − 5x + 6 − 5x² + 3x + 9 = −4x² − 2x + 15.
611. Упростите выражение: а) (a² − 0,45a + 1,2) + (0,8a² − 1,2a) − (1,6a² − 2a); б) (y² − 1,75y − 3,2) − (0,3y² + 4) − (2y − 7,2); в) 6xy − 2x² − (3xy + 4x² + 1) − (−xy − 2x² − 1); г) −(2ab² − ab + b) + 3ab² − 4b − (5ab − ab²).
а) a² − 0,45a + 1,2 + 0,8a² − 1,2a − 1,6a² + 2a = (1 + 0,8 − 1,6)a² + (−0,45 − 1,2 + 2)a + 1,2 = 0,2a² + 0,35a + 1,2.
б) y² − 1,75y − 3,2 − 0,3y² − 4 − 2y + 7,2 = 0,7y² − 3,75y + (−3,2 − 4 + 7,2) = 0,7y² − 3,75y.
в) 6xy − 2x² − 3xy − 4x² − 1 + xy + 2x² + 1 = 4xy − 4x².
г) −2ab² + ab − b + 3ab² − 4b − 5ab + ab² = 2ab² − 4ab − 5b.
б) y² − 1,75y − 3,2 − 0,3y² − 4 − 2y + 7,2 = 0,7y² − 3,75y + (−3,2 − 4 + 7,2) = 0,7y² − 3,75y.
в) 6xy − 2x² − 3xy − 4x² − 1 + xy + 2x² + 1 = 4xy − 4x².
г) −2ab² + ab − b + 3ab² − 4b − 5ab + ab² = 2ab² − 4ab − 5b.
612. Упростите выражение: а) 8a²b + (−5a²b + 4b²) + (a²b − 5b² + 2); б) (xy + x² + y²) − (x² + y² − 2xy) − xy.
а) 8a²b − 5a²b + 4b² + a²b − 5b² + 2 = 4a²b − b² + 2.
б) xy + x² + y² − x² − y² + 2xy − xy = 2xy.
б) xy + x² + y² − x² − y² + 2xy − xy = 2xy.
613. Найдите значение выражения (5,7a²b − 3,1ab + 8b³) − (6,9ab − 2,3a²b + 8b³), если: а) a = 2 и b = 5; б) a = −2 и b = 3.
Упростим: 5,7a²b − 3,1ab + 8b³ − 6,9ab + 2,3a²b − 8b³ = 8a²b − 10ab.
а) При a = 2, b = 5: 8 · 4 · 5 − 10 · 10 = 160 − 100 = 60.
б) При a = −2, b = 3: 8 · 4 · 3 − 10 · (−6) = 96 + 60 = 156.
Ответ: а) 60; б) 156.
а) При a = 2, b = 5: 8 · 4 · 5 − 10 · 10 = 160 − 100 = 60.
б) При a = −2, b = 3: 8 · 4 · 3 − 10 · (−6) = 96 + 60 = 156.
Ответ: а) 60; б) 156.
614. Вычислите значение выражения 5x² − (3xy − 7x²) + (5xy − 12x²), если: а) x = −0,25 и y = 4; б) x = −5 и y = 0,1.
Упростим: 5x² − 3xy + 7x² + 5xy − 12x² = 2xy.
а) 2 · (−0,25) · 4 = −2.
б) 2 · (−5) · 0,1 = −1.
Ответ: а) −2; б) −1.
а) 2 · (−0,25) · 4 = −2.
б) 2 · (−5) · 0,1 = −1.
Ответ: а) −2; б) −1.
615. Докажите, что при любом значении x разность многочленов 0,7x⁴ + 0,2x² − 5 и −0,3x⁴ + 1/5 x² − 8 принимает положительное значение.
Так как 1/5 = 0,2, составим разность:
(0,7x⁴ + 0,2x² − 5) − (−0,3x⁴ + 0,2x² − 8) = 0,7x⁴ + 0,2x² − 5 + 0,3x⁴ − 0,2x² + 8 = x⁴ + 3.
При любом x имеем x⁴ ≥ 0, поэтому x⁴ + 3 ≥ 3 > 0. Значит, разность принимает только положительные значения.
(0,7x⁴ + 0,2x² − 5) − (−0,3x⁴ + 0,2x² − 8) = 0,7x⁴ + 0,2x² − 5 + 0,3x⁴ − 0,2x² + 8 = x⁴ + 3.
При любом x имеем x⁴ ≥ 0, поэтому x⁴ + 3 ≥ 3 > 0. Значит, разность принимает только положительные значения.
616. (Для работы в парах.) Учащимся была предложена задача: «Найдите значение выражения (7a³ − 6a²b + 5ab²) + (5a³ + 7a²b + 3ab²) − (10a³ + a²b + 8ab²) при a = −0,25». Один из учеников сказал, что в задаче не хватает данных. Прав ли он?
1. Обсудите друг с другом, в каком случае ученик окажется прав.
2. Выполните преобразования.
3. Сделайте вывод.
1) Ученик был бы прав, если бы после упрощения выражение содержало переменную b: тогда для вычисления нужно было бы знать и её значение.
2) Раскроем скобки и приведём подобные члены:
7a³ − 6a²b + 5ab² + 5a³ + 7a²b + 3ab² − 10a³ − a²b − 8ab².
a³: 7 + 5 − 10 = 2; a²b: −6 + 7 − 1 = 0; ab²: 5 + 3 − 8 = 0. Получаем 2a³.
3) Выражение не зависит от b, поэтому данных достаточно, ученик не прав. При a = −0,25: 2 · (−0,25)³ = 2 · (−0,015625) = −0,03125.
Ответ: не прав; значение выражения равно −0,03125.
2) Раскроем скобки и приведём подобные члены:
7a³ − 6a²b + 5ab² + 5a³ + 7a²b + 3ab² − 10a³ − a²b − 8ab².
a³: 7 + 5 − 10 = 2; a²b: −6 + 7 − 1 = 0; ab²: 5 + 3 − 8 = 0. Получаем 2a³.
3) Выражение не зависит от b, поэтому данных достаточно, ученик не прав. При a = −0,25: 2 · (−0,25)³ = 2 · (−0,015625) = −0,03125.
Ответ: не прав; значение выражения равно −0,03125.
617. Какой двучлен нужно сложить с многочленом x² + y² − 2xy + 1, чтобы в результате получился многочлен: а) не содержащий переменную x; б) не содержащий переменную y?
а) Чтобы исчезли члены с x, нужно уничтожить x² и −2xy: прибавим двучлен −x² + 2xy. Тогда x² + y² − 2xy + 1 − x² + 2xy = y² + 1.
б) Нужно уничтожить y² и −2xy: прибавим двучлен −y² + 2xy. Тогда x² + y² − 2xy + 1 − y² + 2xy = x² + 1.
Ответ: а) −x² + 2xy; б) −y² + 2xy.
б) Нужно уничтожить y² и −2xy: прибавим двучлен −y² + 2xy. Тогда x² + y² − 2xy + 1 − y² + 2xy = x² + 1.
Ответ: а) −x² + 2xy; б) −y² + 2xy.