Глава III. Дополнительные упражнения к главе III. К параграфу 6 — с. 125
539. Докажите, что при любом натуральном n значение дроби является натуральным числом: а) (10^n − 1)/9; б) (10^n + 8)/9; в) (10^n − 4)/3.
Число 10^n − 1 записывается n девятками: 99…9 = 9 · 11…1 (n единиц в множителе).
а) (10^n − 1)/9 = 11…1 (n единиц) — натуральное число.
б) 10^n + 8 = (10^n − 1) + 9 = 9 · 11…1 + 9 = 9 · (11…1 + 1). Тогда (10^n + 8)/9 = 11…1 + 1 = 11…12 — натуральное число.
в) 10^n − 4 = (10^n − 1) − 3 = 3 · 33…3 − 3 = 3 · (33…3 − 1) (так как 10^n − 1 = 9 · 11…1 = 3 · 33…3). Тогда (10^n − 4)/3 = 33…3 − 1 = 33…32 — натуральное число.
Проверка при n = 1: 9/9 = 1; 18/9 = 2; 6/3 = 2.
а) (10^n − 1)/9 = 11…1 (n единиц) — натуральное число.
б) 10^n + 8 = (10^n − 1) + 9 = 9 · 11…1 + 9 = 9 · (11…1 + 1). Тогда (10^n + 8)/9 = 11…1 + 1 = 11…12 — натуральное число.
в) 10^n − 4 = (10^n − 1) − 3 = 3 · 33…3 − 3 = 3 · (33…3 − 1) (так как 10^n − 1 = 9 · 11…1 = 3 · 33…3). Тогда (10^n − 4)/3 = 33…3 − 1 = 33…32 — натуральное число.
Проверка при n = 1: 9/9 = 1; 18/9 = 2; 6/3 = 2.
540. Какие из чисел −3, −2, −1, 1, 2, 3 являются корнями уравнения: а) x^4 = 81; б) x^6 = 64; в) x² − x = 2; г) x^4 + x³ = 6x²; д) x³ − 3x² − 4x + 12 = 0; е) x³ + 3x² − x − 3 = 0?
Подставляем числа в уравнения.
а) x^4 = 81: (±3)^4 = 81, (±2)^4 = 16, (±1)^4 = 1. Корни: −3 и 3.
б) x^6 = 64: (±2)^6 = 64, (±1)^6 = 1, (±3)^6 = 729. Корни: −2 и 2.
в) x² − x = 2: x = −1: 1 + 1 = 2 верно; x = 2: 4 − 2 = 2 верно; x = −2: 4 + 2 = 6, x = 3: 6, x = −3: 12, x = 1: 0 — не подходят. Корни: −1 и 2.
г) x^4 + x³ = 6x²: x = 2: 16 + 8 = 24 = 6 · 4 верно; x = −3: 81 − 27 = 54 = 6 · 9 верно; x = 3: 108 ≠ 54; x = −2: 8 ≠ 24; x = 1: 2 ≠ 6; x = −1: 0 ≠ 6. Корни: −3 и 2.
д) x³ − 3x² − 4x + 12 = 0: x = 2: 8 − 12 − 8 + 12 = 0 верно; x = 3: 27 − 27 − 12 + 12 = 0 верно; x = −2: −8 − 12 + 8 + 12 = 0 верно; x = 1: 6 ≠ 0; x = −1: 12 ≠ 0; x = −3: −42 ≠ 0. Корни: −2, 2, 3.
е) x³ + 3x² − x − 3 = 0: x = 1: 1 + 3 − 1 − 3 = 0 верно; x = −1: −1 + 3 + 1 − 3 = 0 верно; x = −3: −27 + 27 + 3 − 3 = 0 верно; x = 2: 8 + 12 − 2 − 3 = 15 ≠ 0; x = −2: −8 + 12 + 2 − 3 = 3 ≠ 0; x = 3: 27 + 27 − 3 − 3 = 48 ≠ 0. Корни: −3, −1, 1.
а) x^4 = 81: (±3)^4 = 81, (±2)^4 = 16, (±1)^4 = 1. Корни: −3 и 3.
б) x^6 = 64: (±2)^6 = 64, (±1)^6 = 1, (±3)^6 = 729. Корни: −2 и 2.
в) x² − x = 2: x = −1: 1 + 1 = 2 верно; x = 2: 4 − 2 = 2 верно; x = −2: 4 + 2 = 6, x = 3: 6, x = −3: 12, x = 1: 0 — не подходят. Корни: −1 и 2.
г) x^4 + x³ = 6x²: x = 2: 16 + 8 = 24 = 6 · 4 верно; x = −3: 81 − 27 = 54 = 6 · 9 верно; x = 3: 108 ≠ 54; x = −2: 8 ≠ 24; x = 1: 2 ≠ 6; x = −1: 0 ≠ 6. Корни: −3 и 2.
д) x³ − 3x² − 4x + 12 = 0: x = 2: 8 − 12 − 8 + 12 = 0 верно; x = 3: 27 − 27 − 12 + 12 = 0 верно; x = −2: −8 − 12 + 8 + 12 = 0 верно; x = 1: 6 ≠ 0; x = −1: 12 ≠ 0; x = −3: −42 ≠ 0. Корни: −2, 2, 3.
е) x³ + 3x² − x − 3 = 0: x = 1: 1 + 3 − 1 − 3 = 0 верно; x = −1: −1 + 3 + 1 − 3 = 0 верно; x = −3: −27 + 27 + 3 − 3 = 0 верно; x = 2: 8 + 12 − 2 − 3 = 15 ≠ 0; x = −2: −8 + 12 + 2 − 3 = 3 ≠ 0; x = 3: 27 + 27 − 3 − 3 = 48 ≠ 0. Корни: −3, −1, 1.
541. Докажите, что не имеет корней уравнение: а) x² + 1 = 0; б) 2x^6 + 3x^4 + x² + 1 = 0.
а) При любом x верно x² ≥ 0, поэтому x² + 1 ≥ 1 > 0. Значение левой части никогда не равно нулю, корней нет.
б) Степени x^6, x^4, x² с чётными показателями неотрицательны, поэтому 2x^6 + 3x^4 + x² + 1 ≥ 1 > 0. Левая часть не равна нулю ни при каком x, корней нет.
б) Степени x^6, x^4, x² с чётными показателями неотрицательны, поэтому 2x^6 + 3x^4 + x² + 1 ≥ 1 > 0. Левая часть не равна нулю ни при каком x, корней нет.
542. При каком значении x значение выражения (2x + 3)² равно нулю?
Квадрат числа равен нулю только тогда, когда само число равно нулю: 2x + 3 = 0, откуда 2x = −3, x = −1,5.
Ответ: при x = −1,5.
Ответ: при x = −1,5.
543. Докажите, что уравнение x^4 + 3x³ + 2x² + x + 6 = 0 не имеет положительных корней.
Если x > 0, то каждое из слагаемых x^4, 3x³, 2x², x и 6 положительно, значит, и их сумма положительна, то есть не равна нулю. Следовательно, положительных корней у уравнения нет.
544. Имеет ли уравнение x^6 − x^5 + x^4 − x³ + x² − x + 1 = 0 отрицательные корни?
Пусть x < 0. Тогда чётные степени x^6, x^4, x² положительны, а нечётные степени x^5, x³, x отрицательны, поэтому −x^5, −x³, −x тоже положительны. Все семь слагаемых (x^6, −x^5, x^4, −x³, x², −x, 1) положительны, и их сумма положительна, не равна нулю.
Ответ: отрицательных корней нет.
Ответ: отрицательных корней нет.
545. Упростите выражение: а) a^10a^12(−a^5); б) x(−x)(−x^6); в) y^k y^8 y²; г) b^n b^n b³.
Применяем правило a^m · a^n = a^(m+n).
а) a^10a^12(−a^5) = −a^(10+12+5) = −a^27.
б) x(−x)(−x^6): два минуса дают плюс, x · x · x^6 = x^8. Ответ: x^8.
в) y^k y^8 y² = y^(k+8+2) = y^(k+10).
г) b^n b^n b³ = b^(n+n+3) = b^(2n+3).
а) a^10a^12(−a^5) = −a^(10+12+5) = −a^27.
б) x(−x)(−x^6): два минуса дают плюс, x · x · x^6 = x^8. Ответ: x^8.
в) y^k y^8 y² = y^(k+8+2) = y^(k+10).
г) b^n b^n b³ = b^(n+n+3) = b^(2n+3).
546. Представьте выражение в виде степени: а) 2^5 · 8; б) 16 · 64; в) 7^n · 343; г) 81 · 3^k.
Представим числа как степени основания и применим a^m · a^n = a^(m+n).
а) 2^5 · 8 = 2^5 · 2³ = 2^8.
б) 16 · 64 = 2^4 · 2^6 = 2^10.
в) 7^n · 343 = 7^n · 7³ = 7^(n+3).
г) 81 · 3^k = 3^4 · 3^k = 3^(k+4).
а) 2^5 · 8 = 2^5 · 2³ = 2^8.
б) 16 · 64 = 2^4 · 2^6 = 2^10.
в) 7^n · 343 = 7^n · 7³ = 7^(n+3).
г) 81 · 3^k = 3^4 · 3^k = 3^(k+4).
547. Представьте выражение в виде произведения двух множителей, один из которых равен a^5: а) a^10; б) a^6; в) −a^40.
а) a^10 = a^5 · a^5.
б) a^6 = a^5 · a.
в) −a^40 = a^5 · (−a^35).
б) a^6 = a^5 · a.
в) −a^40 = a^5 · (−a^35).
548. Замените x степенью с основанием c так, чтобы полученное равенство было тождеством: а) c²x = c^5; б) xc^5 = c^9; в) c^6x = c^11; г) c^4x = c^15.
Показатель искомого множителя равен разности показателей: x = c^(m−n).
а) c²x = c^5, x = c^(5−2) = c³.
б) xc^5 = c^9, x = c^(9−5) = c^4.
в) c^6x = c^11, x = c^(11−6) = c^5.
г) c^4x = c^15, x = c^(15−4) = c^11.
а) c²x = c^5, x = c^(5−2) = c³.
б) xc^5 = c^9, x = c^(9−5) = c^4.
в) c^6x = c^11, x = c^(11−6) = c^5.
г) c^4x = c^15, x = c^(15−4) = c^11.
549. Замените частное степенью: а) b^15 : b^12; б) 7^39 : 7^13; в) a^11 : a; г) 12^100 : 12^99.
Применяем a^m : a^n = a^(m−n).
а) b^15 : b^12 = b³.
б) 7^39 : 7^13 = 7^26.
в) a^11 : a = a^10.
г) 12^100 : 12^99 = 12^1 = 12.
а) b^15 : b^12 = b³.
б) 7^39 : 7^13 = 7^26.
в) a^11 : a = a^10.
г) 12^100 : 12^99 = 12^1 = 12.
550. Найдите значение выражения: а) 13^100 : 13^98; б) (3^8 · 2^7)/(3^6 · 2^5); в) 2^14 : 8^4; г) (9^5 · 5^9)/(3^9 · 5^10); д) 5^10 : 25^4; е) (3^8 · 5^8)/(3^10 · 5^7); ж) 24^6/(2^8 · 3^5); з) (27³ · 6^5)/12³.
а) 13^100 : 13^98 = 13² = 169.
б) 3^(8−6) · 2^(7−5) = 3² · 2² = 36.
в) 8^4 = 2^12, 2^14 : 2^12 = 2² = 4.
г) 9^5 = 3^10: 3^10 · 5^9/(3^9 · 5^10) = 3/5 = 0,6.
д) 25^4 = 5^8, 5^10 : 5^8 = 5² = 25.
е) 3^8 · 5^8/(3^10 · 5^7) = 5/3² = 5/9.
ж) 24^6 = (2³ · 3)^6 = 2^18 · 3^6, поэтому 2^18 · 3^6/(2^8 · 3^5) = 2^10 · 3 = 3072.
з) 27³ = 3^9, 6^5 = 2^5 · 3^5, 12³ = 2^6 · 3³: 3^9 · 2^5 · 3^5/(2^6 · 3³) = 3^11/2 = 177 147/2 = 88 573,5.
б) 3^(8−6) · 2^(7−5) = 3² · 2² = 36.
в) 8^4 = 2^12, 2^14 : 2^12 = 2² = 4.
г) 9^5 = 3^10: 3^10 · 5^9/(3^9 · 5^10) = 3/5 = 0,6.
д) 25^4 = 5^8, 5^10 : 5^8 = 5² = 25.
е) 3^8 · 5^8/(3^10 · 5^7) = 5/3² = 5/9.
ж) 24^6 = (2³ · 3)^6 = 2^18 · 3^6, поэтому 2^18 · 3^6/(2^8 · 3^5) = 2^10 · 3 = 3072.
з) 27³ = 3^9, 6^5 = 2^5 · 3^5, 12³ = 2^6 · 3³: 3^9 · 2^5 · 3^5/(2^6 · 3³) = 3^11/2 = 177 147/2 = 88 573,5.
551. Упростите выражение: а) 6^(n+3) : 6^n; б) 10^(n+1) : 10^(n−1).
а) 6^(n+3) : 6^n = 6^(n+3−n) = 6³ = 216.
б) 10^(n+1) : 10^(n−1) = 10^((n+1)−(n−1)) = 10² = 100.
б) 10^(n+1) : 10^(n−1) = 10^((n+1)−(n−1)) = 10² = 100.
552. Упростите выражение: а) 18^n/(2^(n+1) · 3^(2n−1)); б) (14^(n−1) · 21^(n+1))/(49^n · 6^n).
а) 18^n = (2 · 3²)^n = 2^n · 3^(2n). Тогда 2^n · 3^(2n)/(2^(n+1) · 3^(2n−1)) = (3^(2n)/3^(2n−1)) · (2^n/2^(n+1)) = 3/2 = 1,5.
б) 14^(n−1) = 2^(n−1) · 7^(n−1), 21^(n+1) = 3^(n+1) · 7^(n+1), 49^n = 7^(2n), 6^n = 2^n · 3^n. Числитель: 2^(n−1) · 3^(n+1) · 7^(2n); знаменатель: 7^(2n) · 2^n · 3^n. После сокращения 7^(2n) получаем 2^(n−1) · 3^(n+1)/(2^n · 3^n) = 3/2 = 1,5.
Ответ: а) 1,5; б) 1,5.
б) 14^(n−1) = 2^(n−1) · 7^(n−1), 21^(n+1) = 3^(n+1) · 7^(n+1), 49^n = 7^(2n), 6^n = 2^n · 3^n. Числитель: 2^(n−1) · 3^(n+1) · 7^(2n); знаменатель: 7^(2n) · 2^n · 3^n. После сокращения 7^(2n) получаем 2^(n−1) · 3^(n+1)/(2^n · 3^n) = 3/2 = 1,5.
Ответ: а) 1,5; б) 1,5.