Глава IV. §10. Произведение многочленов. п.29 Умножение многочлена на многочлен — с. 149
693. Выполните умножение: а) (x + m)(y + n); б) (a − b)(x + y); в) (a − x)(b − y); г) (x + 8)(y − 1); д) (b − 3)(a − 2); е) (−a + y)(−1 − y).
Умножаем каждый член первого многочлена на каждый член второго.
а) (x + m)(y + n) = xy + xn + my + mn.
б) (a − b)(x + y) = ax + ay − bx − by.
в) (a − x)(b − y) = ab − ay − bx + xy.
г) (x + 8)(y − 1) = xy − x + 8y − 8.
д) (b − 3)(a − 2) = ab − 2b − 3a + 6.
е) (−a + y)(−1 − y) = a + ay − y − y².
а) (x + m)(y + n) = xy + xn + my + mn.
б) (a − b)(x + y) = ax + ay − bx − by.
в) (a − x)(b − y) = ab − ay − bx + xy.
г) (x + 8)(y − 1) = xy − x + 8y − 8.
д) (b − 3)(a − 2) = ab − 2b − 3a + 6.
е) (−a + y)(−1 − y) = a + ay − y − y².
694. Упростите выражение: а) (x + 6)(x + 5); б) (a − 4)(a + 1); в) (2 − y)(y − 8); г) (a − 4)(2a + 1); д) (2y − 1)(3y + 2); е) (5x − 3)(4 − 3x).
а) (x + 6)(x + 5) = x² + 5x + 6x + 30 = x² + 11x + 30.
б) (a − 4)(a + 1) = a² + a − 4a − 4 = a² − 3a − 4.
в) (2 − y)(y − 8) = 2y − 16 − y² + 8y = −y² + 10y − 16.
г) (a − 4)(2a + 1) = 2a² + a − 8a − 4 = 2a² − 7a − 4.
д) (2y − 1)(3y + 2) = 6y² + 4y − 3y − 2 = 6y² + y − 2.
е) (5x − 3)(4 − 3x) = 20x − 15x² − 12 + 9x = −15x² + 29x − 12.
б) (a − 4)(a + 1) = a² + a − 4a − 4 = a² − 3a − 4.
в) (2 − y)(y − 8) = 2y − 16 − y² + 8y = −y² + 10y − 16.
г) (a − 4)(2a + 1) = 2a² + a − 8a − 4 = 2a² − 7a − 4.
д) (2y − 1)(3y + 2) = 6y² + 4y − 3y − 2 = 6y² + y − 2.
е) (5x − 3)(4 − 3x) = 20x − 15x² − 12 + 9x = −15x² + 29x − 12.
695. Представьте в виде многочлена выражение: а) (m − n)(x + c); б) (k − p)(k − n); в) (a + 3)(a − 2); г) (5 − x)(4 − x); д) (1 − 2a)(3a + 1); е) (6m − 3)(2 − 5m).
а) (m − n)(x + c) = mx + mc − nx − nc.
б) (k − p)(k − n) = k² − kn − pk + pn.
в) (a + 3)(a − 2) = a² − 2a + 3a − 6 = a² + a − 6.
г) (5 − x)(4 − x) = 20 − 5x − 4x + x² = x² − 9x + 20.
д) (1 − 2a)(3a + 1) = 3a + 1 − 6a² − 2a = −6a² + a + 1.
е) (6m − 3)(2 − 5m) = 12m − 30m² − 6 + 15m = −30m² + 27m − 6.
б) (k − p)(k − n) = k² − kn − pk + pn.
в) (a + 3)(a − 2) = a² − 2a + 3a − 6 = a² + a − 6.
г) (5 − x)(4 − x) = 20 − 5x − 4x + x² = x² − 9x + 20.
д) (1 − 2a)(3a + 1) = 3a + 1 − 6a² − 2a = −6a² + a + 1.
е) (6m − 3)(2 − 5m) = 12m − 30m² − 6 + 15m = −30m² + 27m − 6.
696. Запишите в виде многочлена выражение: а) (x² + y)(x + y²); б) (m² − n)(m² + 2n²); в) (4a² + b²)(3a² − b²); г) (5x² − 4x)(x + 1); д) (a − 2)(4a³ − 3a²); е) (7p² − 2p)(8p − 5).
а) (x² + y)(x + y²) = x³ + x²y² + xy + y³.
б) (m² − n)(m² + 2n²) = m^4 + 2m²n² − m²n − 2n³.
в) (4a² + b²)(3a² − b²) = 12a^4 − 4a²b² + 3a²b² − b^4 = 12a^4 − a²b² − b^4.
г) (5x² − 4x)(x + 1) = 5x³ + 5x² − 4x² − 4x = 5x³ + x² − 4x.
д) (a − 2)(4a³ − 3a²) = 4a^4 − 3a³ − 8a³ + 6a² = 4a^4 − 11a³ + 6a².
е) (7p² − 2p)(8p − 5) = 56p³ − 35p² − 16p² + 10p = 56p³ − 51p² + 10p.
б) (m² − n)(m² + 2n²) = m^4 + 2m²n² − m²n − 2n³.
в) (4a² + b²)(3a² − b²) = 12a^4 − 4a²b² + 3a²b² − b^4 = 12a^4 − a²b² − b^4.
г) (5x² − 4x)(x + 1) = 5x³ + 5x² − 4x² − 4x = 5x³ + x² − 4x.
д) (a − 2)(4a³ − 3a²) = 4a^4 − 3a³ − 8a³ + 6a² = 4a^4 − 11a³ + 6a².
е) (7p² − 2p)(8p − 5) = 56p³ − 35p² − 16p² + 10p = 56p³ − 51p² + 10p.
697. Выполните умножение: а) (2x² − y)(x² + y); б) (7x² + a²)(x² − 3a²); в) (11y² − 9)(3y − 2); г) (5a − 3a³)(4a − 1).
а) (2x² − y)(x² + y) = 2x^4 + 2x²y − x²y − y² = 2x^4 + x²y − y².
б) (7x² + a²)(x² − 3a²) = 7x^4 − 21a²x² + a²x² − 3a^4 = 7x^4 − 20a²x² − 3a^4.
в) (11y² − 9)(3y − 2) = 33y³ − 22y² − 27y + 18.
г) (5a − 3a³)(4a − 1) = 20a² − 5a − 12a^4 + 3a³ = −12a^4 + 3a³ + 20a² − 5a.
б) (7x² + a²)(x² − 3a²) = 7x^4 − 21a²x² + a²x² − 3a^4 = 7x^4 − 20a²x² − 3a^4.
в) (11y² − 9)(3y − 2) = 33y³ − 22y² − 27y + 18.
г) (5a − 3a³)(4a − 1) = 20a² − 5a − 12a^4 + 3a³ = −12a^4 + 3a³ + 20a² − 5a.
698. Замените степень произведением, а затем произведение преобразуйте в многочлен: а) (x + 10)²; б) (1 − y)²; в) (3a − 1)²; г) (5 − 6b)².
Квадрат выражения — это произведение двух одинаковых множителей.
а) (x + 10)² = (x + 10)(x + 10) = x² + 10x + 10x + 100 = x² + 20x + 100.
б) (1 − y)² = (1 − y)(1 − y) = 1 − y − y + y² = 1 − 2y + y².
в) (3a − 1)² = (3a − 1)(3a − 1) = 9a² − 3a − 3a + 1 = 9a² − 6a + 1.
г) (5 − 6b)² = (5 − 6b)(5 − 6b) = 25 − 30b − 30b + 36b² = 25 − 60b + 36b².
а) (x + 10)² = (x + 10)(x + 10) = x² + 10x + 10x + 100 = x² + 20x + 100.
б) (1 − y)² = (1 − y)(1 − y) = 1 − y − y + y² = 1 − 2y + y².
в) (3a − 1)² = (3a − 1)(3a − 1) = 9a² − 3a − 3a + 1 = 9a² − 6a + 1.
г) (5 − 6b)² = (5 − 6b)(5 − 6b) = 25 − 30b − 30b + 36b² = 25 − 60b + 36b².
699. Представьте в виде многочлена выражение: а) (x² + xy − y²)(x + y); б) (n² − np + p²)(n − p); в) (a + x)(a² − ax − x²); г) (b − c)(b² − bc − c²); д) (a² − 2a + 3)(a − 4); е) (5x − 2)(x² − x − 1); ж) (2 − 2x + x²)(x + 5); з) (3y − 4)(y² − y + 1).
а) x³ + x²y + x²y + xy² − xy² − y³ = x³ + 2x²y − y³.
б) n³ − n²p − n²p + np² + np² − p³ = n³ − 2n²p + 2np² − p³.
в) a³ − a²x − ax² + a²x − ax² − x³ = a³ − 2ax² − x³.
г) b³ − b²c − bc² − b²c + bc² + c³ = b³ − 2b²c + c³.
д) a³ − 4a² − 2a² + 8a + 3a − 12 = a³ − 6a² + 11a − 12.
е) 5x³ − 5x² − 5x − 2x² + 2x + 2 = 5x³ − 7x² − 3x + 2.
ж) 2x + 10 − 2x² − 10x + x³ + 5x² = x³ + 3x² − 8x + 10.
з) 3y³ − 3y² + 3y − 4y² + 4y − 4 = 3y³ − 7y² + 7y − 4.
б) n³ − n²p − n²p + np² + np² − p³ = n³ − 2n²p + 2np² − p³.
в) a³ − a²x − ax² + a²x − ax² − x³ = a³ − 2ax² − x³.
г) b³ − b²c − bc² − b²c + bc² + c³ = b³ − 2b²c + c³.
д) a³ − 4a² − 2a² + 8a + 3a − 12 = a³ − 6a² + 11a − 12.
е) 5x³ − 5x² − 5x − 2x² + 2x + 2 = 5x³ − 7x² − 3x + 2.
ж) 2x + 10 − 2x² − 10x + x³ + 5x² = x³ + 3x² − 8x + 10.
з) 3y³ − 3y² + 3y − 4y² + 4y − 4 = 3y³ − 7y² + 7y − 4.