Глава IV. Дополнительные упражнения. К параграфу 9 — с. 161
780. На элеватор поступило 1400 т пшеницы двух сортов. При обработке пшеницы одного сорта оказалось 2% отходов, а другого сорта — 3% отходов. Чистой пшеницы получилось 1364 т. Сколько пшеницы каждого сорта поступило на элеватор?
Пусть пшеницы первого сорта поступило x т, второго 1400 − x т. Чистой пшеницы первого сорта 0,98x т, второго 0,97(1400 − x) т.
0,98x + 0,97(1400 − x) = 1364; 0,98x + 1358 − 0,97x = 1364; 0,01x = 6; x = 600.
Первого сорта 600 т, второго 1400 − 600 = 800 т.
Ответ: 600 т и 800 т.
0,98x + 0,97(1400 − x) = 1364; 0,98x + 1358 − 0,97x = 1364; 0,01x = 6; x = 600.
Первого сорта 600 т, второго 1400 − 600 = 800 т.
Ответ: 600 т и 800 т.
781. Бригада предполагала убирать 80 га пшеницы в день, чтобы закончить работу в намеченный ею срок. Фактически в день она убирала на 10 га больше, и поэтому за один день до срока ей осталось убрать 30 га. Сколько гектаров пшеницы должна была убрать бригада?
Пусть срок n дней, тогда площадь 80n га. За n − 1 день бригада убрала 90(n − 1) га, и осталось 30 га: 80n − 90(n − 1) = 30.
80n − 90n + 90 = 30; 10n = 60; n = 6.
Площадь 80·6 = 480 га. Проверка: 90·5 = 450, 480 − 450 = 30.
Ответ: 480 га.
80n − 90n + 90 = 30; 10n = 60; n = 6.
Площадь 80·6 = 480 га. Проверка: 90·5 = 450, 480 − 450 = 30.
Ответ: 480 га.
782. В водный раствор соли массой 480 г добавили 20 г соли. В результате концентрация раствора повысилась на 3,75%. Сколько соли было в растворе первоначально?
Пусть вначале в растворе было x г соли. Концентрация была x/480, после добавления стала (x + 20)/500 (масса раствора 500 г). Концентрация выросла на 3,75% = 0,0375.
(x + 20)/500 − x/480 = 0,0375. Умножим на 12000: 24(x + 20) − 25x = 450; 24x + 480 − 25x = 450; x = 30.
Проверка: 50/500 = 0,1, 30/480 = 0,0625, 0,1 − 0,0625 = 0,0375.
Ответ: 30 г.
(x + 20)/500 − x/480 = 0,0375. Умножим на 12000: 24(x + 20) − 25x = 450; 24x + 480 − 25x = 450; x = 30.
Проверка: 50/500 = 0,1, 30/480 = 0,0625, 0,1 − 0,0625 = 0,0375.
Ответ: 30 г.
783. Разложите на множители: а) a^20 − a^10 + a^5; б) b^60 + b^40 − b^20; в) a^10 − a^8 − a^6; г) b^40 + b^20 + b^10.
Выносим за скобки общий множитель — степень с наименьшим показателем.
а) a^5(a^15 − a^5 + 1).
б) b^20(b^40 + b^20 − 1).
в) a^6(a^4 − a² − 1).
г) b^10(b^30 + b^10 + 1).
а) a^5(a^15 − a^5 + 1).
б) b^20(b^40 + b^20 − 1).
в) a^6(a^4 − a² − 1).
г) b^10(b^30 + b^10 + 1).
784. Докажите, что: а) 7^16 + 7^14 делится на 50; б) 5^31 − 5^29 делится на 100; в) 25^9 + 5^17 делится на 30; г) 27^10 − 9^14 делится на 24; д) 12^13 − 12^12 + 12^11 делится на 7 и на 19; е) 11^9 − 11^8 + 11^7 делится на 3 и на 37.
а) 7^14(7² + 1) = 7^14·50.
б) 5^29(5² − 1) = 5^29·24 = 5^27·25·24 = 5^27·600 = 100·(6·5^27).
в) 25^9 = 5^18, поэтому 5^18 + 5^17 = 5^17(5 + 1) = 5^16·5·6 = 30·5^16.
г) 27^10 = 3^30, 9^14 = 3^28, поэтому 3^30 − 3^28 = 3^28(9 − 1) = 3^27·3·8 = 24·3^27.
д) 12^11(12² − 12 + 1) = 12^11·133 = 12^11·7·19, делится на 7 и на 19.
е) 11^7(11² − 11 + 1) = 11^7·111 = 11^7·3·37, делится на 3 и на 37.
б) 5^29(5² − 1) = 5^29·24 = 5^27·25·24 = 5^27·600 = 100·(6·5^27).
в) 25^9 = 5^18, поэтому 5^18 + 5^17 = 5^17(5 + 1) = 5^16·5·6 = 30·5^16.
г) 27^10 = 3^30, 9^14 = 3^28, поэтому 3^30 − 3^28 = 3^28(9 − 1) = 3^27·3·8 = 24·3^27.
д) 12^11(12² − 12 + 1) = 12^11·133 = 12^11·7·19, делится на 7 и на 19.
е) 11^7(11² − 11 + 1) = 11^7·111 = 11^7·3·37, делится на 3 и на 37.
785. Разложите на множители: а) (a − 3b)(a + 2b) + 5a(a + 2b); б) (x + 8y)(2x − 5b) − 8y(2x − 5b); в) 7a²(a − x) + (6a² − ax)(x − a); г) 11b²(3b − y) − (6y − 3b²)(y − 3b).
а) Общий множитель a + 2b: (a + 2b)(a − 3b + 5a) = (a + 2b)(6a − 3b) = 3(a + 2b)(2a − b).
б) Общий множитель 2x − 5b: (2x − 5b)(x + 8y − 8y) = x(2x − 5b).
в) x − a = −(a − x), поэтому (6a² − ax)(x − a) = −(6a² − ax)(a − x). Тогда (a − x)(7a² − 6a² + ax) = (a − x)(a² + ax) = a(a − x)(a + x).
г) y − 3b = −(3b − y), поэтому −(6y − 3b²)(y − 3b) = (6y − 3b²)(3b − y). Тогда (3b − y)(11b² + 6y − 3b²) = (3b − y)(8b² + 6y) = 2(3b − y)(4b² + 3y).
б) Общий множитель 2x − 5b: (2x − 5b)(x + 8y − 8y) = x(2x − 5b).
в) x − a = −(a − x), поэтому (6a² − ax)(x − a) = −(6a² − ax)(a − x). Тогда (a − x)(7a² − 6a² + ax) = (a − x)(a² + ax) = a(a − x)(a + x).
г) y − 3b = −(3b − y), поэтому −(6y − 3b²)(y − 3b) = (6y − 3b²)(3b − y). Тогда (3b − y)(11b² + 6y − 3b²) = (3b − y)(8b² + 6y) = 2(3b − y)(4b² + 3y).
786. Найдите значение выражения: а) 5cx + c² при x = 0,17, c = 1,15; б) 4a² − ab при a = 1,47, b = 5,78.
а) 5cx + c² = c(5x + c) = 1,15·(0,85 + 1,15) = 1,15·2 = 2,3.
б) 4a² − ab = a(4a − b) = 1,47·(5,88 − 5,78) = 1,47·0,1 = 0,147.
б) 4a² − ab = a(4a − b) = 1,47·(5,88 − 5,78) = 1,47·0,1 = 0,147.
787. Решите уравнение: а) 1,2x² + x = 0; б) 1,6x + x² = 0; в) 0,5x² − x = 0; г) 5x² = x; д) 1,6x² = 3x; е) x = x².
Переносим всё в левую часть, раскладываем на множители; произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю.
а) x(1,2x + 1) = 0; x = 0 или x = −1/1,2 = −5/6.
б) x(1,6 + x) = 0; x = 0 или x = −1,6.
в) x(0,5x − 1) = 0; x = 0 или x = 2.
г) x(5x − 1) = 0; x = 0 или x = 0,2.
д) x(1,6x − 3) = 0; x = 0 или x = 3/1,6 = 1 7/8.
е) x² − x = x(x − 1) = 0; x = 0 или x = 1.
а) x(1,2x + 1) = 0; x = 0 или x = −1/1,2 = −5/6.
б) x(1,6 + x) = 0; x = 0 или x = −1,6.
в) x(0,5x − 1) = 0; x = 0 или x = 2.
г) x(5x − 1) = 0; x = 0 или x = 0,2.
д) x(1,6x − 3) = 0; x = 0 или x = 3/1,6 = 1 7/8.
е) x² − x = x(x − 1) = 0; x = 0 или x = 1.
788. Вынесите за скобки числовой множитель: а) (3a + 6)²; б) (12b − 4)²; в) (7x + 7y)²; г) (−3p + 6)³; д) (5q − 30)³; е) (2a − 8)^4.
Выносим число из скобки и возводим его в степень вместе со скобкой.
а) (3(a + 2))² = 9(a + 2)².
б) (4(3b − 1))² = 16(3b − 1)².
в) (7(x + y))² = 49(x + y)².
г) (−3(p − 2))³ = −27(p − 2)³.
д) (5(q − 6))³ = 125(q − 6)³.
е) (2(a − 4))^4 = 16(a − 4)^4.
а) (3(a + 2))² = 9(a + 2)².
б) (4(3b − 1))² = 16(3b − 1)².
в) (7(x + y))² = 49(x + y)².
г) (−3(p − 2))³ = −27(p − 2)³.
д) (5(q − 6))³ = 125(q − 6)³.
е) (2(a − 4))^4 = 16(a − 4)^4.
789. Докажите, что значение выражения a² − a кратно 2 при любом целом a.
a² − a = a(a − 1) — произведение двух последовательных целых чисел. Одно из них чётно, поэтому произведение делится на 2.
790. Докажите, что если к целому числу прибавить его квадрат, то полученная сумма будет чётным числом.
Пусть число n. Сумма n + n² = n(n + 1) — произведение двух последовательных целых чисел, одно из которых чётно. Значит, сумма чётна.
791. Докажите, что разность чисел abc и cba, где a ≠ 0, c ≠ 0, кратна 11. [над записями abc и cba стоит черта]
abc − cba = (100a + 10b + c) − (100c + 10b + a) = 99a − 99c = 99(a − c) = 11·9(a − c). Число содержит множитель 11, поэтому кратно 11.