Глава III. Дополнительные упражнения к главе III. К параграфам 6 и 7 — с. 127
566. При каком условии: а) сумма квадратов двух чисел равна нулю; б) квадрат суммы двух чисел равен нулю?
а) Квадраты любых чисел неотрицательны, поэтому сумма двух квадратов равна нулю только тогда, когда каждый из них равен нулю: a² = 0 и b² = 0, то есть a = 0 и b = 0. Условие: оба числа равны нулю.
б) (a + b)² = 0 тогда и только тогда, когда a + b = 0, то есть числа a и b противоположны (b = −a).
б) (a + b)² = 0 тогда и только тогда, когда a + b = 0, то есть числа a и b противоположны (b = −a).
567. Натуральное число a оканчивается единицей. Какой цифрой оканчивается степень числа a с натуральным показателем?
Для каких ещё цифр выполняется аналогичное свойство?
Произведение чисел, оканчивающихся единицей, оканчивается единицей (последняя цифра произведения определяется произведением последних цифр: 1 · 1 = 1). Поэтому любая натуральная степень числа a оканчивается единицей.
Аналогичное свойство справедливо для чисел, оканчивающихся цифрами 0, 5 и 6: 0 · 0 = 0, 5 · 5 = 25 (последняя цифра 5), 6 · 6 = 36 (последняя цифра 6). Степени таких чисел оканчиваются той же цифрой: 0, 5 или 6.
Аналогичное свойство справедливо для чисел, оканчивающихся цифрами 0, 5 и 6: 0 · 0 = 0, 5 · 5 = 25 (последняя цифра 5), 6 · 6 = 36 (последняя цифра 6). Степени таких чисел оканчиваются той же цифрой: 0, 5 или 6.
568. Докажите, что при любом натуральном k: а) число 3^(4k) оканчивается единицей; б) число 10^k − 1 кратно 3.
а) 3^(4k) = (3^4)^k = 81^k. Число 81 оканчивается единицей, значит, и любая его натуральная степень оканчивается единицей.
б) Число 10^k − 1 записывается k девятками: 99…9 = 9 · 11…1 = 3 · (3 · 11…1). Один из множителей равен 3, следовательно, число кратно 3. (Можно иначе: сумма цифр 9k делится на 3.)
б) Число 10^k − 1 записывается k девятками: 99…9 = 9 · 11…1 = 3 · (3 · 11…1). Один из множителей равен 3, следовательно, число кратно 3. (Можно иначе: сумма цифр 9k делится на 3.)
569. Какова степень одночлена: а) 3x³y^7; б) −10ab²c³; в) a^9b^9; г) −xyz; д) −8x^0; е) 2,4?
Степень одночлена — сумма показателей всех его переменных; у ненулевого числа степень равна нулю.
а) 3 + 7 = 10.
б) 1 + 2 + 3 = 6.
в) 9 + 9 = 18.
г) 1 + 1 + 1 = 3.
д) x^0 = 1, поэтому −8x^0 = −8 — число, отличное от нуля; степень равна 0.
е) 2,4 — число, степень 0.
а) 3 + 7 = 10.
б) 1 + 2 + 3 = 6.
в) 9 + 9 = 18.
г) 1 + 1 + 1 = 3.
д) x^0 = 1, поэтому −8x^0 = −8 — число, отличное от нуля; степень равна 0.
е) 2,4 — число, степень 0.
570. Представьте выражение в виде одночлена стандартного вида и укажите его степень: а) 5ab · 0,7bc · 40ac; б) −0,45bd · (−1 1/9 ad) · 9ab; в) −a³b · 3a²b^4; г) 0,6x³y · (−0,5xy³).
а) Коэффициент 5 · 0,7 · 40 = 140; a: 1 + 1 = 2, b: 1 + 1 = 2, c: 1 + 1 = 2. Получаем 140a²b²c²; степень 2 + 2 + 2 = 6.
б) Коэффициент −0,45 · (−10/9) · 9 = 0,45 · 10 = 4,5; a: 1 + 1 = 2, b: 1 + 1 = 2, d: 1 + 1 = 2. Получаем 4,5a²b²d²; степень 6.
в) −a³b · 3a²b^4 = −3a^5b^5; степень 10.
г) 0,6x³y · (−0,5xy³) = −0,3x^4y^4; степень 8.
б) Коэффициент −0,45 · (−10/9) · 9 = 0,45 · 10 = 4,5; a: 1 + 1 = 2, b: 1 + 1 = 2, d: 1 + 1 = 2. Получаем 4,5a²b²d²; степень 6.
в) −a³b · 3a²b^4 = −3a^5b^5; степень 10.
г) 0,6x³y · (−0,5xy³) = −0,3x^4y^4; степень 8.
571. Составьте все возможные одночлены стандартного вида с коэффициентом 5, содержащие переменные x и y, такие, что степень каждого одночлена равна: а) трём; б) четырём.
Одночлен имеет вид 5x^my^n, где m и n — натуральные числа (обе переменные присутствуют), и m + n равно степени.
а) m + n = 3: (m; n) = (1; 2) или (2; 1). Одночлены: 5xy² и 5x²y.
б) m + n = 4: (1; 3), (2; 2), (3; 1). Одночлены: 5xy³, 5x²y², 5x³y.
а) m + n = 3: (m; n) = (1; 2) или (2; 1). Одночлены: 5xy² и 5x²y.
б) m + n = 4: (1; 3), (2; 2), (3; 1). Одночлены: 5xy³, 5x²y², 5x³y.
572. Представьте выражение в виде произведения двух одночленов стандартного вида, один из которых равен 20x^4y: а) 100x^5y³; б) −30x^4y^5; в) −4x^16y; г) x^10y²; д) 5x^8y; е) −x^4y².
Второй множитель находим делением: делим коэффициенты и вычитаем показатели.
а) 100x^5y³ = 20x^4y · 5xy².
б) −30x^4y^5 = 20x^4y · (−1,5y^4).
в) −4x^16y = 20x^4y · (−0,2x^12).
г) x^10y² = 20x^4y · 0,05x^6y.
д) 5x^8y = 20x^4y · 0,25x^4.
е) −x^4y² = 20x^4y · (−0,05y).
Проверка в каждом случае — умножением.
а) 100x^5y³ = 20x^4y · 5xy².
б) −30x^4y^5 = 20x^4y · (−1,5y^4).
в) −4x^16y = 20x^4y · (−0,2x^12).
г) x^10y² = 20x^4y · 0,05x^6y.
д) 5x^8y = 20x^4y · 0,25x^4.
е) −x^4y² = 20x^4y · (−0,05y).
Проверка в каждом случае — умножением.
573. Представьте данный одночлен в виде произведения каких-нибудь двух одночленов стандартного вида: а) −8a^5c³; б) −b^6y^9; в) 60x^10y^15.
Распределяем коэффициент и показатели между двумя множителями (возможны другие варианты).
а) −8a^5c³ = (−2a²c) · (4a³c²).
б) −b^6y^9 = (−b³y^4) · (b³y^5).
в) 60x^10y^15 = (6x^5y^5) · (10x^5y^10).
а) −8a^5c³ = (−2a²c) · (4a³c²).
б) −b^6y^9 = (−b³y^4) · (b³y^5).
в) 60x^10y^15 = (6x^5y^5) · (10x^5y^10).
574. Преобразуйте выражение в тождественно равный одночлен стандартного вида: а) (−10ab^12)²; б) (−0,2x^4y)^4; в) (−3xy²a³)³; г) (−0,5ab²c³)^4.
Возводим в степень каждый множитель.
а) (−10ab^12)² = 100a²b^24.
б) (−0,2x^4y)^4 = 0,0016x^16y^4.
в) (−3xy²a³)³ = −27x³y^6a^9.
г) (−0,5ab²c³)^4 = 0,0625a^4b^8c^12.
а) (−10ab^12)² = 100a²b^24.
б) (−0,2x^4y)^4 = 0,0016x^16y^4.
в) (−3xy²a³)³ = −27x³y^6a^9.
г) (−0,5ab²c³)^4 = 0,0625a^4b^8c^12.
575. Представьте произведение одночленов в виде степени некоторого одночлена: а) 27a²b^5 · 3a^10b³; б) −64a^8x^11 · (−0,25a²x^9); в) 0,01b^5c³ · (−0,1bc^6); г) −9/16 p^9q^14 · 3/4 p³q^4.
Перемножаем одночлены, затем подбираем показатель так, чтобы коэффициент и все показатели переменных делились на него.
а) 27a²b^5 · 3a^10b³ = 81a^12b^8 = (3a³b²)^4.
б) −64a^8x^11 · (−0,25a²x^9) = 16a^10x^20 = (4a^5x^10)².
в) 0,01b^5c³ · (−0,1bc^6) = −0,001b^6c^9 = (−0,1b²c³)³.
г) −9/16 p^9q^14 · 3/4 p³q^4 = −27/64 p^12q^18 = (−3/4 p^4q^6)³.
а) 27a²b^5 · 3a^10b³ = 81a^12b^8 = (3a³b²)^4.
б) −64a^8x^11 · (−0,25a²x^9) = 16a^10x^20 = (4a^5x^10)².
в) 0,01b^5c³ · (−0,1bc^6) = −0,001b^6c^9 = (−0,1b²c³)³.
г) −9/16 p^9q^14 · 3/4 p³q^4 = −27/64 p^12q^18 = (−3/4 p^4q^6)³.