Алгебра Макарычев 7 класс, страница 123 — задания и ответы

Question

Accepted Answer

Глава III. Для тех, кто хочет знать больше. п.24 О простых и составных числах — с. 123 515. Приведите контрпример для утверждения: а) значение выражения a² + a + 17 при любом значении a является простым числом; б) не существует такого натурального числа, которое является делителем любого натурального числа. Контрпример — конкретный случай, в котором утверждение неверно. а) Возьмём a = 17: 17² + 17 + 17 = 289 + 34 = 323 = 17 · 19. Число 323 составное, значит, утверждение неверно. (Подойдёт и a = 16: 256 + 16 + 17 = 289 = 17².) б) Число 1 является делителем любого натурального числа, поэтому такое число существует, и утверждение неверно. 516. Докажите, что значение выражения является составным числом: а) 15^9 + 31³; б) 16^7 + 25^5 − 41^4. Составное число имеет, кроме 1 и самого себя, ещё хотя бы один натуральный делитель. Найдём такой делитель по последней цифре. а) 15^9 оканчивается цифрой 5 (число, оканчивающееся на 5, в любой натуральной степени оканчивается на 5); 31³ оканчивается цифрой 1. Сумма оканчивается цифрой 6, значит, она чётная и делится на 2. Так как сумма больше 2, она составное число. б) 16^7 оканчивается на 6, 25^5 — на 5, 41^4 — на 1. Последняя цифра значения выражения совпадает с последней цифрой числа 6 + 5 − 1 = 10, то есть равна 0. Число делится на 10 и больше 10 (16^7 = 268 435 456 намного больше 41^4 = 2 825 761), следовательно, оно составное. 517. Найдите наибольшее двузначное число, равное произведению двух простых чисел. Перебираем двузначные числа, начиная с наибольшего. 99 = 3² · 11 — три простых множителя, не подходит. 98 = 2 · 7² — не подходит. 97 — простое число, не произведение двух. 96 = 2^5 · 3 — не подходит. 95 = 5 · 19 — произведение двух простых чисел. Ответ: 95. 518. Пусть p — простое число. Укажите наименьшее значение p, при котором значение выражения 2^p − 1 не является простым числом. Проверяем простые числа по порядку. p = 2: 2² − 1 = 3 — простое. p = 3: 2³ − 1 = 7 — простое. p = 5: 2^5 − 1 = 31 — простое. p = 7: 2^7 − 1 = 127 — простое. p = 11: 2^11 − 1 = 2047 = 23 · 89 — составное. Ответ: p = 11. 519. Найдите все простые числа, на которые делится сумма: а) 2 + 2² + 2³ + 2^4; б) 5 + 5² + 5³ + 5^4. а) 2 + 4 + 8 + 16 = 30 = 2 · 3 · 5. Простые делители: 2, 3, 5. б) 5 + 25 + 125 + 625 = 780 = 2² · 3 · 5 · 13. Простые делители: 2, 3, 5, 13. 520. Разложите на простые множители число: а) 5082; б) 7605. а) 5082 = 2 · 2541 = 2 · 3 · 847 = 2 · 3 · 7 · 121 = 2 · 3 · 7 · 11². Ответ: 5082 = 2 · 3 · 7 · 11². б) 7605 = 5 · 1521