Глава III. §7. п.23 Функции y = x² и y = x³ и их графики — с. 119
500. Пользуясь графиком функции y = x² на рис. 76 на с. 115, найдите: а) значение функции, соответствующее значению аргумента, равному 1,4; −2,6; 3,1; б) значения аргумента, при которых значение функции равно 4; 6; в) несколько значений x, при которых значения функции меньше 4; больше 4.
[рисунок 76: график функции y = x² (парабола)]
а) Находим на оси x точку с данной абсциссой и читаем ординату точки графика (проверяем вычислением x²):
x = 1,4: y ≈ 2 (1,96);
x = −2,6: y ≈ 6,8 (6,76);
x = 3,1: y ≈ 9,6 (9,61).
б) Проводим горизонталь на уровне заданного значения y; она пересекает график в двух точках, симметричных относительно оси y.
y = 4: x = −2 и x = 2;
y = 6: x ≈ −2,4 и x ≈ 2,4 (√6 ≈ 2,45).
в) Значения функции меньше 4 соответствуют точкам графика, расположенным ниже горизонтали y = 4, то есть −2 < x < 2; например, x = 0; 1; −1,5; 1,9. Значения больше 4 — точки выше этой горизонтали, то есть x < −2 или x > 2; например, x = 2,5; 3; −2,2; −3.
а) Находим на оси x точку с данной абсциссой и читаем ординату точки графика (проверяем вычислением x²):
x = 1,4: y ≈ 2 (1,96);
x = −2,6: y ≈ 6,8 (6,76);
x = 3,1: y ≈ 9,6 (9,61).
б) Проводим горизонталь на уровне заданного значения y; она пересекает график в двух точках, симметричных относительно оси y.
y = 4: x = −2 и x = 2;
y = 6: x ≈ −2,4 и x ≈ 2,4 (√6 ≈ 2,45).
в) Значения функции меньше 4 соответствуют точкам графика, расположенным ниже горизонтали y = 4, то есть −2 < x < 2; например, x = 0; 1; −1,5; 1,9. Значения больше 4 — точки выше этой горизонтали, то есть x < −2 или x > 2; например, x = 2,5; 3; −2,2; −3.
501. Воспользовавшись графиком функции y = x², найдите: а) значение y, соответствующее x = −2,4; −0,7; 0,7; 2,4; б) значения x, которым соответствует y = 2; 0,9; в) несколько значений x, при которых значение функции больше 2; меньше 2.
а) По графику (проверяем вычислением): x = −2,4: y ≈ 5,8 (5,76); x = −0,7: y ≈ 0,5 (0,49); x = 0,7: y ≈ 0,5; x = 2,4: y ≈ 5,8.
б) Проводим горизонтали на уровнях y = 2 и y = 0,9 и читаем абсциссы точек пересечения с графиком: y = 2: x ≈ −1,4 и x ≈ 1,4 (√2 ≈ 1,41); y = 0,9: x ≈ −0,95 и x ≈ 0,95 (√0,9 ≈ 0,95).
в) Значение функции больше 2 там, где график выше горизонтали y = 2, то есть при x < −1,4 или x > 1,4; например, x = 2; 3; −1,5; −2,5. Значение функции меньше 2 там, где график ниже этой горизонтали, то есть при −1,4 < x < 1,4; например, x = 0; 1; −1; 0,5.
Оговорка: значения, снятые с графика, приближённые.
б) Проводим горизонтали на уровнях y = 2 и y = 0,9 и читаем абсциссы точек пересечения с графиком: y = 2: x ≈ −1,4 и x ≈ 1,4 (√2 ≈ 1,41); y = 0,9: x ≈ −0,95 и x ≈ 0,95 (√0,9 ≈ 0,95).
в) Значение функции больше 2 там, где график выше горизонтали y = 2, то есть при x < −1,4 или x > 1,4; например, x = 2; 3; −1,5; −2,5. Значение функции меньше 2 там, где график ниже этой горизонтали, то есть при −1,4 < x < 1,4; например, x = 0; 1; −1; 0,5.
Оговорка: значения, снятые с графика, приближённые.
502. Принадлежит ли графику функции y = x² точка: а) A(6; 36); б) B(−1,5; 2,25); в) C(4; −2); г) D(1,2; 1,44)?
Точка принадлежит графику, если при подстановке её координат в формулу y = x² получается верное равенство.
а) 6² = 36, равенство верно: A принадлежит графику.
б) (−1,5)² = 2,25, верно: B принадлежит.
в) 4² = 16, а ордината равна −2; 16 ≠ −2: C не принадлежит.
г) 1,2² = 1,44, верно: D принадлежит.
а) 6² = 36, равенство верно: A принадлежит графику.
б) (−1,5)² = 2,25, верно: B принадлежит.
в) 4² = 16, а ордината равна −2; 16 ≠ −2: C не принадлежит.
г) 1,2² = 1,44, верно: D принадлежит.
503. Используя график функции y = x³ на рис. 78 на с. 117, найдите: а) значение y, соответствующее x = 1,4; −1,4; −1,8; 1,8; б) значение x, которому соответствует y = −4; 4.
[рисунок 78: график функции y = x³]
а) По графику (проверяем вычислением x³): x = 1,4: y ≈ 2,7 (2,744); x = −1,4: y ≈ −2,7; x = −1,8: y ≈ −5,8 (−5,832); x = 1,8: y ≈ 5,8.
б) Горизонталь y = −4 пересекает график в одной точке с абсциссой x ≈ −1,6 (∛4 ≈ 1,59); горизонталь y = 4 — в точке x ≈ 1,6.
Оговорка: значения, снятые с графика, приближённые.
а) По графику (проверяем вычислением x³): x = 1,4: y ≈ 2,7 (2,744); x = −1,4: y ≈ −2,7; x = −1,8: y ≈ −5,8 (−5,832); x = 1,8: y ≈ 5,8.
б) Горизонталь y = −4 пересекает график в одной точке с абсциссой x ≈ −1,6 (∛4 ≈ 1,59); горизонталь y = 4 — в точке x ≈ 1,6.
Оговорка: значения, снятые с графика, приближённые.
504. Пользуясь графиком функции y = x³, найдите: а) значение функции, соответствующее значению аргумента, равному −0,7; 1,2; б) значение аргумента, которому соответствует значение функции, равное 3; −3; в) несколько значений аргумента, при которых значение функции больше −3, но меньше 3.
а) По графику: x = −0,7: y ≈ −0,34 (точно −0,343); x = 1,2: y ≈ 1,7 (1,728).
б) y = 3: x ≈ 1,4 (∛3 ≈ 1,44); y = −3: x ≈ −1,4.
в) Нужны точки графика, лежащие между горизонталями y = −3 и y = 3. Это точки с абсциссами от −1,4 до 1,4; например, x = 0; 1; −1; 1,2; −0,5.
Оговорка: значения, снятые с графика, приближённые.
б) y = 3: x ≈ 1,4 (∛3 ≈ 1,44); y = −3: x ≈ −1,4.
в) Нужны точки графика, лежащие между горизонталями y = −3 и y = 3. Это точки с абсциссами от −1,4 до 1,4; например, x = 0; 1; −1; 1,2; −0,5.
Оговорка: значения, снятые с графика, приближённые.
505. Принадлежит ли графику функции y = x³ точка: а) A(−0,2; −0,008); б) B(1 1/2; 3 3/8); в) C(−1/3; 1/27)?
Подставляем координаты в формулу y = x³.
а) (−0,2)³ = −0,008, равенство верно: A принадлежит графику.
б) (1 1/2)³ = (3/2)³ = 27/8 = 3 3/8, верно: B принадлежит.
в) (−1/3)³ = −1/27, а ордината равна 1/27; −1/27 ≠ 1/27: C не принадлежит.
а) (−0,2)³ = −0,008, равенство верно: A принадлежит графику.
б) (1 1/2)³ = (3/2)³ = 27/8 = 3 3/8, верно: B принадлежит.
в) (−1/3)³ = −1/27, а ордината равна 1/27; −1/27 ≠ 1/27: C не принадлежит.
506. В одной и той же системе координат постройте графики функций y = x² и y = x³, где x ≥ 0. Пользуясь построенными графиками, сравните: а) 0,6² и 0,6³; б) 1,5² и 1,5³; в) 2,7² и 2,7³.
Строим графики по точкам при x ≥ 0.
x: 0; 0,5; 1; 1,5; 2; 2,5; 2,7
y = x²: 0; 0,25; 1; 2,25; 4; 6,25; 7,29
y = x³: 0; 0,125; 1; 3,375; 8; 15,625; 19,68
Графики пересекаются в точках (0; 0) и (1; 1). При 0 < x < 1 парабола лежит выше графика y = x³, при x > 1 — ниже.
а) x = 0,6 < 1: график y = x² выше, поэтому 0,6² > 0,6³ (0,36 > 0,216).
б) x = 1,5 > 1: выше график y = x³, поэтому 1,5² < 1,5³ (2,25 < 3,375).
в) x = 2,7 > 1: 2,7² < 2,7³ (7,29 < 19,683).
x: 0; 0,5; 1; 1,5; 2; 2,5; 2,7
y = x²: 0; 0,25; 1; 2,25; 4; 6,25; 7,29
y = x³: 0; 0,125; 1; 3,375; 8; 15,625; 19,68
Графики пересекаются в точках (0; 0) и (1; 1). При 0 < x < 1 парабола лежит выше графика y = x³, при x > 1 — ниже.
а) x = 0,6 < 1: график y = x² выше, поэтому 0,6² > 0,6³ (0,36 > 0,216).
б) x = 1,5 > 1: выше график y = x³, поэтому 1,5² < 1,5³ (2,25 < 3,375).
в) x = 2,7 > 1: 2,7² < 2,7³ (7,29 < 19,683).
507. При каких значениях a точка P(a; 64) принадлежит графику функции: а) y = x²; б) y = x³?
Подставляем координаты точки в формулу.
а) a² = 64, откуда a = 8 или a = −8.
б) a³ = 64, откуда a = 4 (куб равен 64 только для числа 4).
Ответ: а) a = ±8; б) a = 4.
а) a² = 64, откуда a = 8 или a = −8.
б) a³ = 64, откуда a = 4 (куб равен 64 только для числа 4).
Ответ: а) a = ±8; б) a = 4.
508. (Для работы в парах.) Используя график функции y = x², изображённый на рисунке 76, решите уравнение: а) x² = 4; б) x² = −1; в) x² = 5; г) x² = 0.
1. Распределите, кто выполняет задания а), б), а кто — задания в), г), и выполните их.
2. Проверьте друг у друга правильность выполнения заданий.
3. Сделайте вывод о числе корней уравнения x² = a при различных значениях a.
Корни уравнения x² = a — абсциссы точек пересечения параболы y = x² с горизонтальной прямой y = a.
а) Прямая y = 4 пересекает параболу в двух точках с абсциссами −2 и 2. Корни: x = −2, x = 2.
б) Прямая y = −1 лежит ниже оси x, а парабола расположена не ниже оси x. Общих точек нет, корней нет (квадрат числа не может быть отрицательным).
в) Прямая y = 5 пересекает параболу в двух точках; по графику x ≈ −2,2 и x ≈ 2,2 (точные значения ±√5 ≈ ±2,24).
г) Прямая y = 0 (ось x) касается параболы в одной точке (0; 0). Корень: x = 0.
2) Проверка: подставляем найденные значения: (±2)² = 4; (±2,2)² ≈ 4,84 ≈ 5; 0² = 0.
3) Вывод: если a > 0, уравнение x² = a имеет два корня (противоположные числа); если a = 0 — один корень x = 0; если a < 0 — корней нет.
а) Прямая y = 4 пересекает параболу в двух точках с абсциссами −2 и 2. Корни: x = −2, x = 2.
б) Прямая y = −1 лежит ниже оси x, а парабола расположена не ниже оси x. Общих точек нет, корней нет (квадрат числа не может быть отрицательным).
в) Прямая y = 5 пересекает параболу в двух точках; по графику x ≈ −2,2 и x ≈ 2,2 (точные значения ±√5 ≈ ±2,24).
г) Прямая y = 0 (ось x) касается параболы в одной точке (0; 0). Корень: x = 0.
2) Проверка: подставляем найденные значения: (±2)² = 4; (±2,2)² ≈ 4,84 ≈ 5; 0² = 0.
3) Вывод: если a > 0, уравнение x² = a имеет два корня (противоположные числа); если a = 0 — один корень x = 0; если a < 0 — корней нет.