Глава III. Дополнительные упражнения к главе III. К параграфу 6 — с. 126
553. Вычислите: а) (217 − 43,07 · 5)^0 + 5 · 1/3; б) 17,83^0 · 6,4 + 1/7 · 2,8.
Любое число, не равное нулю, в нулевой степени равно 1.
а) 43,07 · 5 = 215,35, 217 − 215,35 = 1,65 ≠ 0, поэтому (…)^0 = 1. Тогда 1 + 5/3 = 1 + 1 2/3 = 2 2/3.
б) 17,83^0 = 1, значит 1 · 6,4 + 2,8/7 = 6,4 + 0,4 = 6,8.
Ответ: а) 2 2/3; б) 6,8.
а) 43,07 · 5 = 215,35, 217 − 215,35 = 1,65 ≠ 0, поэтому (…)^0 = 1. Тогда 1 + 5/3 = 1 + 1 2/3 = 2 2/3.
б) 17,83^0 = 1, значит 1 · 6,4 + 2,8/7 = 6,4 + 0,4 = 6,8.
Ответ: а) 2 2/3; б) 6,8.
554. Упростите: а) (−1)^n · (−1)^n; б) (−1)^(2n) : (−1)³.
а) (−1)^n · (−1)^n = (−1)^(2n) = ((−1)²)^n = 1^n = 1.
б) (−1)^(2n) = 1 (чётный показатель), (−1)³ = −1, поэтому 1 : (−1) = −1.
Ответ: а) 1; б) −1.
б) (−1)^(2n) = 1 (чётный показатель), (−1)³ = −1, поэтому 1 : (−1) = −1.
Ответ: а) 1; б) −1.
555. Площадь круга вычисляется по формуле S = πr², где r — радиус круга. Как изменится площадь круга, если его радиус увеличить в 3 раза; в 7 раз?
Если радиус увеличить в 3 раза, новый радиус равен 3r, площадь S₁ = π(3r)² = 9πr² = 9S: площадь увеличится в 9 раз.
Если радиус увеличить в 7 раз, S₂ = π(7r)² = 49πr² = 49S: площадь увеличится в 49 раз.
Если радиус увеличить в 7 раз, S₂ = π(7r)² = 49πr² = 49S: площадь увеличится в 49 раз.
556. Объём шара вычисляется по формуле V = 4/3 πr³, где r — радиус шара. Как изменится объём шара, если радиус увеличить в 2 раза; в 4 раза?
При радиусе 2r объём V₁ = 4/3 π(2r)³ = 8 · 4/3 πr³ = 8V: объём увеличится в 8 раз.
При радиусе 4r объём V₂ = 4/3 π(4r)³ = 64 · 4/3 πr³ = 64V: объём увеличится в 64 раза.
При радиусе 4r объём V₂ = 4/3 π(4r)³ = 64 · 4/3 πr³ = 64V: объём увеличится в 64 раза.
557. Верно ли при любом значении x равенство: а) |x|² = x²; б) |x|³ = x³?
а) Модуль равен самому числу или противоположному ему числу, а квадраты противоположных чисел равны: |x|² = x² при любом x. Равенство верно.
б) При x ≥ 0 имеем |x| = x, равенство верно. При x < 0 имеем |x| = −x, и |x|³ = (−x)³ = −x³, что не равно x³ (например, при x = −1: |−1|³ = 1, а (−1)³ = −1). Равенство верно не при любом x.
б) При x ≥ 0 имеем |x| = x, равенство верно. При x < 0 имеем |x| = −x, и |x|³ = (−x)³ = −x³, что не равно x³ (например, при x = −1: |−1|³ = 1, а (−1)³ = −1). Равенство верно не при любом x.
558. Найдите значение выражения: а) 4^5 · 2,5^5; б) (1/3)^13 · 3^13; в) 0,2^9 · 5^7; г) 0,4^10 · 2,5^12; д) 0,2^6 · 25³; е) (1/9)^6 · 81^4.
Используем a^n · b^n = (ab)^n.
а) 4^5 · 2,5^5 = (4 · 2,5)^5 = 10^5 = 100 000.
б) (1/3)^13 · 3^13 = (1/3 · 3)^13 = 1.
в) 0,2^9 · 5^7 = 0,2² · (0,2 · 5)^7 = 0,04 · 1 = 0,04.
г) 0,4^10 · 2,5^12 = (0,4 · 2,5)^10 · 2,5² = 1 · 6,25 = 6,25.
д) 25³ = 5^6, поэтому 0,2^6 · 5^6 = (0,2 · 5)^6 = 1.
е) 81^4 = 9^8, поэтому (1/9)^6 · 9^8 = (1/9 · 9)^6 · 9² = 81.
а) 4^5 · 2,5^5 = (4 · 2,5)^5 = 10^5 = 100 000.
б) (1/3)^13 · 3^13 = (1/3 · 3)^13 = 1.
в) 0,2^9 · 5^7 = 0,2² · (0,2 · 5)^7 = 0,04 · 1 = 0,04.
г) 0,4^10 · 2,5^12 = (0,4 · 2,5)^10 · 2,5² = 1 · 6,25 = 6,25.
д) 25³ = 5^6, поэтому 0,2^6 · 5^6 = (0,2 · 5)^6 = 1.
е) 81^4 = 9^8, поэтому (1/9)^6 · 9^8 = (1/9 · 9)^6 · 9² = 81.
559. Сравните значения выражений: а) 10^7 и 2^8 · 5^7; б) 6^12 и 2^13 · 3^11; в) 25^25 и 2^50 · 3^50; г) 63^30 и 3^60 · 5^30.
а) 2^8 · 5^7 = 2 · 2^7 · 5^7 = 2 · 10^7 > 10^7. Значит, 10^7 < 2^8 · 5^7.
б) 6^12 = 2^12 · 3^12 = 2^12 · 3^11 · 3, а 2^13 · 3^11 = 2^12 · 3^11 · 2. Так как 3 > 2, то 6^12 > 2^13 · 3^11.
в) 25^25 = (5²)^25 = 5^50, 2^50 · 3^50 = 6^50. Так как 5 < 6, то 25^25 < 2^50 · 3^50.
г) 63^30 = (7 · 9)^30 = 7^30 · 3^60. Сравниваем 7^30 · 3^60 и 5^30 · 3^60: 7^30 > 5^30, поэтому 63^30 > 3^60 · 5^30.
б) 6^12 = 2^12 · 3^12 = 2^12 · 3^11 · 3, а 2^13 · 3^11 = 2^12 · 3^11 · 2. Так как 3 > 2, то 6^12 > 2^13 · 3^11.
в) 25^25 = (5²)^25 = 5^50, 2^50 · 3^50 = 6^50. Так как 5 < 6, то 25^25 < 2^50 · 3^50.
г) 63^30 = (7 · 9)^30 = 7^30 · 3^60. Сравниваем 7^30 · 3^60 и 5^30 · 3^60: 7^30 > 5^30, поэтому 63^30 > 3^60 · 5^30.
560. Представьте выражение в виде 3^n или −3^n: а) (−3³)²; б) (−3²)³; в) −(3^4)²; г) −(−3²)³.
а) (−3³)² = (3³)² = 3^6 (квадрат отрицательного числа положителен).
б) (−3²)³ = −(3²)³ = −3^6.
в) −(3^4)² = −3^8.
г) −(−3²)³ = −(−3^6) = 3^6.
б) (−3²)³ = −(3²)³ = −3^6.
в) −(3^4)² = −3^8.
г) −(−3²)³ = −(−3^6) = 3^6.
561. Упростите выражение: а) (x³)² · (−x³)^4; б) (−y³)^7 · (−y^4)^5; в) (x^7)^5 · (−x²)^6; г) (−c^9)^4 · (c^5)².
а) (x³)² · (−x³)^4 = x^6 · x^12 = x^18.
б) (−y³)^7 = −y^21, (−y^4)^5 = −y^20; произведение (−y^21)(−y^20) = y^41.
в) (x^7)^5 · (−x²)^6 = x^35 · x^12 = x^47.
г) (−c^9)^4 · (c^5)² = c^36 · c^10 = c^46.
б) (−y³)^7 = −y^21, (−y^4)^5 = −y^20; произведение (−y^21)(−y^20) = y^41.
в) (x^7)^5 · (−x²)^6 = x^35 · x^12 = x^47.
г) (−c^9)^4 · (c^5)² = c^36 · c^10 = c^46.
562. Замените букву p выражением так, чтобы полученное равенство было тождеством: а) p^5 = x^20; б) p^7 = x^21; в) p³c^8 = c^20; г) y^7 · (y²)^4 = p^5.
а) x^20 = (x^4)^5, значит, p = x^4.
б) x^21 = (x³)^7, значит, p = x³.
в) p³ = c^20 : c^8 = c^12 = (c^4)³, значит, p = c^4.
г) y^7 · (y²)^4 = y^7 · y^8 = y^15 = (y³)^5, значит, p = y³.
б) x^21 = (x³)^7, значит, p = x³.
в) p³ = c^20 : c^8 = c^12 = (c^4)³, значит, p = c^4.
г) y^7 · (y²)^4 = y^7 · y^8 = y^15 = (y³)^5, значит, p = y³.
563. Представьте в виде степени: а) 4^5 · 2^21; б) 25^13 : 5^11; в) 8^5 · 16^13; г) 27^10 : 9^15.
Приведём числа к одному основанию.
а) 4^5 = 2^10, 2^10 · 2^21 = 2^31.
б) 25^13 = 5^26, 5^26 : 5^11 = 5^15.
в) 8^5 = 2^15, 16^13 = 2^52, 2^15 · 2^52 = 2^67.
г) 27^10 = 3^30, 9^15 = 3^30, 3^30 : 3^30 = 3^0 = 1.
а) 4^5 = 2^10, 2^10 · 2^21 = 2^31.
б) 25^13 = 5^26, 5^26 : 5^11 = 5^15.
в) 8^5 = 2^15, 16^13 = 2^52, 2^15 · 2^52 = 2^67.
г) 27^10 = 3^30, 9^15 = 3^30, 3^30 : 3^30 = 3^0 = 1.
564. Представьте выражение в виде x^n или −x^n: а) (−x³)^7; б) (−x²)^5; в) (−x)^4 x^8; г) (−x^5)^7 · (x²)³.
а) (−x³)^7 = −x^21.
б) (−x²)^5 = −x^10.
в) (−x)^4 x^8 = x^4 · x^8 = x^12.
г) (−x^5)^7 · (x²)³ = −x^35 · x^6 = −x^41.
б) (−x²)^5 = −x^10.
в) (−x)^4 x^8 = x^4 · x^8 = x^12.
г) (−x^5)^7 · (x²)³ = −x^35 · x^6 = −x^41.
565. Сколькими способами можно представить в виде степени с показателем, отличным от 1, число: а) 2^15; б) 2^6?
Степень 2^15 можно записать как (2^k)^m при km = 15, а показатель любой такой записи — делитель числа 15, отличный от 1.
а) Делители 15, кроме 1: 3, 5, 15. Способы: 2^15 = (2^5)³ = 32³; 2^15 = (2³)^5 = 8^5; 2^15 (показатель 15). Всего 3 способа.
б) Делители 6, кроме 1: 2, 3, 6. Способы: 2^6 = (2³)² = 8²; 2^6 = (2²)³ = 4³; 2^6. Всего 3 способа.
Ответ: а) тремя; б) тремя.
Оговорка: в число способов включена и запись самой степени 2^15 (2^6) с показателем, отличным от 1; основания считаются натуральными числами.
а) Делители 15, кроме 1: 3, 5, 15. Способы: 2^15 = (2^5)³ = 32³; 2^15 = (2³)^5 = 8^5; 2^15 (показатель 15). Всего 3 способа.
б) Делители 6, кроме 1: 2, 3, 6. Способы: 2^6 = (2³)² = 8²; 2^6 = (2²)³ = 4³; 2^6. Всего 3 способа.
Ответ: а) тремя; б) тремя.
Оговорка: в число способов включена и запись самой степени 2^15 (2^6) с показателем, отличным от 1; основания считаются натуральными числами.