Глава III. Дополнительные упражнения к главе III. К параграфу 6 — с. 124
526. Верно ли равенство: а) 3² + 4² + 5² = 6²; б) (1 + 2 + 3 + 4)² = 1³ + 2³ + 3³ + 4³?
а) Левая часть: 9 + 16 + 25 = 50, правая: 6² = 36. 50 ≠ 36, равенство неверно.
б) Левая часть: (1 + 2 + 3 + 4)² = 10² = 100. Правая: 1 + 8 + 27 + 64 = 100. Равенство верно.
б) Левая часть: (1 + 2 + 3 + 4)² = 10² = 100. Правая: 1 + 8 + 27 + 64 = 100. Равенство верно.
527. Докажите, что 26^7 + 15^5 − 11^9 кратно 10.
Число кратно 10, если оно оканчивается нулём. 26^7 оканчивается на 6, 15^5 — на 5, 11^9 — на 1 (степени чисел, оканчивающихся на 6, 5, 1, оканчиваются теми же цифрами). Последняя цифра выражения совпадает с последней цифрой числа 6 + 5 − 1 = 10, то есть равна 0 (сумма 26^7 + 15^5 больше 11^9, поэтому результат положителен). Значит, число кратно 10.
528. Разложив число на простые множители, представьте его в виде произведения степеней простых чисел: а) 54; б) 144; в) 225; г) 500.
а) 54 = 2 · 27 = 2 · 3³.
б) 144 = 2^4 · 3² (144 = 16 · 9).
в) 225 = 9 · 25 = 3² · 5².
г) 500 = 4 · 125 = 2² · 5³.
б) 144 = 2^4 · 3² (144 = 16 · 9).
в) 225 = 9 · 25 = 3² · 5².
г) 500 = 4 · 125 = 2² · 5³.
529. Представьте число в виде степени с основанием 2 или 3: а) 64; б) 81; в) 512; г) 729; д) 1024.
а) 64 = 2^6.
б) 81 = 3^4.
в) 512 = 2^9.
г) 729 = 3^6.
д) 1024 = 2^10.
б) 81 = 3^4.
в) 512 = 2^9.
г) 729 = 3^6.
д) 1024 = 2^10.
530. Представьте число в виде суммы степеней числа 2: а) 6; б) 18; в) 42.
а) 6 = 4 + 2 = 2² + 2.
б) 18 = 16 + 2 = 2^4 + 2.
в) 42 = 32 + 8 + 2 = 2^5 + 2³ + 2.
б) 18 = 16 + 2 = 2^4 + 2.
в) 42 = 32 + 8 + 2 = 2^5 + 2³ + 2.
531. Представьте число в виде степени с показателем, отличным от 1: а) 121; б) −32; в) 0,125; г) 625; д) −0,216; е) 0,343.
а) 121 = 11².
б) −32 = (−2)^5.
в) 0,125 = 0,5³.
г) 625 = 5^4 (или 25²).
д) −0,216 = (−0,6)³.
е) 0,343 = 0,7³.
б) −32 = (−2)^5.
в) 0,125 = 0,5³.
г) 625 = 5^4 (или 25²).
д) −0,216 = (−0,6)³.
е) 0,343 = 0,7³.
532. Найдите значение выражения: а) 0,001x² при x = −2; б) 1000y³ при y = 0,1; в) x²y^4 при x = 5, y = 2; г) 3x³y³ при x = −2, y = −5.
а) 0,001 · (−2)² = 0,001 · 4 = 0,004.
б) 1000 · 0,1³ = 1000 · 0,001 = 1.
в) 5² · 2^4 = 25 · 16 = 400.
г) 3 · (−2)³ · (−5)³ = 3 · (−8) · (−125) = 3 · 1000 = 3000.
б) 1000 · 0,1³ = 1000 · 0,001 = 1.
в) 5² · 2^4 = 25 · 16 = 400.
г) 3 · (−2)³ · (−5)³ = 3 · (−8) · (−125) = 3 · 1000 = 3000.
533. Найдите значение выражения (−1)^n при n, равном: а) 6; б) 11; в) 23; г) 70.
Если n чётное, то (−1)^n = 1; если n нечётное, то (−1)^n = −1.
а) n = 6 — чётное: 1.
б) n = 11 — нечётное: −1.
в) n = 23 — нечётное: −1.
г) n = 70 — чётное: 1.
а) n = 6 — чётное: 1.
б) n = 11 — нечётное: −1.
в) n = 23 — нечётное: −1.
г) n = 70 — чётное: 1.
534. Вычислите: а) сумму кубов чисел 5 и −3; б) куб суммы чисел 9 и −11; в) разность квадратов чисел 12 и 8; г) квадрат разности чисел 96 и −4; д) удвоенное произведение квадратов чисел 7 и −5; е) утроенное произведение числа 15 и квадрата числа 4.
а) 5³ + (−3)³ = 125 − 27 = 98.
б) (9 + (−11))³ = (−2)³ = −8.
в) 12² − 8² = 144 − 64 = 80.
г) (96 − (−4))² = 100² = 10 000.
д) 2 · 7² · (−5)² = 2 · 49 · 25 = 2450.
е) 3 · 15 · 4² = 3 · 15 · 16 = 720.
б) (9 + (−11))³ = (−2)³ = −8.
в) 12² − 8² = 144 − 64 = 80.
г) (96 − (−4))² = 100² = 10 000.
д) 2 · 7² · (−5)² = 2 · 49 · 25 = 2450.
е) 3 · 15 · 4² = 3 · 15 · 16 = 720.
535. Не выполняя вычислений, сравните значения выражений: а) (−0,03)^8 и 0; б) 0 и (−1,25)^7; в) (−1,75)³ и (−0,29)²; г) 0,98^6 и 1,02^6.
а) Чётная степень числа, отличного от нуля, положительна: (−0,03)^8 > 0.
б) Нечётная степень отрицательного числа отрицательна: (−1,25)^7 < 0, поэтому 0 > (−1,25)^7.
в) (−1,75)³ < 0, а (−0,29)² > 0, значит, (−1,75)³ < (−0,29)².
г) 0,98 < 1,02, оба числа положительны, поэтому 0,98^6 < 1,02^6 (большему положительному основанию соответствует большая степень при одном показателе).
б) Нечётная степень отрицательного числа отрицательна: (−1,25)^7 < 0, поэтому 0 > (−1,25)^7.
в) (−1,75)³ < 0, а (−0,29)² > 0, значит, (−1,75)³ < (−0,29)².
г) 0,98 < 1,02, оба числа положительны, поэтому 0,98^6 < 1,02^6 (большему положительному основанию соответствует большая степень при одном показателе).
536. Что больше и на сколько: а) 2³ или 3²; б) 5² или 2^5; в) 2 · 3² или 3 · 2³; г) (11 + 19)² или 11² + 19²?
а) 2³ = 8, 3² = 9: 3² больше на 1.
б) 5² = 25, 2^5 = 32: 2^5 больше на 7.
в) 2 · 3² = 18, 3 · 2³ = 24: 3 · 2³ больше на 6.
г) (11 + 19)² = 30² = 900, 11² + 19² = 121 + 361 = 482: (11 + 19)² больше на 418.
б) 5² = 25, 2^5 = 32: 2^5 больше на 7.
в) 2 · 3² = 18, 3 · 2³ = 24: 3 · 2³ больше на 6.
г) (11 + 19)² = 30² = 900, 11² + 19² = 121 + 361 = 482: (11 + 19)² больше на 418.
537. Сравните значения выражений a² и a³ при a, равном: а) −12; б) 0; в) 5.
а) a = −12: a² = 144, a³ = −1728; a² > a³.
б) a = 0: a² = 0, a³ = 0; значения равны.
в) a = 5: a² = 25, a³ = 125; a² < a³.
б) a = 0: a² = 0, a³ = 0; значения равны.
в) a = 5: a² = 25, a³ = 125; a² < a³.
538. Найдите при x = 1,5 и x = −2 значения выражений: а) x², −x², (−x)²; б) x³, −x³, (−x)³.
При x = 1,5:
а) x² = 2,25; −x² = −2,25; (−x)² = (−1,5)² = 2,25.
б) x³ = 3,375; −x³ = −3,375; (−x)³ = (−1,5)³ = −3,375.
При x = −2:
а) x² = 4; −x² = −4; (−x)² = 2² = 4.
б) x³ = −8; −x³ = 8; (−x)³ = 2³ = 8.
а) x² = 2,25; −x² = −2,25; (−x)² = (−1,5)² = 2,25.
б) x³ = 3,375; −x³ = −3,375; (−x)³ = (−1,5)³ = −3,375.
При x = −2:
а) x² = 4; −x² = −4; (−x)² = 2² = 4.
б) x³ = −8; −x³ = 8; (−x)³ = 2³ = 8.