Глава III. Дополнительные упражнения к главе III. К параграфу 7 — с. 128
576. Упростите выражение: а) (−x²y²)^4 · (−xy)²; б) −(1/3 xy³)² · (−3x)³; в) (−2x³y²)³ · (−2y²)³; г) (1/3 a²b)³ · (9ab²)²; д) (−5a³b)² · (1/5 ab³)³; е) (−2/7 ab^4)² · (−3 1/2 a³b)²; ж) (x³y)² · (−5xy)³; з) (1/6 x²y²)² · (−12x³y^5)².
Возводим каждый сомножитель в степень, затем перемножаем.
а) x^8y^8 · x²y² = x^10y^10.
б) −(1/9 x²y^6) · (−27x³) = 3x^5y^6.
в) (−8x^9y^6) · (−8y^6) = 64x^9y^12.
г) 1/27 a^6b³ · 81a²b^4 = 3a^8b^7.
д) 25a^6b² · 1/125 a³b^9 = 1/5 a^9b^11.
е) 4/49 a²b^8 · (7/2)² a^6b² = 4/49 · 49/4 · a^8b^10 = a^8b^10.
ж) x^6y² · (−125x³y³) = −125x^9y^5.
з) 1/36 x^4y^4 · 144x^6y^10 = 4x^10y^14.
а) x^8y^8 · x²y² = x^10y^10.
б) −(1/9 x²y^6) · (−27x³) = 3x^5y^6.
в) (−8x^9y^6) · (−8y^6) = 64x^9y^12.
г) 1/27 a^6b³ · 81a²b^4 = 3a^8b^7.
д) 25a^6b² · 1/125 a³b^9 = 1/5 a^9b^11.
е) 4/49 a²b^8 · (7/2)² a^6b² = 4/49 · 49/4 · a^8b^10 = a^8b^10.
ж) x^6y² · (−125x³y³) = −125x^9y^5.
з) 1/36 x^4y^4 · 144x^6y^10 = 4x^10y^14.
577. Представьте выражение в виде произведения числа 3 и квадрата некоторого выражения: а) 3m^4n²; б) 12x^6y^4z²; в) 3/4 m^8n^4.
а) 3m^4n² = 3 · (m²n)².
б) 12x^6y^4z² = 3 · 4x^6y^4z² = 3 · (2x³y²z)².
в) 3/4 m^8n^4 = 3 · 1/4 m^8n^4 = 3 · (1/2 m^4n²)².
б) 12x^6y^4z² = 3 · 4x^6y^4z² = 3 · (2x³y²z)².
в) 3/4 m^8n^4 = 3 · 1/4 m^8n^4 = 3 · (1/2 m^4n²)².
578. На рисунке 81 построены графики функций y = x, y = x², y = x³, где x ≥ 0. Пользуясь графиком, сравните: а) 0,23 и 0,23²; 0,23 и 0,23³; 0,23² и 0,23³; б) 1,47 и 1,47²; 1,47 и 1,47³; 1,47² и 1,47³.
[рисунок 81: графики y = x, y = x², y = x³ при x ≥ 0; все три графика проходят через (0; 0) и (1; 1)]
При 0 < x < 1 график y = x расположен выше графика y = x², а тот выше графика y = x³. При x > 1 порядок обратный: выше всех y = x³, ниже всех y = x.
а) 0,23 < 1, поэтому x > x² > x³: 0,23 > 0,23²; 0,23 > 0,23³; 0,23² > 0,23³ (0,23 > 0,0529 > 0,012167).
б) 1,47 > 1, поэтому x < x² < x³: 1,47 < 1,47²; 1,47 < 1,47³; 1,47² < 1,47³ (1,47 < 2,1609 < 3,176523).
При 0 < x < 1 график y = x расположен выше графика y = x², а тот выше графика y = x³. При x > 1 порядок обратный: выше всех y = x³, ниже всех y = x.
а) 0,23 < 1, поэтому x > x² > x³: 0,23 > 0,23²; 0,23 > 0,23³; 0,23² > 0,23³ (0,23 > 0,0529 > 0,012167).
б) 1,47 > 1, поэтому x < x² < x³: 1,47 < 1,47²; 1,47 < 1,47³; 1,47² < 1,47³ (1,47 < 2,1609 < 3,176523).
579. а) Известно, что точка P(−4; b) принадлежит графику функции, заданной формулой y = x². Найдите значение b. Принадлежит ли графику этой функции точка Q(4; b)? б) Известно, что точка A(−4; a) принадлежит графику функции, заданной формулой y = x³. Найдите значение a. Принадлежит ли графику этой функции точка B(−4; −a)?
а) Подставляем x = −4: b = (−4)² = 16. Точка Q(4; 16): 4² = 16, равенство верно, поэтому Q принадлежит графику (график симметричен относительно оси y).
б) Подставляем x = −4: a = (−4)³ = −64. Точка B(−4; −a) = B(−4; 64): (−4)³ = −64 ≠ 64, поэтому B не принадлежит графику.
Ответ: а) b = 16, Q принадлежит; б) a = −64, B не принадлежит.
б) Подставляем x = −4: a = (−4)³ = −64. Точка B(−4; −a) = B(−4; 64): (−4)³ = −64 ≠ 64, поэтому B не принадлежит графику.
Ответ: а) b = 16, Q принадлежит; б) a = −64, B не принадлежит.
580. Точка A(a; b) принадлежит графику функции: а) y = x²; б) y = x³. Принадлежат ли этому графику точки B(−a; b), C(a; −b), D(−a; −b)?
а) Так как A принадлежит графику, b = a².
B(−a; b): (−a)² = a² = b — верно, B принадлежит.
C(a; −b): должно быть a² = −b, то есть b = −b, b = 0. При b ≠ 0 (a ≠ 0) C не принадлежит графику; при a = 0 точка совпадает с началом координат и принадлежит.
D(−a; −b): (−a)² = a² = b, а ордината −b; при b ≠ 0 равенство неверно, D не принадлежит.
б) Здесь b = a³.
B(−a; b): (−a)³ = −a³ = −b; при b ≠ 0 это не равно b, B не принадлежит.
C(a; −b): a³ = b ≠ −b при b ≠ 0, C не принадлежит.
D(−a; −b): (−a)³ = −a³ = −b — верно, D принадлежит графику (график симметричен относительно начала координат).
Замечание: при a = b = 0 все точки совпадают с началом координат и принадлежат графикам.
B(−a; b): (−a)² = a² = b — верно, B принадлежит.
C(a; −b): должно быть a² = −b, то есть b = −b, b = 0. При b ≠ 0 (a ≠ 0) C не принадлежит графику; при a = 0 точка совпадает с началом координат и принадлежит.
D(−a; −b): (−a)² = a² = b, а ордината −b; при b ≠ 0 равенство неверно, D не принадлежит.
б) Здесь b = a³.
B(−a; b): (−a)³ = −a³ = −b; при b ≠ 0 это не равно b, B не принадлежит.
C(a; −b): a³ = b ≠ −b при b ≠ 0, C не принадлежит.
D(−a; −b): (−a)³ = −a³ = −b — верно, D принадлежит графику (график симметричен относительно начала координат).
Замечание: при a = b = 0 все точки совпадают с началом координат и принадлежат графикам.
581. Расположите в порядке возрастания числа a, a² и a³, если: а) 0 < a < 1; б) a > 1; в) −1 < a < 0; г) a < −1.
Для проверки возьмём пример в каждом случае.
а) 0 < a < 1 (a = 0,5: a = 0,5; a² = 0,25; a³ = 0,125). Порядок: a³ < a² < a.
б) a > 1 (a = 2: 2; 4; 8). Порядок: a < a² < a³.
в) −1 < a < 0 (a = −0,5: a = −0,5; a² = 0,25; a³ = −0,125). Порядок: a < a³ < a².
г) a < −1 (a = −2: a = −2; a² = 4; a³ = −8). Порядок: a³ < a < a².
Обоснование: при a < 0 имеем a² > 0 > a³ и a; при |a| < 1 выполняется |a³| < |a|, при |a| > 1 — |a³| > |a|.
а) 0 < a < 1 (a = 0,5: a = 0,5; a² = 0,25; a³ = 0,125). Порядок: a³ < a² < a.
б) a > 1 (a = 2: 2; 4; 8). Порядок: a < a² < a³.
в) −1 < a < 0 (a = −0,5: a = −0,5; a² = 0,25; a³ = −0,125). Порядок: a < a³ < a².
г) a < −1 (a = −2: a = −2; a² = 4; a³ = −8). Порядок: a³ < a < a².
Обоснование: при a < 0 имеем a² > 0 > a³ и a; при |a| < 1 выполняется |a³| < |a|, при |a| > 1 — |a³| > |a|.
582. Решите графически уравнение: а) x² = 2 − x; б) x² = 8; в) x³ = 6; г) x³ = −x + 4.
Корни — абсциссы точек пересечения графиков левой и правой частей.
а) Строим параболу y = x² и прямую y = 2 − x (через точки (0; 2) и (2; 0)). Они пересекаются в точках (−2; 4) и (1; 1). Проверка: (−2)² = 4 = 2 − (−2); 1² = 1 = 2 − 1. Корни: x = −2, x = 1.
б) Строим параболу y = x² и прямую y = 8. Они пересекаются в двух точках с абсциссами x ≈ −2,8 и x ≈ 2,8 (точные значения ±√8 ≈ ±2,83).
в) Строим график y = x³ и прямую y = 6. Пересечение одно, абсцисса x ≈ 1,8 (∛6 ≈ 1,82).
г) Строим график y = x³ и прямую y = −x + 4 (через точки (0; 4) и (4; 0)). Пересечение одно, абсцисса x ≈ 1,4 (проверка: 1,4³ = 2,744, −1,4 + 4 = 2,6; значения близки).
Ответ: а) −2; 1; б) ≈ −2,8; ≈ 2,8; в) ≈ 1,8; г) ≈ 1,4.
Оговорка: на рисунке для в) и г) показан фрагмент графика y = x³ при −1,5 ≤ x ≤ 2,3; корни б), в), г) приближённые.
а) Строим параболу y = x² и прямую y = 2 − x (через точки (0; 2) и (2; 0)). Они пересекаются в точках (−2; 4) и (1; 1). Проверка: (−2)² = 4 = 2 − (−2); 1² = 1 = 2 − 1. Корни: x = −2, x = 1.
б) Строим параболу y = x² и прямую y = 8. Они пересекаются в двух точках с абсциссами x ≈ −2,8 и x ≈ 2,8 (точные значения ±√8 ≈ ±2,83).
в) Строим график y = x³ и прямую y = 6. Пересечение одно, абсцисса x ≈ 1,8 (∛6 ≈ 1,82).
г) Строим график y = x³ и прямую y = −x + 4 (через точки (0; 4) и (4; 0)). Пересечение одно, абсцисса x ≈ 1,4 (проверка: 1,4³ = 2,744, −1,4 + 4 = 2,6; значения близки).
Ответ: а) −2; 1; б) ≈ −2,8; ≈ 2,8; в) ≈ 1,8; г) ≈ 1,4.
Оговорка: на рисунке для в) и г) показан фрагмент графика y = x³ при −1,5 ≤ x ≤ 2,3; корни б), в), г) приближённые.