Глава III. §7. п.23 Функции y = x² и y = x³ и их графики (окончание). Контрольные вопросы и задания к §7 — с. 120
509. Решите графически уравнение: а) x² = x + 6; б) x² + 2x − 3 = 0.
Корни уравнения — абсциссы точек пересечения графиков функций, стоящих в левой и правой частях.
а) Строим в одной системе координат параболу y = x² и прямую y = x + 6 (по двум точкам: (0; 6) и (−6; 0)). Они пересекаются в точках (−2; 4) и (3; 9). Проверка: (−2)² = 4 = −2 + 6; 3² = 9 = 3 + 6. Корни: x = −2, x = 3.
б) Перепишем уравнение: x² = −2x + 3. Строим параболу y = x² и прямую y = −2x + 3 (точки (0; 3) и (1; 1)). Они пересекаются в точках (−3; 9) и (1; 1). Проверка: (−3)² = 9 = 6 + 3; 1² = 1 = −2 + 3. Корни: x = −3, x = 1.
а) Строим в одной системе координат параболу y = x² и прямую y = x + 6 (по двум точкам: (0; 6) и (−6; 0)). Они пересекаются в точках (−2; 4) и (3; 9). Проверка: (−2)² = 4 = −2 + 6; 3² = 9 = 3 + 6. Корни: x = −2, x = 3.
б) Перепишем уравнение: x² = −2x + 3. Строим параболу y = x² и прямую y = −2x + 3 (точки (0; 3) и (1; 1)). Они пересекаются в точках (−3; 9) и (1; 1). Проверка: (−3)² = 9 = 6 + 3; 1² = 1 = −2 + 3. Корни: x = −3, x = 1.
510. (Для работы в парах.) Используя график функции y = x³, изображённый на рисунке 78 (с. 117), решите уравнение: а) x³ = 8; б) x³ = −1; в) x³ = 5; г) x³ = 0.
1. Распределите, кто выполняет задания а), г), а кто — задания б), в), и выполните их.
2. Проверьте друг у друга, правильно ли выполнено задание.
3. Сделайте вывод о числе корней уравнения x³ = a при различных значениях a.
Корень уравнения x³ = a — абсцисса точки пересечения графика y = x³ с горизонтальной прямой y = a.
а) Прямая y = 8 пересекает график в точке (2; 8). Корень: x = 2.
б) Прямая y = −1 пересекает график в точке (−1; −1). Корень: x = −1.
в) Прямая y = 5 пересекает график в одной точке; по графику x ≈ 1,7 (точное значение ∛5 ≈ 1,71).
г) Прямая y = 0 пересекает график в точке (0; 0). Корень: x = 0.
2) Проверка: 2³ = 8; (−1)³ = −1; 1,7³ ≈ 4,9 ≈ 5; 0³ = 0.
3) Вывод: при любом значении a уравнение x³ = a имеет ровно один корень (график y = x³ каждую горизонтальную прямую пересекает в одной точке).
а) Прямая y = 8 пересекает график в точке (2; 8). Корень: x = 2.
б) Прямая y = −1 пересекает график в точке (−1; −1). Корень: x = −1.
в) Прямая y = 5 пересекает график в одной точке; по графику x ≈ 1,7 (точное значение ∛5 ≈ 1,71).
г) Прямая y = 0 пересекает график в точке (0; 0). Корень: x = 0.
2) Проверка: 2³ = 8; (−1)³ = −1; 1,7³ ≈ 4,9 ≈ 5; 0³ = 0.
3) Вывод: при любом значении a уравнение x³ = a имеет ровно один корень (график y = x³ каждую горизонтальную прямую пересекает в одной точке).
511. Решите графически уравнение: а) x³ = 4x; б) x³ = −x + 3.
а) Строим в одной системе координат график y = x³ и прямую y = 4x (через точки (0; 0) и (1; 4)). Они пересекаются в трёх точках: (−2; −8), (0; 0), (2; 8). Проверка: (−2)³ = −8 = 4 · (−2); 2³ = 8 = 4 · 2. Корни: x = −2, x = 0, x = 2.
б) Строим график y = x³ и прямую y = −x + 3 (через точки (0; 3) и (3; 0)). Они пересекаются в одной точке; её абсцисса по рисунку x ≈ 1,2. Проверка: 1,2³ = 1,728, −1,2 + 3 = 1,8; значения близки. Корень: x ≈ 1,2.
Оговорка: корень уравнения б) найден приближённо.
б) Строим график y = x³ и прямую y = −x + 3 (через точки (0; 3) и (3; 0)). Они пересекаются в одной точке; её абсцисса по рисунку x ≈ 1,2. Проверка: 1,2³ = 1,728, −1,2 + 3 = 1,8; значения близки. Корень: x ≈ 1,2.
Оговорка: корень уравнения б) найден приближённо.
512. Сравните значения выражений: а) 0,3^16 и (−0,3)^16; б) (−1,9)^21 и 1,9^21; в) −5,6^4 и (−5,6)^4; г) (−1,4)^6 и −1,4^6; д) −64 и −2^6; е) −0,8^11 и (−0,8)^11.
Чётная степень отрицательного числа положительна, нечётная — отрицательна; (−a)^n = a^n при чётном n и (−a)^n = −a^n при нечётном n.
а) (−0,3)^16 = 0,3^16 (показатель чётный): значения равны.
б) (−1,9)^21 = −1,9^21 < 0, а 1,9^21 > 0: (−1,9)^21 < 1,9^21.
в) −5,6^4 < 0, (−5,6)^4 = 5,6^4 > 0: −5,6^4 < (−5,6)^4.
г) (−1,4)^6 = 1,4^6 > 0, −1,4^6 < 0: (−1,4)^6 > −1,4^6.
д) 2^6 = 64, значит, −2^6 = −64: значения равны.
е) (−0,8)^11 = −0,8^11 (показатель нечётный): значения равны.
а) (−0,3)^16 = 0,3^16 (показатель чётный): значения равны.
б) (−1,9)^21 = −1,9^21 < 0, а 1,9^21 > 0: (−1,9)^21 < 1,9^21.
в) −5,6^4 < 0, (−5,6)^4 = 5,6^4 > 0: −5,6^4 < (−5,6)^4.
г) (−1,4)^6 = 1,4^6 > 0, −1,4^6 < 0: (−1,4)^6 > −1,4^6.
д) 2^6 = 64, значит, −2^6 = −64: значения равны.
е) (−0,8)^11 = −0,8^11 (показатель нечётный): значения равны.
513. Не выполняя построения, найдите координаты точки пересечения графиков функций y = 8,5x и y = 0,5x − 19,2.
В точке пересечения значения функций равны: 8,5x = 0,5x − 19,2.
8,5x − 0,5x = −19,2
8x = −19,2
x = −2,4.
Тогда y = 8,5 · (−2,4) = −20,4. Проверка: 0,5 · (−2,4) − 19,2 = −1,2 − 19,2 = −20,4.
Ответ: (−2,4; −20,4).
8,5x − 0,5x = −19,2
8x = −19,2
x = −2,4.
Тогда y = 8,5 · (−2,4) = −20,4. Проверка: 0,5 · (−2,4) − 19,2 = −1,2 − 19,2 = −20,4.
Ответ: (−2,4; −20,4).
514. Упростите выражение: а) −0,6a³b(−2a²b³)³; б) 0,8xy^4(−6xy^4)²; в) −a^4b^7(−3ab)²; г) (7x²y)² · (−7y^11); д) (−ac)^6 · (−2a²c)^5; е) 3p²q · (−1/3 p³q)².
Сначала возводим в степень, затем перемножаем.
а) −0,6a³b · (−8a^6b^9) = 4,8a^9b^10.
б) 0,8xy^4 · 36x²y^8 = 28,8x³y^12.
в) −a^4b^7 · 9a²b² = −9a^6b^9.
г) 49x^4y² · (−7y^11) = −343x^4y^13.
д) (−ac)^6 = a^6c^6, (−2a²c)^5 = −32a^10c^5; произведение: −32a^16c^11.
е) 3p²q · 1/9 p^6q² = 1/3 p^8q³.
а) −0,6a³b · (−8a^6b^9) = 4,8a^9b^10.
б) 0,8xy^4 · 36x²y^8 = 28,8x³y^12.
в) −a^4b^7 · 9a²b² = −9a^6b^9.
г) 49x^4y² · (−7y^11) = −343x^4y^13.
д) (−ac)^6 = a^6c^6, (−2a²c)^5 = −32a^10c^5; произведение: −32a^16c^11.
е) 3p²q · 1/9 p^6q² = 1/3 p^8q³.
1. Приведите пример одночлена стандартного вида.
Одночлен стандартного вида — это числовой множитель (коэффициент) на первом месте и затем степени различных переменных. Пример: −7a³b². Здесь коэффициент −7, а каждая переменная встречается один раз.
2. Представьте в стандартном виде одночлен 5ab² · (−3a^4b) и укажите его коэффициент.
5ab² · (−3a^4b) = 5 · (−3) · (a · a^4) · (b² · b) = −15a^5b³.
Коэффициент равен −15.
Коэффициент равен −15.
3. Сформулируйте определение степени одночлена. Приведите пример одночлена пятой степени.
Степенью одночлена называют сумму показателей степеней всех входящих в него переменных. Если одночлен не содержит переменных и является числом, отличным от нуля, его степень считают равной нулю.
Пример одночлена пятой степени: 4a²b³ (показатели 2 + 3 = 5). Ещё пример: −x^5.
Пример одночлена пятой степени: 4a²b³ (показатели 2 + 3 = 5). Ещё пример: −x^5.
4. Сформулируйте свойства функции y = x². Как отражаются эти свойства на графике функции y = x²?
1) Область определения — множество всех действительных чисел: график простирается неограниченно вправо и влево.
2) Если x = 0, то y = 0: график проходит через начало координат.
3) Если x ≠ 0, то y > 0 (квадрат любого числа, отличного от нуля, положителен): все точки графика, кроме точки (0; 0), расположены выше оси x.
4) Противоположным значениям x соответствует одно и то же значение y, так как (−x)² = x²: точки графика с противоположными абсциссами симметричны относительно оси y. График — парабола.
2) Если x = 0, то y = 0: график проходит через начало координат.
3) Если x ≠ 0, то y > 0 (квадрат любого числа, отличного от нуля, положителен): все точки графика, кроме точки (0; 0), расположены выше оси x.
4) Противоположным значениям x соответствует одно и то же значение y, так как (−x)² = x²: точки графика с противоположными абсциссами симметричны относительно оси y. График — парабола.
5. Сформулируйте свойства функции y = x³. Как отражаются эти свойства на графике функции y = x³?
1) Область определения — множество всех действительных чисел: график неограниченно продолжается вправо вверх и влево вниз.
2) Если x = 0, то y = 0: график проходит через начало координат.
3) Если x > 0, то y > 0; если x < 0, то y < 0 (куб положительного числа положителен, куб отрицательного отрицателен): график расположен в первой и третьей координатных четвертях.
4) Противоположным значениям x соответствуют противоположные значения y, так как (−x)³ = −x³: точки графика с противоположными абсциссами расположены симметрично относительно начала координат.
2) Если x = 0, то y = 0: график проходит через начало координат.
3) Если x > 0, то y > 0; если x < 0, то y < 0 (куб положительного числа положителен, куб отрицательного отрицателен): график расположен в первой и третьей координатных четвертях.
4) Противоположным значениям x соответствуют противоположные значения y, так как (−x)³ = −x³: точки графика с противоположными абсциссами расположены симметрично относительно начала координат.